小5集中図形第 1 回－ A の解答

小５集中図形第 1 回－ A の解答
１
道の問題は、ななめの道はまっすぐに、そのあと、はしによせる。
この 2 点が重要です。
難しい話になりますが、どちらかの道は長方形の辺と平行ではないと、この解き方はできません。6 年生の難
関校向けの問題になるといま言ったような問題が出てきますが、いまはよせれば正解になる問題ばかりです。
4ｍ 2ｍ
2ｍ
4ｍ
3ｍ
14
6
9ｍ
9ｍ
3ｍ
20 ｍ
20 ｍ
1 つの斜線部分になりましたので、面積は 6 × 14 ＝ 84 ㎡です。
２
ル
プ
解き方が 2 通りあります。両方やってみます。
全体の三角形に注目して、56 ＋○○●●＝ 180 度
○●＝（180 － 56）÷ 2 ＝ 62 度
ン
ここまでは、2 通りの方法とも同じです。この先、分岐します。
小さい三角形に注目して、ア＋○●＝ 180 度なので、ア＝ 180 － 62 ＝ 118 度です。
サ
もう１つの方法は、凹四角形の角度の法則を使います。凹四角形の角度の法則とは、これからとてもたくさん
出てきますが、下のような図のとき、ア＋イ＋ウ＝エになることです。
凹四角形の角度の法則
ア
イ
エ
ウ
ア
イ
オ
ア＋イ＋ウ＝エ
エ
ウ
カ
最初なので、一応、理由も書いておきます。いくつかありますが、代表的なものを 1 つだけ。
右側の図のように緑の補助線でふさぐと、
ア＋イ＋ウ＋オ＋カ＝ 180 度
エ
＋オ＋カ＝ 180 度
上の 2 つの式が納得できれば、ア＋イ＋ウ＝エになることは分かりますね。
その考え方を使うと、ア＝ 56 ＋○●＝ 56 ＋ 62 ＝ 118 度となります。
- 1 -
どっちでやってもほとんど同じようなものですが、両方とも大事な考え方なので、身につけて下さい。
３
円とおうぎ形の角度の問題は小 5 集中図形の重大テーマの 1 つですので、よく出てくると思います。今回はか
なりやさしい部類です。見た瞬間に黄緑の三角形が二等辺三角形と分かりますね。下の図の青線が半径で等しい
ですので。
B
C
D
ア
A
E
イ
それが分かったら頂角（イ）を求めるます。
半円を 6 等分しているので、1 めもりは 180 ÷ 6 ＝ 30 度です。
イは 5 めもり分なので、30 × 5 ＝ 150 度
アは（180 － 150）÷ 2 ＝ 15 度
ル
プ
これまた、別解があります。下の図のように、三角形の外角の定理を使うと 30 ÷ 2 ＝ 15 度と求められます。
B
D
ア
A
ア
４
C
E
ン
30
全体の四分円から白い四分円と長方形をひくだけです。
サ
計算を楽にしたいので、まず全体の四分円から白い四分円をひいて、そのあと長方形をひきます。
全体の四分円は、半径が 6 ＋ 4 ＝ 10 ㎝なので、10 × 10 ×円÷ 4 ＝ 25 円
集中図形では、3.14 の代わりに「円」と漢字で書き、
「×円」の「×」は省略します。値段みたいですが、こ
れで問題はなにひとつ起きず、さらに計算ミスが減るといういいことずくめです。
白い四分円は 6 × 6 ×円÷ 4 ＝ 9 円
ひくと、25 円－ 9 円＝ 16 円
3.14 と書かないだけで、かなり計算が楽になっていませんか？
ここでもう円周率は終了ですので、16 円を計算します。まさか、このまま答えというわけにはいきません。
16 円＝ 16 × 3.14 ＝ 50.24 ㎠
長方形は 8 × 4 ＝ 32 ㎠なので、50.24 － 32 ＝ 18.24 ㎠です。
５
（1）数える方法は何通りかあると思いますが、自分なりのルールを決めて数えて下さい。
下の図のように、下にある点を●、上にある点を▲、間にある点を■にしてみました。
- 2 -
7㎝
3㎝ 8㎝
12 ㎝
10 ㎝
このルールではなくてもいいですが、何かしらのルールを決めましょう。
