材料の力学第6章演習問題解答(PDFファイル

材料の力学（第６章）解答集
第6章
真直はりの曲げ応力
---------------------------------------------------------------------------------------------------------6.1.1 はりの曲げひずみと曲率半径 r の関係
Ｑ１：下記の式(6.4)を使って  y, z  断面における応力分布  x を図示せよ。
 x  E x  Ey r
（6.4）
Ｑ２：式(6.4)から応力  x は曲率半径 r ，ヤング率 E ，はりの中立軸からの距
離 y に対してどのようになるか理解できたか。
解答：
Q1： yz 断面における応力分布  x は図のように直線になる。
 Ee2 / r
M
b
上面圧縮
M
e2
x
y
下面引張
dy
Ee1 / r
h
z
e1
微小面積
dA  bdy
y
Q2：応力  x は曲率半径 r ，ヤング率 E ，はりの中立軸からの距離 y に対して，つぎのよ
うになる。
y
r
1
r
 x  E x  E ， 
M
EI z
------------------------------------------------------------------------------------------------------6.2.1 重心の問題
t  ax  t 0
t  4t0
ｙ
１．図 6.7 に示すように z 方向の
微小質量ｄｍ
ｘ
幅 W =一定で， x 方向に板厚
t  t0
が t  t 0  ax と直線的に厚く
奥行きw=一定
なり， a=1ｍ，ｂ＝2ｍ，
ｃ＝ 1.5 ｍ， L=5.5 ｍ，
P1=400N，P2=800N，ｑ＝
x
dx
L
200N/m x  L で板厚が t  4t 0
図 6.7
-1-
台形台の重心
となる台形板の重心 xG を求めなさい。ただし a は板厚の y 方向増加率。
t 0 は x  0 における y 方向板厚。
解答
題意に沿ってモデル図を書くと図のようになる。
（z 方向の幅 w=一定であるので，ここで
は 2 次元平面 x, y  で図示した。まず x  x における台形板の板幅 t および微小質量 dm は，
板の密度を  とし，奥行きを W とすれば， x  L で t  4t 0 であることを考慮して，
 L  3x 
 L  3x 
t  t 0  ax  t 0  3xt 0 / L  t 0 
 ， dm  Wtdx  W 
dx
 L 
 L 
さらに，この板の全質量 m は
L
L
0
0
m   dm  
W
 L  3x 
W 
dx 
L
 L 

L
0
L
W 
3x 2 
L  3x dx 
Lx



L 
2 0
L
W 
3x 2 
5WL

 Lx 
 
L 
2 0
2
したがって，重心 xG は，
∴ xG 
1 L
3WL2 / 2 3L
xdm


m 0
5WL 2
5
このように，0.6L の位置が重心となり，台形板の重心が 0.5L とはならないことを確認でき
た。
---------------------------------------------------------------------------------------------------------☆6.2.3 細い円弧線の重心の演習問題
１．図 6.8（２）に示された細長い線で作られ
（２）細長い円弧の線
た円弧の角度がα＝180°のときその重心
r c os
y
(重心) xG はいくらとなるか。
解答：右図に示すように，円弧線要素の重心は

α

1
1 2
xG   2 xdL 
 r cos   rd
L 2
r  2

2r

sin
d L
ｄθ
x
θ
ｒ
xG 

2r

2
で与えられた。α＝180°（π）を上式に代入す
-2-
図 6.8(2)円弧の重心

s i n
2
れば，
xG 

1 2
2r
 2r
sin 
 xdL 

L 2

2 
（6.23.1）
---------------------------------------------------------------------------------------------------------6.2.3 各種物体の重心の演習問題
図 6.12 に示したような密度一定で，軸対称な 3 次元物体の重心が体積モーメ
ント xdV を使って， xG 
1
V

