第5講

スライド
2.6.4 音の成長と減衰
n
音を発生すると，直ぐに平衡状態になる？
n
それまでに，どんな現象が起こる？
u室内の音響エネルギはゼロから増加．
u平衡状態に至るまで,室内の音エネルギは徐々
に増加していく．（
音の成長）
u成長ののち，エネルギが平衡した状態に至る．
（定常状態）
n
音源を停止後，音響エネルギはどうなるか？
u音源が停止して，エネルギの供給がなくなると，
エネルギの平衡が崩れ，室内の音響エネルギは
減衰していく．（減衰＝残響）
2005/5/2
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3
ポイントと補足
２．室内音響（その４）
2.6.4 音の成長と減衰：エネルギ収支から諸状態の関係式
室内で音源が音を発生する場合，室内の音響エネルギは直ちに定
常状態に達するわけではない．音源が定常音を出していても，まず
直接音が到達し，それから次々に各境界面からの反射波が遅れて到
来する．したがって，その分のエネルギが徐々に加えられて，やが
て定常状態に達する．これを，音の成長という．一方，定常状態に
達してから音源を停止すると，もはや室内には新たなエネルギが供
給されないので，室内のエネルギは減衰していく．これが残響であ
る．
音源が短音（パルスなど）を発
生するときと，連続音を発生す
るとき，それぞれの場合におけ
る，音源，屋外，室内での波形．
（屋外の場合については，地面
による反射音を含む．室内では
残響．））
屋外での伝搬
音の成長・定常状態・減衰
Energy
成長
定常状態
音源波形
減衰（残響）
受音点での
波形
t
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2005/5/2
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5
短音の場合は，直接音がまず観測され，遅れてくる反射音がそれぞれ分離
して観測される．連続音では，遅れてくる反射音が次々に到来する間も音
源からの直接音があり，さらに反射音も連続音であるから，次々に重なっ
て連続波形として観測される．そのとき，初めの部分では時間とともに振
幅が増大し，やがて定常となるが，音源停止後は減衰する過程が見られる．
室内での伝搬
音源波形
受音点での
波形
残響
成長
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(a)室内のエネルギ収支
n
室内の音響エネルギについて，以下の関係を単位時
間（１秒間）について導く：
(エネルギの増加分) = （
音源から放射されたエネルギ）
−(全壁面でのエネルギ吸収)
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では，上記の各状態における室内の音響エネルギの関係式を，導
いてみよう．
次のような室内音場について考えてみよう：表面積 S，平均吸音
−
−
率α（全吸音力 A = Sα）
，容積 V の室内で音響出力（パワー）W の音
源が音を発生し，その時のエネルギ密度が E になっているとする．
7
(a) 室内のエネルギ収支
まず，単位時間に全境界面（面積 S）に入射する音響エネルギは
室内のエネルギ収支
−
単位時間に，全
壁面に入射する
音響エネルギ：
cE/4
n
単位時間に全壁面によって吸音され
るエネルギ：
cESα / 4
n
n
n
単位時間に音源から供給されるエネ
ルギ：W
室内の音響エネルギの変化率(単位
体積当たり)：
dE/dt
したがって， VdE
dt
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=W −
cESα
4
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である．したがって，平均吸音率がαであるから，単位時間に全境
界面によって吸音されるエネルギは，
である．一方，この音場に供給されるエネルギは，
単位時間当たり W である．
いま，室内の音響エネルギの変化は，単位体積当たり（E がエネル
ギ密度であるから単位体積になる）dE/dt であり，室内全エネルギの
変化は VdE/dt と表わせる．これは，室内の全音響エネルギの増加分
（符号が負のときは減少分）である．したがって，次の微分方程式
を得る．
−
VdE
cES α
=W −
dt
4
室内のエネルギ収支
n
1.
2.
3.
VdE
cESα
=W −
dt
4
以下の条件について解けば，成長
過程，定常状態，減衰過程(残響) が
求められる．
成長過程：t = 0において E = 0
定常状態：1の解において，t → ∞の
極限E0
減衰過程：音源停止時刻を t = 0と
してt = 0でW = 0，E = E0
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(b)成長過程
初期条件：
t = 0において E = 0
E=