●は 3 個ではありませんよ。1 個隠れていますよね。
全部で 4 ＋ 4 ＋ 4 ＝ 12 個です。
（2）これはテクニック的なことですが、下の図のように、直方体に変えてしまいます。
7㎝
ル
プ
3㎝ 8㎝
12 ㎝
10 ㎝
ン
赤の細線が緑の線に移ると考えて、もとの立体の辺の長さの合計と、いまの直方体の辺の長さの合計をくらべ
ます。どっちが長いでしょう？等しくはありませんよ。
もとの立体の方が長いです。図でいうと青線 2 本分長いです。
サ
直方体はどの辺も 4 本ずつあるので、辺の長さの合計を求めやすいです。こちらを求めます。
（12 ＋ 10 ＋ 8）× 4 ＝ 120 ㎝
もとの立体は、それよりも青線 2 本の 20 ㎝長いので、120 ＋ 20 ＝ 140 ㎝です。
（3）表面積は、前後左右上下の 6 方向から見える面積をたしたものです。
前とうしろ、上と下、左と右から見える面積はそれぞれ同じになりますので、前、上、右の 3 方向から見える
面積をたして、それを 2 倍します。下のようになります。
前
上
右
7
8
80㎠
12
3
120㎠
5
10
60＋21＝81㎠
10
12
（80 ＋ 120 ＋ 81）× 2 ＝ 562 ㎠です。
- 3 -
8
６
切り取った立方体 1 つは 5 × 5 × 5 ＝ 125 ㎤です。
4 つ切り取るので、125 × 4 ＝ 500 ㎤です。計算の工夫をして順番を変えてもよかったですね。
切り取る前は 13000 ＋ 500 ＝ 13500 ㎤です。
x × 45 × 5 ＝ 13500
x ＝ 13500 ÷ 45 ÷ 5 ＝ 60 ㎝です。
７
三角柱なので、底面を三角形にします。側面には長方形が 3 つきますよ。
4㎝
4
3 3㎝
13
17 ㎝
3
4
ル
プ
青と緑の長さが分かりますね。すると、三角柱の高さは 13 ㎝と分かります。
底面積は 3 × 4 ÷ 2 ＝ 6 ㎠
体積は 6 × 13 ＝ 78 ㎤です。
８
ン
ひもは 1.2 ｍ＝ 120 ㎝です。このうち、結び目に 14 ㎝使ってしまいました。
残りは 120 － 14 ＝ 106 ㎝です。
点線に注目すれば分かると思いますが、見えるところと見えないところに同じだけひもはかかっています。
サ
25 ㎝
15 ㎝
見えるところのひもの長さの和（実線の和）は 106 ÷ 2 ＝ 53 ㎝になります。
赤 1 本、青 1 本、緑 2 本の和が 53 ㎝になるので、緑は（53 － 25 － 15）÷ 2 ＝ 6.5 ㎝
これが直方体の高さになるので、体積は 15 × 25 × 6.5 ＝ 2437.5 ㎤です。
- 4 -
小５集中図形第 1 回－ B の解答
１
この問題も小 5 集中図形の重大テーマの 1 つです。半径の分からない円の面積です。
その場合は、半径を 1 辺とする正方形か、半径を対角線とする正方形のうち、かきやすい方をかきましょう。
文章が分かりにくくなってしまいましたので、図にしてみます。
半径を１辺とする正方形
半径を対角線とする正方形
4㎝
4㎝
ル
プ
どっちの方がかきやすいですか？というよりもどっちの方が面積を求めやすいですか？
今回は右側に軍配が上がります。1 辺が 2 ㎝になるので、面積は 2 × 2 ＝ 4 ㎠ですね。
すると、ひし形の公式で考えて、
［対角線］×［対角線］÷ 2 ＝ 4 ㎠になるので、
［対角線］×［対角線］＝ 8 になります。
この図においては、対角線とは半径のことなので、
［半径］×［半径］＝ 8 になります。
ン
ここで、半径を求めようとしても無駄です。電卓で、ルートのボタンを押す「ルート 8」というものです。
2.8284 ……という無理数になります。タイサンで無理数をやったのは覚えていますか？
半径を求めなくても円の面積が分かればいいです。
サ
円の面積は［半径］×［半径］×［円周率］なので、8 ×［円周率］になります。