h
0
xdV で求められることを証明せよ。
解答：軸対象物体のｘ方向重心位置を xG ，全体積を V ，全体積の質量を m ，微少要素
r
円錐体の全体積V
1
V  R 2 h
3
R
r
微小体積ｄV
dV  r 2 dx
微小質量
ｄｍ
x
x
dx
h
の質量を dm ，物体の密度を  とすれば，質量モーメントのつりあい式から
xG m   x d m
  x d V
ここで， m 
xG 
 dV  V で求められるから，
1
1
1
xdm 
xdV   xdV


m
V
V
で重心が求められることを証明できた。
------------------------------------------------------------------------------------------------------6.2.2 各種物体の重心または図心の例題
図 6.13 に示した半球の重心を求めよ。
解答：
-3-
１）半球の全体積Ｖは？
V
2r 3
3
２）体積要素の重心の定義から，
3
xy 2 dx
3 V
2r
ここで， dx  ds sin   r sin d で与えられるから
xG 
1
V

V
xdV 

y
円弧長 ds  rd
2
3 2
xG 
r cos  r sin   r sin d
2r 3 0
3 2 4

r  cos  sin 3 d
3 0
2r
3r 
 02 cos  sin 3d
2
d
y  r sin 

x
x  r cos
(6.36)
微小要素の体積
dx
dV  y 2 dx
r
半径ｒ
ここで， sin   t とおくと， cos d  dt となるか
ら，式(6.36)は，つぎのように積分され，式(1.19)の
結論を証明することができた。
図 6.13
半球の重心
1
3r 1 3
3r  t 4 
3r
xG   t dt    
0
2
2  4 0 8
(6.37)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------第 6 章重心の総合演習問題
１．複合要素，線
図 6.14 に示す複数の線要素からなる物体の重心を求めよ。ただし，細い線で
作られた円弧の重心は既に式（6.25）で求めたように既知で 2r /  が使えるもの
とする。
ｙ
r=b
ｙ
c
x
ｘ
c
b
a
d
ｄ
a
図 6.14
線の複合物体の重心
-4-
解答その１：左側の各線要素(a，b，c，d)の重心はそれぞれつぎのようになる。
a の要素（-a/2，-b）
；ｂの要素(0，-b/2）
；
ｃの要素（c/2，0）
；d の要素（c，-d/2）
；全要素長 L=a+b+c+d
全体のモーメントは個々のモーメントの和で与えられるから，重心 xG , yG  について，
次式が成立する。
xG L  a   a 2  0  b  c  c 2  d  c
 a 2 / 2  c 2 / 2  dc  a 2  c 2  2dc

L
2a  b  c  d 
同様にして y 方向の重心 y G は
yG L  a   b  b   b 2  c  0  d   d 2
∴ xG 
∴ yG 
 ab  b 2 / 2  d 2 / 2  2ab  b 2  d 2

L
2a  b  c  d 
解答その２：右側の各線要素(a，b，c，d)の重心はそれぞれつぎのようになる。
a の要素（0，-a/２）
；円弧の要素(ｂ，4r/π）
；
ｃの要素（2b，-c/２）
；d の要素（2b+d/２，-ｃ）；全要素長 L=a+πr＋c+d
そこで，図 6.14 の右側の線要素全体の重心を xG , yG  ，線全体の長さを L として，各線
要素の重心座標を求めると以下のようになる。
全体のモーメントは個々のモーメントの和で与えられるから，重心 xG , yG  について，
次式が成立する。
xG L  a  0  r  b  c  2b  d  2b  d / 2
∴ xG 
rb  2bc  d (2b  d / 2)
L

2rb  4bc  d (4b  d )
2a  r  c  d 
同様にして y 方向の重心 y G は
yG L  a   a / 2  r  4r /    c  (c / 2)  d  (c)
 a 2 / 2  4r 2  c 2 / 2  dc  2a 2  8r 2  c 2  2dc

