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「相対論 超概論」

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「相対論 超概論」
鈴木 隆平
今年 2011 年は、相対性理論にとって記念すべき年
り、数学の歴史と物理学の歴史を切り離して考えるこ
に当たります。アルバート・アインシュタインの論文
とはできません。もっとも、よくよく考えてみると、
「光の伝播に対する重力の影響」が発表されてから 100
人間が生み出した概念に過ぎない数学が、人間の知的
周年になるからです。この論文以後アインシュタイン
活動とは無関係に存在する自然界を記述できるという
は数年をかけて一連の論文を発表し、それらの論文に
のは非常に不思議な話なのですが、それはともかく、
よって 20 世紀物理学の金字塔のひとつである一般相
数学と物理学は相互に刺激しあって発展していき、物
対性理論が確立されたのでした。
理法則を表現するための数学的手段が次々に開発され
とはいえ、相対性理論という名前を聞いたことがあ
る人はかなりいると思われますが、それが何について
のどのような理論なのかを知っている人はあまり多く
ないのではないでしょうか?例えば、一般相対性理論
の「一般」とは何なのでしょう?一般ではない相対性
理論があるということでしょうか?そもそも、「相対
性」とは何が何に対して相対的と言っているのでしょ
うか?
相対性理論は自然界の 4 つの基本的な力のうち、重
力を説明する理論です。また、きわめて美しい構造を
持っており、物理学の理論とはこうあるべきだ、とい
うお手本のような存在です。相対性理論を本当に理解
しようとしたら、やはり専門書を読んで難しい方程式
と向き合う必要があるのですが、「相対性理論ってこ
んな理論だよ」と言葉で説明することも不可能ではな
いと思います。そこで、今回は相対性理論のエッセン
スを、なるべく簡潔にご紹介したいと思います。
■ 物理学の大前提と歴史
そもそも物理学が成立するためには、基本となる大
前提が存在します。その大前提とは、
「自然界の法則は、方程式を用いて数学的に表現で
きる」
というものです。自然界の秩序を表現するのに、数学
の論理性が有用だということは大昔から知られてお
ていきました。古代ギリシャから中世にかけては幾何
学、近世以降は微積分学が大いに発展し、自然の法則
は関係する物理量をパラメーターとする微分方程式で
表現されるという認識が確立しました。物体の運動を
記述するとは、この微分方程式を解くことと等価なの
です。
こうして 19 世紀の後半までに、物理学の 2 つの分
野における基礎方程式が確立されました。重力下の物
体の運動を記述する力学では、アイザック・ニュート
ンが定式化した、質量と加速度の積が力に等しいとい
う有名な " ニュートン方程式 "、電気と磁気の振る舞
いを記述する電磁気学ではジェームズ・クラーク・マッ
クスウェルによる " マックスウェル方程式 " が、それ
ぞれの分野の基礎方程式となりました。これらの方程
式とその応用から、当時知られていた物理現象はすべ
て説明できるように見えたので、一時は物理学はこれ
で完成した、あるいは完成間近だという人もいたよう
です。これが相対性理論前夜の状況でした。
■ 力学と電磁気学の矛盾
とはいえ、これで安心できなかった人もいました。
力学と電磁気学は、対象とする物理現象が異なってお
り、同じ宇宙の違った側面を記述しているわけですが、
この 2 つの理論の間に矛盾がないと言えるのでしょう
か?同じ宇宙の物理法則を説明する理論なのに、理論
の間に矛盾があったとしたら、少なくともどちらかの
9
理論は修正を必要とするのではないでしょうか。
実際、19 世紀の終わりまでには、ニュートン方程式
とマックスウェル方程式の間に矛盾があることが知ら
れていました。その矛盾とは、ある観測者が自分を中
心とした座標系で観測した物理現象を、他の観測者が
■ ガリレイ変換とそれに対する不変性
ある時刻で A と B が X 軸上の同じ位置 x におり、A
は静止したままですが、B は一定の速度 v で X 軸の方
向へ移動していくとします。時間 t が経過した後の B