つまり、円の面積は 8 × 3.14 ＝ 25.12 ㎠
正方形は 4 × 4 ＝ 16 ㎠
斜線部分は、円から正方形をひいて 4 で割ればいいので、
（25.12 － 16）÷ 4 ＝ 2.28 ㎠です
※
２
小 4 集中図形でよく出てきた葉っぱ型を使う方法もあります。
円とおうぎ形の角度なので、二等辺三角形を探します。ありましたか？
直角二等辺三角形もありますが、おうぎ形の半径を 2 辺とする三角形のことですよ。
A
D
45
A
D
45
x
45
x
E
B
E
C
B
C
- 5 -
注目したいのは左側の二等辺三角形です。半径になっているので AD ＝ AE です。
頂角は 45 度なので、底角は（180 － 45）÷ 2 ＝ 67.5 度
右側の図のように x は、67.5 度から 45 度をひきます。67.5 － 45 ＝ 22.5 度です。
３
平行四辺形の角度は、向かい合う角度は等しい、となりの角度をたすと 180 度ということを使います。この
図形はひし形ですが、ひし形はそれより次元の低い平行四辺形の性能はすべて持っています。
122 度のとなりの角は 180 － 122 ＝ 58 度です。直角三角形があるので、それを利用すると左側の図のよう
に 32 度が書けます。
A
A
32
32
B
ア
58
D
B
29
29
ア
122°
D
122°
ル
プ
C
C
58 度は BD で 2 等分されるので、右側の図のように 29 度ずつになります。
アは三角形の外角の定理を使って 32 ＋ 29 ＝ 61 度です。
４
ン
6 年生レベルの問題です。小 5 集中図形ではこの問題も 5 年生のうちに何回も練習したいと考え、扱っていき
ます。
サ
斜線部分をくぎります。くぎるポイントは円の中心から線をひくことです。
イ
ウ
12
ア
アは直角二等辺三角形で、底辺を 12 ㎝にします。高さは底辺の半分の 6 ㎝になります。
面積は 12 × 6 ÷ 2 ＝ 36 ㎠です。
イは半径が 6 ㎝で、中心角が 360 ÷ 12 ＝ 30 度のおうぎ形です。
面積は 6 × 6 ×円÷ 12 ＝ 3 円＝ 3 × 3.14 ＝ 9.42 ㎠です。
そして、小 6 レベルというのがウのことです。とは言いつつ、タイサンでもすでにやっています。150 度の角
度を持つ三角形です。通称「150 度の三角形」と呼びます。何の変哲もない呼び方ですね。おもしろい名前を付
けてもいいですよ。
- 6 -
下の図のように配置します。すると、黄緑の三角形が半正三角形になって、1 番長い辺が 6 ㎝なら、1 番短い
辺が 3 ㎝になります。
150°
6
6
3
すると、3 ㎝が 150 度の三角形の高さにあたります。
面積は 6 × 3 ÷ 2 ＝ 9 ㎠になります。
今回は二等辺三角形でしたが、そうでなくても同じ方法で面積を求められます。
ア、イ、ウを合わせると、36 ＋ 9.42 ＋ 9 ＝ 54.42 ㎠です。
５
直方体の 1 辺に 3 ㎝と 5 ㎝はありますね？
もう 1 辺は分からないので、□㎝とします。
ル
プ
表面積が 174 ㎠になりますが、下の見取り図で見える 3 つの面の和は 174 ÷ 2 ＝ 87 ㎠です。
□
5
ン
3
サ
3 つの面の面積は、15 ㎠、5 ×□、3 ×□です。
式にして、分配法則を使います。5 ×□と 3 ×□をたすと 8 ×□になるということです。
15 ＋ 5 ×□＋ 3 ×□＝ 15 ＋ 8 ×□＝ 87
8 ×□＝ 87 － 15 ＝ 72
□＝ 72 ÷ 8 ＝ 9 ㎝
体積は 3 × 5 × 9 ＝ 135 ㎤です。
６
もともとの立方体の表面積は 10 × 10 × 6 ＝ 600 ㎠です。
この表面積からどれくらい減るか、増えるかを考えます。
穴があいているので底面 2 つ分の面積が減ります。
4 × 4 ×円× 2 ＝ 32 円