L
2a  r  c  d 
y
30
40
２．複合要素，平板
図 6.15 に示す３角板と
孔ありの長方形板か
ら構成される，板厚一
定の平板の
重心を求めよ。
20
∴ yG 
20
30
90
図 6.15
３角板と長方形板から構成される物体の重心
-5-
x
解答：
図から明らかなように，各平板の部材重心は，３角板の重心（20，0），長方形の重心
（60，0）
，穴あき板の重心（65，0）
，またその個々の面積は，
３角板の面積＝600ｍｍ２，長方形の面積＝2400ｍｍ２
穴あき板の面積＝600ｍｍ２，全体の面積＝600＋2400-600＝2400ｍｍ2
以上から，全体のモーメントは個々のモーメントの和であり，かつ，この場合，穴あき
板はモーメントの方向が逆であると考えればよいから，時計回りのモーメントを正とす
れば次式が成立する。なおｙ方向の重心（重心）は左右対称であるから，yG  0 である。
xG A  20  600  60  2400  65  600  117000mm3
∴ xG 
117000 117000

 48.75mm
A
2400
３．複合要素，体積
図 6.16 に示す円錐体，円柱および半球から構成される物体の重心を求めよ。
また，特殊な例として a  b  r  h の場合の重心 xG はいくらになるか。
解答：
図から，それぞれの重心は，
円錐： 3a / 4 ；円柱： a  b / 2 ；半球： a  b  3r / 8
またその体積は，円錐： V 
1 2
2
r a ；円柱： V  r 2 b ；半球： V  r 3
3
3
y
半径ｒ
円錐
直径ｄ
円錐
円柱
a
半球
b
図 6.16
全体の体積は V 
x
体積物体の重心
1 2
2
r 2
a  3b  2r 
r a  r 2 b  r 3 
3
3
3
また，図から問題物体が x 軸に対して軸対称であるから，y 方向の重心は当然のことなが
-6-
ら xG  0 である。したがって，ｘ方向の重心 xG に関するモーメント式は
x GV 
3
3a r 2 a  2a  b 
 8a  8b  3r  2r
2


  r b  

4
3
8
3
 2 


x GV 
6r 2 a 2 24r 2 ab  12r 2 b 2 16r 3 a  16r 3b  6r 4


24
24
24

r 2
6a
24
2
 24ab  12b 2  16ar  16br  6r 2 
ゆえに，重心 xG は，
r 2
xG 
6a
24
2
 24ab  12b 2  16ar  16br  6r 2
r 2
3


a  3b  2r 
6a 2  24ab  12b 2  16ar  16br  6r 2
8a  3b  2r 
とくに a  b  r  h と等しい長さの場合，
xG 
6h 2  24h 2  12h 2  16h 2  16h 2  6h 2 80h 2 10h 5h



8h  3h  2h 
48h
6
3
---------------------------------------------------------------------------------------------------------☆断面 2 次モーメントおよび断面係数（演習問題）
１．図 6.21 に示す H 形鋼の断面 2 次モーメントおよび断面係数 Z はいくらか？
２．図 6.21 に示す H 形鋼の底辺（ x ）まわりの断面２次モーメントを平行軸の
定理を使って求めよ。
---------------------------------------------------------------------------------------------------------解答 1.:
まず，断面係数は次式で定義される。
断面係数Z 
I
断面２次モーメント
 xG
はり材料の図心から端までの距離
e
そこで，式(6.39)で求められた H 形鋼の重心周りの断面 2 次モーメント
b  b1  2h1 bh 3 b  b1 h1
bh 3
2


12
12
12
12
を使って， e  h / 2 であることを考慮すれば，断面係数は次式となる。
3
3
I xG 
bh 3 b  b1 h1
bh 2 b  b1 h1
Z (