 cS α−  
4W 


E=
1 − exp 
t （注）exp(x)は指数関数 ex のこと．
−


 4V  
cS α 


−  


 cS α  
4W 
1 − exp −
 t
− 
4
V


cS α 


グラフを書いてみよう！
E
e は自然対数の底(=2.718...)
が得られ，室内のエネルギ密度がゼロから時間とともに増加する様
子を示す．
4W/cSα
t
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(c) 定常状態
この場合，条件は t=∞において，E = E0 ．E0 は定常状態のエネル
ギ密度であり，
(c)定常状態
成長過程の解において，t → ∞の極限E0
E=
− 


4W 
 cS α  
1 − exp −
 t
− 
4
V


cS α 


4W
t →∞
→
−
cS α
E=
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4W
−
cS α
となる．これは，前に求めた室内音場分布そのものである．
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(d) 減衰過程
減衰過程の考察では，音源を停止した時間を t=0 とし，条件とし
て t=0 において W=0，E=E0 とすれば良い．その解は，
(d)減衰過程
音源停止時刻を t = 0として
t = 0でW = 0，E = E0
−
−




cSα 
4W
cS α 


E = E0 exp  −
t
=
exp
−
 4V t
 4V  cS α−




 cS α− 
 cS α− 
4W




E = E0 exp −
t=
exp −
t
 4V  cSα−
 4V 




グラフを書いてみよう！
E
4W/cSα
t
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(b) 成長過程
この場合は，初期条件として t=0 のとき E=0 とすれば良い．
微分方程式を解くと，
「一般解」が得られるが，これはその微分方
程式を満たす関数のグループ．その中から，題意を満たす「特殊
解」を一つ選び出す．その場合，時間については初期条件と呼ば
れる条件を与えることで，ある時刻における関数の値を規定し，
多数の一般解から一つの解を特定する．同様に，問題が場所（座
標）の関数であれば境界条件と呼ばれ，空間のある場所での値を
規定して特殊解を抽出する条件である．
すなわち，t=0 において音源が音の放射を始めるまで，室内の音響
エネルギ密度は 0 であったということである．このとき，上の微分
方程式を解けば，
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である．エネルギ密度が定常状態の値 E0 から，時間とともに指数関
数にしたがって減衰していく様子（指数減衰）が分かる．この式は，
残響を考える基礎式となる
2.6.5 残響時間 (a) Sabine の残響式
エネルギ減衰過程の式[2]から，定義にそって残響時間を求める．
2.6.5 (a)Sabineの残響式
−
n
n
残響時間の定義は E/E0 =10-6 である．したがって，exp(-cS αt/4V)=10-6
をみたす時間 t が残響時間 T である．これを解けば，
残響時間：
E/E0=10 -6となる時間
減衰過程の式から：
 cSα 
−6
exp −
t  = 10
 4V 
−
 24V
cS α
−
t = log e 10 − 6 ∴ T =  −

4V
 cS α
これを満たす時間が，残響時間：
T=
2005/5/2
KV
Sα
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
 log 10 = KV
−
 e
Sα