これは計算しません。
ところが、内部に円柱の側面が新しく生まれます。
円柱の側面積は、
［底面の円周］×「円柱の高さ」です。4 × 2 ×円× 10 ＝ 80 円
32 円使って、80 円もらったら、お金は 48 円増えます。
- 7 -
そんな感覚で、表面積は 48 円＝ 48 × 3.14 ＝ 150.72 ㎠増えます。
600 ＋ 150.72 ＝ 750.72 ㎠です。
７
消しゴムでおなじみの立体ですね。なじみがある分簡単にできたかもしれませんね。
やり方は 2 通りあります。真面目に正しくやるか、簡単にやるか。
真面目な方からやってみます。
前後左右上下から見える面積は図 1 の直方体といっしょです。
簡単に求めます。
（2 × 2 ＋ 2 × 5 ＋ 2 × 5）× 2 ＝ 48 ㎠です。
そして、前後左右上下から見えない面を考えます。
下の水色部分ですが、奥もきちんと数えると、水色の面が 12 面あるはずです。
ル
プ
48 ＋ 12 ＝ 60 ㎠です。図 1 の 60 ÷ 48 ＝ 1.25 倍です。
簡単にやる方も、もとの図 1 の立体の表面積 48 ㎠までは求めないと、何倍かが分かりません。
図２の表面積を求めるときに簡単にできます。
ン
この消しゴムの特性を生かします。それは面と面がくっついていないことです。
つまり 1 つの立方体の表面積は 6 ㎠なので、その 10 個分の 6 × 10 ＝ 60 ㎠というわけです。少し簡単にな
りましたよね？でも 48 ㎠まで求めているわけなので、たいして差がないかもしれません。
８
サ
難問です。面の向きを考えるので大変です。
（1）３の面をよく見ます。
基準
ア
イ
基準とした方と左側のサイコロに■と▲をつけましたが、どうしてそうなったか分かりますか？
３の目のならびに 2 個追加して 5 個ならんでいる感じになるのはいいと思いますが、
■は 6 がくっつき 1 がくっつきません。▲は 1 がくっつき 6 がくっつきません。そこがポイントです。頭の
中で想像するのではなく記号の力に頼りましょう。
次は基準の図を見て、■は 2 がくっつき、▲は 2 がくっつきません。
そうしたら、5 面見えるサイコロをかきます。
- 8 -
6 2 2ア 5
3
1
赤字のところは大丈夫でしょうか？
イは 5 と分かりましたが、アはどうするかというと、ここで立体のセンスを要求します。
基準のサイコロを左に 2 回たおして下さい。クッ、クッという感じです。
アは 4 になりますね。分からなければ、基準のようなサイコロを用意するか、もしくはつくるかでイメージし
て下さい。
（2）今度は、先に 5 面見える図を分かるところは書いてみます。
2
4
4
62
3
5エ
ウ
ル
プ
ここまでは簡単なはずです。
次は左奥の 2 の面をよく見ます。
ン
基準
ウ
エ
サ
基準とした方と左側のサイコロに■と▲をつけましたが、どうしてそうなったか分かりますか？
2 の目のならびに 2 個追加して 4 個ならんでいる感じになるのはいいと思いますが、
■は 3 がくっつき 4 がくっつきません。▲は 4 がくっつき 3 がくっつきません。そこがポイントです。
次は基準の図を見て、■は 6 がくっつき、▲は 6 がくっつきません。
そうしたら、5 面見えるサイコロの赤字が分かります。
2665 1
4
ウ
4
62
3
エは 1 と分かりましたが、ウはどうするかというと、ここで再び立体のセンスを要求します。
基準のサイコロを 2 を床につけ、1 が右にくるようにひねってたおして下さい。クッ、クイッという感じです。
ウは 4 になりますね。分からなければ、基準のようなサイコロを用意するか、もしくはつくるかでイメージし
て下さい。
- 9 -

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