)/e 

12
12
6
6h
解答 2.:
3
平行軸の定理を図の各要素について適用する。
１）底辺の長方形
-7-
3
y
I x1  I x1G  d1 A1
2
H形鋼の全面積A
b
ここで，図より，
h2
3
d1 
h2
bh
, A1  bh2 , I x1G  2 を代入し
2
12
I xG
b1
bh2  h2 
   bh2
12  2 
I x1 
て，
x
G
h1
2
3
bh2  3bh2
bh
 2
12
3
3

h
3
x
h2
Ix
3
＝
面積A
-
IxG 
面積A0
I xG 
2(面積A 1） I xG
H 形鋼の断面 2 次モーメント
図 6.21
２）中央の長方形
以下同様にして，平衡軸の定理を中央の板に適用すれば， I x 2  I x 2G  d 2 A2 と書け，
2
2h  h2
bh
ここで，図より， d 2  1
, A2  b1 h1 , I x 2G  1 1 であるからこれを上式
2
12
3
に代入して，
bh
b h  12b1 h1  12b1h1 h2  3b1 h1 h2
 2h  h2 
 1 1  1
 b1h1  1 1
12 
2
12

2
3
Ix2
13b1 h1  12b1 h1 h2  3b1 h1 h2
12
3

3
2
3
2
2
2
３）上辺の長方形
同様にして，平行軸の定理を上部の板に適用すれば， I x 3  I x 3G  d 3 A3 と書け
2
2h1  3h2
bh
, A3  bh2 , I x 3G  2 であるからこれを上式
2
12
3
ここで，図より， d 3 
に代入して，
bh
bh  12bh1 h2  36bh1h2  27bh2
 2h  3h2 
 2  1
 bh2  2
12 
2
12

2
3
I x3
28bh2  12bh1 h2  36bh1 h2
12
3

2
3
2
以上の結果を総合して，
-8-
2
2
3
3
3
2
2
3
2
2
bh2
13b1 h1  12b1 h1 h2  3b1 h1 h2
28bh2  12bh1 h2  36bh1 h2


3
12
12
--------------------------------------------------------------------------------------------------------☆極断面 2 次モーメントの演習例題
ｙ
I yG
（１）図 6.23 に示した円形の断面２次モーメン
トを極断面２次モーメントの I P の定義式
I x  I x1  I x 2  I x3 
ｄｒ
(6.49)から求めなさい。
解答：図 6.22 に示すように，半径 r 方向に微小面積
dA をとれば， dA  2rdr であり，さらに I P は，
A

ｘ
G

I P   r 2 dA   x 2  y 2 dA  I xG  I yG
A
I xG
r
直径d
で，この場合，軸対称であるので
(6.50)
エラー! ブックマークが定義されていません。
円
形
断
面
２
次
モ
ー
メ
図 6.23
ン
ト
であることに注意すれば，
d 2
I xG
2  r 4 
d 4
1 2
1 d2 2
 I P / 2   r dA   r 2rdr 
  
2  4 o
64
2 A
2 0
(6.51)
となり，すでに求められている式(6.47)の結果がこのように比較的簡単に求められる。
-------------------------------------------------------------------------------------------------------6.3.5 その他の形状の断面２次モー
y
I
メント計算法（演習問題）
１．図 6.25 に示される孔抜き３角板と
長方形板から構成される物体の x 軸
A
（底辺），すなわち，底辺まわりの断 h2
D
h3
面２次モーメントを，以下の設問手
A
yG
3
2
順にしたがって求めよう。
h1
Q1；合成板材の全面積 A はいくらか？
解答： bh1  bh2 / 2  D / 4
A1
2
Q2；板材の底辺 x 軸から測った，
x
Ix
b
１）板材の重心座標はいくらか？
Ix
解答： h1 / 2
＝
２）３角板の重心座標は底辺からいく
Ix
らか？
面積A
図 6.25
-9-
Ix
＋
Ix
面積A1
面積A2
面積A3
三角板・四角板
解答： h1  h2 / 3
３）穴抜き円板の重心座標は底辺からいくらか？
解答： h1
 h3
さて，平行軸の定理，式(6.42)の I x  I xG  d A
2
を使って，
４）板材の x 軸からの断面 2 次モーメント I x 1 はいくらか？
2
bh
bh
h 
解答： I x1  I x1G  d1 A1  1   1  bh1  1
12  2 
3
3
3
2
５）３角板の x 軸からの断面２次モーメント I x 2 はいくらか？
解答：３角板の重心周りの断面 2 次モーメント I x 2 G は式(6.43)で求めたように
x
3
bh2 36 である。したがって，軸からの断面２次モーメント I x 2 は
bh
 3h  h  bh
 d 2 A2  2   1 2   2
36  3 
2
2
3
I x 2  I x 2G
2
６）穴抜き円板の x 軸からの断面２次モーメント I x 3 はいくらか？
解答： I x 3  I x 3G  d 3 A3 
2
D 4
64
 h1  h3  
2
D 2
4
７）以上の結果を使って， I x を求めよ。
解答： I x
 I x1  I x 2  I x 3
bh1 bh2 9bh1 h2  6bh1h2  bh2 D 4
D 2
Ix 