の位置は、A から見るとどのように表わされるでしょ
観測するとどうなるか、という問題に関連しています。
うか?単純に考えると、距離が時間と速度の積で表わ
同じ物理現象を観測していても、観測者によって現
されるという関係から、B は位置 x から vt だけ進んで
象の解釈が異なる、というのは珍しいことではありま
いるでしょう。したがって、B の座標に ' を付けて表
せん。例えば、静止している人 A の前を車が通り過ぎ
わすことにすると、A と B の座標の間の関係は、
たとしましょう。A から見ると、自分は止まっている
のに対し車は動いている、ということになりますが、
車に乗っている人 B から見ると、B と車は静止してい
と表現されます。即ちこれが、A と B の間の最も単純
て、A を含めた回りの景色が動いているのだ、と主張
な変換則であり、" ガリレイ変換 " と呼ばれます。今
することも可能です。自分を中心とした現象の説明と
の例では A は静止しているとしましたが、必ずしも静
しては、A も B も首尾一貫しており、相対的に正しい
止している必要はなく、A も X 軸上を等速直線運動し
と言えます。
ているとしても構いません。その場合、上記の式の v
この相対性を物理理論で表現したらどうなるでしょ
うか。A と B の立場の違いは数学的には座標系の違い
として表現されるでしょう。この座標系の間でパラ
メーターの変換則を設定することにより、座標系 A と
B の立場を相互に「翻訳」することが可能になります。
この変換則を理論の方程式のパラメーターに適用すれ
ば、方程式自体の「翻訳」を行ったことになります。
を A と B の相対速度に置き換えれば、ガリレイ変換は
そのまま適用できます。つまり、ガリレイ変換は任意
の慣性系の間の変換則と考えられます。ここでは説明
しませんが、この変換則をニュートン方程式に適用し
たとき、変換後の方程式の形が不変であることを確か
めることができます。
注意したい点が 2 つあります。1 つ目は、今の論理
翻訳の結果、A の座標系での方程式と、B の座標系で
において時間 t は 2 つの慣性系で共通と仮定している
の方程式の形に変化がなければ、A と B に対して同じ
ことです。A の手元にある時計と、B の手元にある時
方程式、同じ理論を適用できることになります。
計は同じ時を刻んでおり、お互いに自分の時計を見る
一口に座標系の違いといっても、実際には無数のパ
ターンがあるわけですが、一番簡単なのは A から見て
ことで相手の時間を知ることができるという仮定で
す。式で表わすと、
B が等速直線運動、つまり加速度の無い運動をしてい
る場合です。もちろん、B から見た場合は A が等速直
線運動をしているということになります。A または B
の運動は、各自を原点とした座標系の運動として表現
することができます。以後、この等速直線運動をする
座標系の事を " 慣性系 " と呼びます(ニュートンの慣
性の法則が成り立つ座標系という意味です)。
力学と電磁気学の矛盾とは、この慣性系における座
標変換に関わる問題でした。この矛盾を解決する過程
で、相対性理論が誕生したのです。では、その矛盾に
ついて解説していくことにしましょう。
10
ということになります。ニュートン力学ではこの共
通の時間の流れは全宇宙で一様であるとしており、
" 絶対時間 " と呼んでいます。2 つ目に注意したいのは、
今までの議論は私達の日常の感覚をニュートン力学に
当てはめた結果であるということです。ニュートン力
学の理論の前提としてガリレイ変換不変性が要求され
ているわけではなく、私たちが感覚的に成り立ってい
ると期待する関係をニュートン方程式に適用したら、
結果として不変であったにすぎないというわけです。
こうしてニュートン方程式にガリレイ変換不変性が
あることを確認できたので、マックスウェル方程式に
も同様の結果が成り立つと期待したくなります。しか
し、困ったことに、マックスウェル方程式にガリレイ
変換を適用した結果は、方程式の形が全く変わってし
まうのです。これこそが 2 つの方程式の間の、ひいて
は力学と電磁気学の矛盾でした。
力学と電磁気学が両方間違っているという可能性も
ありますが、仮にどちらか一方は正しいとすると、こ