ただし，K =24loge10/c=24log10 10/clog10 e=24/clog10 e=55.26/c である．
これが Sabine の残響公式である．K は，音速 c（＝331.5+0.61θ，θ
は気温）を含むので気温によって変化するが，通常は約 0.161．
この式は，拡散音場理論に基づく「指数減衰」から，その値が 10-6
になる時間として直接導かれた．したがって，拡散音場で指数減衰
に従う場合には正確であり，拡散の良い室（一般に残響時間が長い）
では実測値と良く一致するが，拡散の悪い室（一般に残響時間が短
い）では誤差が大きくなる傾向がある．
Sabine式の限界
n
平均吸音率が１のとき，Sabine式の
結果はどうなるだろうか？
−
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(b) Eyringの残響式
n
n
室内音場を，音源からの直接音と境
界面からの反射音(鏡像からの寄与)
の和として扱う
平均自由行路 (p)の概念を導入
u 音源から出た音が，ある境界面で一
度反射した後，次に反射されるまでに
進行する距離の平均値
n
個々の反射音の集合として考え，階
段状に減衰するとして出発
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例えば，α=1 の場合（完全吸音，すなわち残響時間はゼロのはず）
考えてみよう．このとき，Sabine の式では残響時間が
と
なり，ゼロにならない矛盾が生じる
このように，物理的に解が明快な極限状態での整合性を検討す
るのは，理論的検討において重要である．
なお，この問題は，晩年の Sabine を大変悩ませたと言われてい
る．
この矛盾を解決するのが，次に述べる Eyring の式である．
(b) Eyring の残響式
Eyring は室内音場を音源からの直接音と境界面からの反射音の和
として取り扱った．さらに，反射音を，音源の境界面に対する鏡像
から放射された波と解釈する．
（→鏡像法）
以上に加えて Eyring が導入した重要な概念は，
である．
音源から出た音波が，室内のある境界面で 1 回反射した後，次に境
界面で反射されるまでに伝搬する距離は一定ではないが，それらの
平均値を平均自由行路 p として議論を進めるということである．
15
平均自由行路を p とすると，1 回の反射から次の反射までの平
均的な時間は，
である．
(ii) この間，音響出力（パワー）W の音源から発せられるエネルギ
は，
である．
（注意：p の具体的な値はまだ分からな
いが，とにかく概念的に p を導入する．具体的な値は後で求ま
る．
）
(i)
Eyringの式：成長過程
n
n
1回の反射から，次の反射までの時
間間隔は p/c．その間に音源が放射
するエネルギは，W(p/c)
第1回反射音が，次の反射までの時
間 p/c の間に放射するエネルギは
W (1 − α )( p / c )
n
−
(iii) 境界面の平均吸音率をαとすると，1 回反射した音の出力，すな
わち各境界面での第 1 回反射音に対応する鏡像の音響出力の合
第n回反射音の出力は
W (1 − α ) ( p / c)
n
−
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計は，W のうち 1-αが壁で吸音されてしまっているのだから，
−
W(1-α)となる．したがって，次の反射までに放射されるエネル
−
ギは，W(1-α)(p/c)である．
−
以下同様に考えていくと，第 n 回反射音の出力は W(1-α)n であるか
ら，その次，すなわち第(n +1)回の反射までに放射されるエネルギは，
となる．
(iv) ここで，第 n 回反射音までを含む室内の音響エネルギ密度（す
なわち，直接音と第 n 回までの反射音までのエネルギ密度合計）
En は，
Eyringの式：成長過程
n回反射後のエネルギは，n回反射
までの総和であり，次の成長式を
得る
n
pW
En =
1 − 1 −α
cV α
n
[
エネルギ
(
)]
m
n
−
p
p
W + ∑ W 1 − α 
c

 = pW
m=1 c
En =
−
V
cV α
反射回数n
0
1
2
3
4
5
6
7
…
時間t
p/c
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  − n
1 − 1 − α  
 
