打球の飛距離を最大にする ボ ボールとバットの衝突点 ッ 衝突点 T100009 打田祐貴 打 祐貴 担当教員 飯田晋司 目次 1. はじめに 2. 質点系の運動 2 1 質量中心の運動 2‐1 2‐2 角運動量の時間変化 3. 剛体の運動 4. ボールとバットの衝突 4‐1 座標系 42 ボ 4‐2 ボールとバットの衝突の前後でのボールの速度 ルとバットの衝突の前後でのボ ルの速度 5. ボールの軌道の計算 6. おわりに 参考文献 考 はじめに ・この研究をテーマにした理由は、野球と 物理が好きで この２つに関わりたかった 物理が好きで、この２つに関わりたかった から。 ・バットでボールのどこを叩けば一番飛距 バットでボ ルのどこを叩けば 番飛距 離が出るのかと、高校生のときから疑問に 思っていた。 思っていた ボールとバットの衝突 R : バットの半径 バ トの半径 r : ボールの半径 ２つの座標系の間の回転角度 α とバットとボー ルの中心がどれだけずれているかを表す D の 間に次の関係がある。 D cos α = R +r ボールとバットの衝突 G v ′ = (vx′ , vy′ ) G v ボールの速度 ω′ ω : ボールの角速度 G V バットの速度 衝突前 m ボールの質量 ボ ルの質量 G V ′ = (Vx′ ,Vy′) 衝突後 M バットの質量 バ トの質量 ボールとバットの衝突 ・ここではボールとバットの衝突直後のボールの速度と角速度を求 める。 める 次の関係式を使う。 ●運動量の保存 mv x + MV x = mv x′ + MVx′ , mv y + MVy = mv y′ + MVy′ ●跳ね返り係数 ( vy′ − Vy′ = − eN vy − Vy ) 跳ね返り係数は参考文献[3]に載っていた式を速度の単位m/sに直して用いる eN = 0.54 − ( vy − Vy − 26.67) / 397.8 ●衝突点のまわりの角運動量の保存 I ω − mrvx = I ω ′ − mrvx′ I : ボールの慣性モーメント ●衝突後の x 方向のボールとバットの相対速度が 0 という条件 vx′ + r ω ′ = V ′ ボールとバットの衝突 衝突後のバットとボールの速度と角速度を求める。 運動量の保存の式( 保存の式( mvy + MVy = mvy′ + MVy′ )と ・運動量の ( ) 跳ね返り係数(vy′ − Vy′ = − eN vy − Vy )の2式を用いる V ′y = ・V ′y = m(1 + eN )vy + (M − meN )Vy m(1 ( + eN )vy + (M − meN )Vy m +M v ′y = m +M ( ) を跳ね返り係数(vy′ − Vy′ = − eN vy − Vy )に代入 (m − Me M N )vy + M (1 + eN )Vy m +n ・運動量の保存の式( 存 式 mvx + MVx = mvx′ + MVx′ )と 衝突後のx 方向のボールとバットの相対速度が0という条件(vx′ + r ω ′ = V ′)の2式を用いる (M + m )vx′ + Mr M ω ′ = mvx + MVx ボ ルとバットの衝突 ボールとバットの衝突 衝突後のバットとボールの速度と角速度を求める。 ・(M + m )vx′ + Mr ω ′ = mvx + MVx と 衝突点のまわりのボールの角運動量の保存(I ω − mrvx = I ω ′ − mrvx′ )を連立方程式と考え解く ω′ = ・vx′ = (m + M )I ω + mMr (Vx − vx ) mMr + (m + M )I 2 −IMr ω + IMVx + vx m(Mr 2 + I ) mMr + (m + M )I 2 , vx′ = −IMr ω + IMVx + vx m(Mr 2 + I ) mMr + (m + M )I 2 . を運動量の保存の式( mvx + MVx = mvx′ + MVx′ )に代入 Vx′ = Vx − mI (−r ω + Vx − vx ) mMr 2 + (m + M )I ボールの軌道の計算 ・ボールにはたらく力は G FG : 重力 G FD : 進む向きと逆向きに働く抵抗力 G FM :ボールが回転によって上向きに 行こうとするマグナス力 G v : 速さ G ω : 角速度 G G 参考文献[3]より FD , FM がそれぞれ次のようになる； G 1 G FD = − C D ρ Av (t )v (t ) 2 G G 1 G FM = CL ρ Av(t )(ω (t ) × v (t )) 2 ボールの軌道の計算 ボールの運動方程式 dvX (t ) dt dvY (t ) dt 1 ω =− C D ρ Av A (t )vX (t ) − C L ρA Av(t )vY (t ) 2m 2m ω 1 =− C D ρ Av(t )vY (t ) + C L ρ Av(t )vX (t ) − g 2m 2m ρ は空気の密度 , Aはボールの断面積(π r 2 ), ) C D とC L は参考文献[3]に載っている値を用いる,g は重力加速度の大きさ. ボ ルの軌道の計算 ボールの軌道の計算 それぞれの定数は以下の値を用いる m = 0.1446 kg, r = 0.0363 m, R = 0.0320 m, A = 0.004144 m2 , ρ = 1.213 kg/m 3 , ω = 126 rad/s, g = 9.8 m/s2 . ボールの初速度を v 0 = 35 m/s 、入射角をθ 0 = 8.6° とする。 vX = −v 0 cos θ 0 , vY = −v 0 sin θ 0 . バットは水平に速さ ットは水平に速さV0 = 24.4444 m/s で振る場合を考える。 VX = V0 ,VY = 0. 初期値:X (0) = 0 m,Y (0)=1.08m, vX (0) = vX ′ , vY (0) = vY ′ , ω(0) = ω ′ . 打球 初期条件 D で決まる 打球の初期条件は 決ま ボ ルの軌道 ボールの軌道 D = 0.05 m D = 0.026 0 026 m D = 0.068 m D = 0.005 m D = 0.04 0 04 m D まとめ ・全ての図を一つにまとめてみた。 D 飛距離最大の打球の軌道 ・打球の飛距離が最大になるのはD = 0.026 mというのがわかる ・D の値が少し変化しても打球の軌道は大きく変わる場合がある D = 0.04 mと0.05 m の場合 ・D が r + R に近づくと打球は後ろに飛ぶ D = 0.068 m の場合 場合 R : バットの半径 r : ボールの半径 ・D の値が0.005 mのとき、ゴロのような打球になる。 おわりに ・今回の研究の結果から 今 究 結果から D = 0.026 m のときが飛距離と ときが飛 離と して最も飛ぶことがわかった ・少しでも衝突点がずれるだけで打球の軌道や飛距離 少しでも衝突点がずれるだけで打球の軌道や飛距離 が変わってくることがわかった ・他の条件も取り入れ研究してみたかった ・実際にバットやボールを使用して考察したかった ご清聴ありがとうございました。 清聴あり う 。 参考文献 • [1]高木隆司、「力学(Ⅰ)」裳華房、2001年 高木隆 力学 裳華房 年 • [2]高木隆司、「力学(Ⅱ)」裳華房、2001年 • [3]M.K. McBeath et.al, “Paradoxical pop‐ups”, A J Ph 76 723( 2008) Am. J. Phys. 76, 723( • [4] 菊田昌大、「ポップアップフライの軌道計 [ ] 菊田昌大、 ポップアップフライの軌道計 算」龍谷大学理工学部数理情報学科２０１２ 年度卒業論文
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