 h1  h3 
3
36
18
64
4
3
3
2
2
3
bh1 bh2 9bh1 h2  6bh1h2 D 4
D 2




 h1  h3 
3
12
18
64
4
3
3
2
2
８）この図形の重心座標はいくらか？
解答：角板，３角板，穴抜き円のそれぞれの y 方向重心座標 YG i および面積 Ai は次のよ
うになる。
１）重心座標 YG i
角板：
h 2 ；３角板： h
1
1
 h2 / 3 ；穴抜き円： h1  h3 
- 10 -
y
２）面積 Ai
I yG
角板： bh1  ；３角板： bh2 / 2 ；穴

抜き円： D / 4
2

h2
したがって全体の重心 y G は
yG 
y
Gi
A
Ai
A4
1
h2
3
から求められる。以下
D
各自で検証してください。
全面積 A
h1
２．図 6.26 に示すような家の側面図を
書いてみました。このような窓付き
板材の x 軸まわりの断面２次モーメ
ントを以下の設問手順にしたがって
求めよう。
Q1；合成板材の全面積 A はいくらか？
解答： A  bh1 
A3
h4
A2
A2
h3
x
c
b
考え方
bh2
D 2
 2ch4 
2
4
Ix
＝
A
Q2；底辺 x 軸から測った，
-2
A1
-
+
A2
A3
１）板材の重心座標はいくらか？
解答： d1  h1 2
２）３角板の重心座標はいくらか？
解答： d 2  h1  h2 3
図 6.26
３）穴抜き円板の重心座標はいくらか？
解答： d 3  h1  h2 3
さて，平行軸の定理， I x  I xG  d A を使って，
2
４）板材の x 軸からの断面 2 次モーメント I x 1 はいくらか？
3
解答： I x 1  I x1G
2
bh
bh
h 
 d1 A1  1   1  bh1  1
12  2 
3
3
2
５）三角板の x 軸からの断面２次モーメント I x 2 はいくらか？
bh
 3h  h  bh
 d 2 A2  2   1 2   2
36  3 
2
3
解答： I x 2  I x 2G
2
2
- 11 -
Ix
c
a
家の側面図
A4
６）穴抜き円板の x 軸からの２次モーメント I x 3 はいくらか？
解答： I x 3  I x 3G
 3h  h2  D 2
 d 3 A3 
 1
 
64 
3 
4
2
D 4
2
７）穴抜き 2 枚の板材の x 軸からの２次モーメント I x 4 はいくらか？
ch
 2h  h4 
 d 4 A4  4   3
 ch4
12 
2

2
3
解答： I x 4  I x 4G
2
８）以上の結果を使って， I x を求めよ。
解答： I x  I x1  I x 2  I x3  I x 4
bh1
bh2
9bh1 h2  6bh1h2  bh2
D 4
Ix 



3
36
18
64
3

3
2
2
3
2
2
3
 4ch4 h3 2  4ch3 h4 2  ch4 3 
9D 2 h1  6D 2 h1 h2  D 2 h2
ch

 4  

36
12 
4

９）この図形の重心はいくらか？
解答：角板，３角板，穴抜き円，穴あき平板のそれぞれの y 方向重心座標 y G i および面積 Ai
は次のようになる。
１）重心座標 y G i
Ai 角板：h1 2；３角板：h1  h2 / 3；穴抜き円：h1  h3 ：穴あき平板 h3  h4 / 2
２）面積 Ai