 
−
ここで，定常状態のエネルギ密度 E0 は，n→∞すなわち(1-α)n →0 で
Eyring：定常状態
n
−
あるから，E0 =pW/cVαとなる．ところで，これは前述 Sabine 理論と
同様に，先に求めた拡散音場での定常状態におけるエネルギ密度の
定常状態のエネルギ密度 E0は，
n → ∞に相当．すると，
−
値 E0 =4W/cS αと等しくなければならない．
pW / cV α
これは，Sabine理論のE0と同じで
なければならない．
これによって ,具体的に平均自由行
路 p=4V/S と求まる
n
n
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n
(vi) 次に，t 秒間に境界面で反射する回数を求める．t 秒間には音は
ct [m] 伝搬する．一方，反射 1 回当たり音が伝搬する距離が平均
自由行路である．したがって，ct を平均自由行路 p で割れば良
い．すなわち，
．
(vii) 定常状態で音源を停止してから t 秒後，すなわち n =cSt/4V 回反
射した後のエネルギ密度 E は，
定常状態のエネルギ密度 E0 から，
先に求めた En （n 回分の反射音の合計エネルギ密度＋直接音の
エネルギ密度）を引いた値である．つまり，E = E0 −En ．いま，
t 秒間に境界面で反射する回数は，
ct/p = (cS /4V)t．これによって,反射
回数nを時間 tに換算
定常状態で音源を停止してから，n
回反射後のエネルギは
この減衰式を
n
時間 tの式に変換
E = E0 1 − α
して，E/E 0=10 -6
となる時間を求める
→Eyring の残響式 n これは,反射回数 nで表した減衰式
(
)
であるが,n = cSt/4Vを代入すれば ,
時間tで表した減衰式になる .
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−
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Eyring：減衰過程
n
−
(v) したがって，p W/cVα=4W/cSαを解いて，p=
のよう
に平均自由行路が具体的に求まる．
（注意：拡散音場では，平均
自由行路は
だけで決まり，室形に依存しない．
）
−
19
前述のとおり En = E0 [1-(1-α)n ]であるから，
−
−

n
n
E = E0 − E0 1 − (1 − α )  = E0 (1 − α )


これは，いわば反射回数 n で表した減衰の式である．
(viii) ここで，上式に n = cSt/4V を代入し，E/E0 =10-6 となる t = T を求
めれば，この T が残響時間である．
（つまり，反射回数 n で表さ
れた減衰式を，時間 t の式に戻してやる．
）T は次式となる．
T=
これが，Eyring の残響式である．定数 K は，Sabine の場合と同
じ．
Eyringによる減衰過程
エネルギ
1
2
… n
反射回数 n
…
時間 t
Eyringの残響公式
p/c
t = (4V/c S)n
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T=
20
n
− log e (1− α )
≈α+
2005/5/2
n
n
n
n
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KV
− S loge (1 − α ) + 4m V
空気吸収を考慮したもの
V（
容積）
が大きいほど，影響が大きい．
したがって，大空間の計算に用いる．
あるいは，温度・湿度の条件により，
mが大きい状況下で用いる．
Eyring -Knudsenの残響公式ともいう．
Acoust. Env. Planning, K. Sakagami
完全吸音（平均吸音率＝１）のとき，こ
の式がどうなるか考えてみよう！
自然対数を，常用対数に直してみよう．
-log e(1-α)は，α が小さいときは α と近
似できる．ということは．．．？
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21
(c) Knudsen の補正
これまでは，室内の吸音要素として境界面における吸音だけを考
えていた．しかし，空気中を伝搬する音のエネルギは，空気中の分
子，特に水分子によって吸収される（分子吸収）
．これを考慮するた
めに，Knudsen は Eyring の残響式に補正を施した．
(c)Knudsenの補正
T=
n
n
α2 α3
+
+Λ
2
3
KV
− S loge (1 − α )
22
T=
KV
− S log e (1 − α ) + 4mV
これを Knudsen−Eyring の残響公式という．
同じ補正を Sabine の式に施すこともでき，Sabine−Knudsen の
残響公式と呼ばれ，T = KV/(A+4mV)．
m は空気吸収をあらわすパラメタで，周波数，温度，湿度によって
異なる．4mV の形で入っているので，室容積 V が
ほど，そ
の影響は大きい．ホールなどの大空間では，この式が良く使われる．

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