角板： bh1  ；３角板： bh2 / 2 ；穴抜き円： D / 4 ：穴あき平板： 2ch4 
2
したがって全体の重心 y G は
yG 
y
Gi
Ai
A
から求められる。以下各自で検証してください。
☆第６章総合演習問題
１．許容曲げ応力 60MPa のはりが， 1.2  10 6 N  mm の最大曲げモーメントをう
けるとき，必要最小限の断面係数はいくらか。
（解答： 2.0  10 4 mm3 ）
解答：
はりの断面係数を Z とするとき，曲げ応力  と曲げモーメント M の関係は，
  M Z であるから，
Z
M


1.2  10 6  10 3
 0.02  10 3 (m 3 )  2.0  10 4 mm3 
60  10 6
- 12 -
２．図 6.31 に示す長方形の断面を持った両端支持はりについて以下の設問に答
えよ。ただし，はりの断面形状は 15mm  30mm の長方形とする。
200N
100N
A
D
B
30
C
Ra
500
300
200
Rb
15
1000mm
図 6.31 長方形断面はりの強さ
（解答： R a  90N ， Rb  210 N ）
１）支点反力はそれぞれいくらか。
２）最大曲げモーメント M max はいくらか。
（解答： M max  45000 N  mm ）
（解答： Z  2250mm ）
3
３）断面係数 Z はいくらか。
解答：
１）力のつりあい式とモーメント式から反力が求められる。すなわち
Ra  Rb  300( N )
Rb 1000  500 100  800  200  210000
∴ Rb  210( N ) ， Ra  90( N )
２）最大曲げモーメント M max はいくらか。
解答：厳密に BMD を求めればよいが，集中荷重だけが働く問題であるからここでは直感
的に各点に働く曲げモーメントを算出する。
M A  Ra x  90  0  0 ， M C  Ra x  100( x  500)  90  500  45000( N  mm)
M D  Ra x  100( x  500)  200( x  800)  90  800  100  300  42000( N  mm)
MB  0
したがって， x  500mm で最大曲げモーメント M max が発生し，その値は
M max  45000( N  mm)
３）断面係数 Z はいくらか。
解答： Z  I xG e で与えられる。ここで図の断面形状における断面 2 次モーメントは
I xG 
bh 3 15  30 3

 33750(mm 4 )
12
12
したがって，
Z
I xG 33750

 2250(mm3 )
e
15
- 13 -
４）最大曲げ応力  max はいくらか。
解答：  max 
M max 45000

 20.00( N / mm 2 )  20( MPa )
Z
2250
３.図 6.32 に示すような断面形状の H 形鋼において，その許容曲げ応力を
  80MPa とするとき，片持ちはりの先端にかける最大荷重 P はいくらま
で許されるか。
☆解答の手順
１） H 形鋼の，断面 2 次モーメント I xG および断面係数 Z を求める。
２）曲げモーメント M を計算する。
３）モーメント M  -PL より P を算出する。
1000ｍｍ
40
10
20
P
20
図 6.32 H 形断面はりのつよさ
解答：解答手順に沿って以下，考える。
１） H 形鋼の，断面 2 次モーメント I xG および断面係数 Z は
I xG 
 5  20 3 
20  40 3
  106666.67  6666.67  100000(mm 4 )
 2
12
 12 
I xG 100000

 5000(mm3 )
e
20
２）曲げモーメント M を計算する。
はりの曲げモーメント M と応力  の関係は，   M Z で与えられるから，許容でき
Z
るモーメントは
M  Z  80  10 6  10 6  5000  400000N  mm
３）モーメント M  -PL より P を算出する
２）で求めたモーメント M が片もちはりの右側固定端に生じるから，集中荷重を P ，は
りの長さを L とすれば， PL  M より
- 14 -
P
M 400000

 400( N )
L
1000
４．図 6.33 に示すような直径 d 一定の丸棒
直径ｄ
h
から長方形断面を持ったはりを切り出
し，その断面係数を最大としたい。 b と
h の比はいくらにすればよいか。
b
図 6.33
丸棒から角材切り出し
解答：
断面係数を Z とすれば， Z  bh 6 であり，幅 b と高さ h と直径 d の間には
2
d 2  b 2  h 2 の関係があるから，
Z
bh 2 bd 2  b 2 

6
6
したがって，
dZ d 2  3b 2

。 dZ db  0 で最大点が見出されるから，
db
6
dZ d 2  3b 2

0
db
6
b
d
，h 
∴ d  3b  0 ，したがって，
2
2
2
d
3
3
であり， b : h  1 : 2 となる。またこのとき Z は，
bh 2
d 2d 2
d3
Z
(

)/6 
となる。
6
3
3
9 3
５．同一断面積をもつ正方形と円の断面係数を比較し，両者の比を求めよ。
解答
正方形の面積は 1 辺を a として， A正＝a ， Z 正＝
2
a 3 A正 a

6
6
円の直径を d として，面積は， A円  d / 4 ， Z円＝
2
ところで，題意から断面積が等しいから，
d
4
d
2
＝
 1.1284
a

- 15 -
d 3
32

A円d
8
2
＝a 2 であり，したがって，
したがって，両者の断面係数の比は
Z円 A円d / 8 6d 3d 3
＝


  1.1284  0.846
Z 正 A正 a / 6 8a 4a 4
６．図 6.34 に示すような片持ちはりがある。このはりの許容曲げ応力
 b  60MPa とすれば，固定端に必要な断面係数 Z はどれほどか。またはり
の断面を幅 b  500mm の長
方形とした場合，高さ h は
どれほどか。
(解答：Z  5.83  10 4 (mm3 ) ，
h  83.6(mm) )
3000N
2000N
h
500
500
50
解答；
図 6.34
１）固定端に生じる最大曲げモーメント
片持ちはりの強さ
は， M max  2000  1000  3000  100  3.5  10 ( N  mm)
6
-符号ははりが上に凸であることを意味する。
２）必要とする断面係数 Z の値は M max   a Z より
Z
Mm
a

a x
3.5  10 6
 5.83  10 4 mm3
60


３）長方形断面の高さ寸法 h は断面係数 Z  bh 6 より
2
h
6Z
6  5.83  10 4

 83.6mm
b
500
ｔ
７．断面が図 6.35 に示すはりに一様な
曲げモーメントが作用するとき，こ
のはりの最大応力が最大圧縮応力
の 1/3 になるためにはフランジ幅ｘ
はどれだけあればよいか。
解答：
中立軸が図に示すようにフランジから距離
圧縮側
ｈ
ｔ
G
ｃ
ｘ
引張側
ｃ離れたところにあるとすれば，この材料
の最大応力  max ，最小応力は  min
図 6.35
- 16 -
T 字はりの強さ
 max 
Mc
M h  c 
，  min  
IZ
IZ
題意の条件より  max   1 3 min であるから，この関係を上式に代入して
 max 
M h  c 
Mc 1
M h  c 
，したがって Mc 
より
  min 
IZ
3
3I z
3
∴c  h 4
一方，はりの断面の重心はｃにあるはずだから，重心を求めると
c
h
t
 x  t   t 
2
2 h
ht  x  t t
4
t h
∴x t
h2
h

h  2t 4
P
８．図 6.36 に示す段付の片持ちはり
において，A，B に生じる最大応力
を等しくするには直径 D1 , D2 にど
C
D1
D2
B
A
x
のような関係が必要か。
解答：
x
固定端 A および段付中点 B に生じる最大
L1
応力を  A max ，  B max とすれば，
L2
L
図 6.36
 A max 
PL1  L2 
D
2
3
32


32 PL1  L2 
D2
3
段付片持ちはりのつよさ
，  B max 
PL1
D
1
3
32


32 PL1
D13
題意の条件より，  A max   B max であるから
13
D L 
∴ 1   1  ただし， L  L1  L2
D2  L 
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- 17 -

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