の矛盾を解決するには次の 2 通りの解決策が考えられ
ます。
1.ニ ュートン力学が正しく、マックスウェル電
磁気学はガリレイ変換に対して不変になるよ
うに修正されるべき。
2.マ ックスウェル電磁気学が正しい。ガリレイ
変換とは別の、マックスウェル方程式を不変
にするような変換が存在し、ニュートン力学
はその変換に対して不変になるように修正さ
れるべき。
2 番目の可能性にある、マックスウェル方程式を不
● 真 空中の光の速度 c は光源の運動に無関係で、
一定である。
最初の原理は今日では " 特殊相対性原理 " と呼ばれ
ます。それまでの物理学では、既に確立した理論に対
しある座標変換を施して物理法則が同じ形になるかど
うかを議論していましたが、アインシュタインは議論
をいわばひっくり返して、物理法則が同じになること
を原理として要求したのです。この原理によると、全
ての慣性系は互いに同等であり、異なった運動をする
慣性系の間で物理現象の解釈が様々であったとして
も、それらは「相対的に」正しいということになりま
す。また、座標系の運動状態は無数に考えられますが、
今は慣性系、つまり等速直線運動をしている座標系と
いう「特殊な」場合に限定しています。これが、「特
殊相対性」という名称の意味するところです。
2 番目の原理は " 光速度不変の原理 " と言います。
なぜいきなり光の速度が出てくるのかと思われるかも
しれないので説明しますと、マックスウェル電磁気学
では光は電場と磁場が交互に変化する波、つまり電磁
波として表わされます。そして、波の一般的な性質と
変にする変換は実際に提唱され、今日では提唱者の名
して、波の速度は波源の運動には無関係です。つまり、
前を取って " ローレンツ変換 " と呼ばれています。し
光速度不変の原理は、力学と電磁気学の矛盾を解決す
かし、そのような変換を正当化する根拠はありません
る上記の 2 つの方法のうち、光を電磁波とするマック
でした。もっとも、ガリレイ変換自体を正当化する根
スウェル電磁気学の立場を正しいとする後者の立場を
拠も特に無かったのですが、ガリレイ変換は私達の感
採用していると解することができます。
覚に合致しているので、ガリレイ変換に修正を強いる
にはそれなりの根拠が求められたのです。まさにその
根拠を提示し、論理的に明快な方法で矛盾を解消した
のがアインシュタインの特殊相対性理論でした。
■
特殊相対性理論の原理
アインシュタインは、1905 年の論文「動いている物
体の電気力学」において特殊相対性理論を発表しまし
た。論文のタイトルには相対性などという言葉は出て
こないのですが、電気力学つまり電磁気学の在り方こ
そが論点の核心であったことは前述の通りです。
アインシュタインは、この論文において次の 2 点を
原理、つまり理論の前提として提唱しています。
●すべての慣性系で、物理法則は同じ形を取る。
これらの原理から理論を展開して、アインシュタイ
ンは様々な興味深い結果を導出しています。では、そ
の結果の一部を見ていきましょう。
■ 長さの収縮と時間の遅れ
アインシュタインは、特殊相対性原理と光速度不変
の原理から出発して、ローレンツ変換を再発見し、そ
の物理的な意味を明確にしました。特殊相対性原理
の要請からすると、慣性系の間の座標変換はガリレイ
変換ではなくローレンツ変換であり、これに基づいて
ニュートン力学は修正される必要があります。このよ
うにして導出された理論的帰結の 1 つに、運動してい
る物体の長さが収縮する、また時間が遅れるという有
名な概念があります。もちろんここで言う運動とは等
速直線運動のことです。正確に言うと、運動している
11
座標系(以下運動系といいます)と静止した座標系(以
です。これを静止系から見るとどうなるかは、x'1、x'2
下静止系といいます)の間で座標変換を行うとこのよ
それぞれにローレンツ変換の式を当てはめて静止系の
うな結果になるという意味です。
座標 x1、x2 を導出し、その間の距離を計算すれば分か
もう少し詳しく説明しましょう。そのために、まず
ります。すると、静止系でのある時刻 t において、
ローレンツ変換の具体的な形を見ることにしましょ
う。先ほどと同様に、A から見て B が X 軸方向に速度
v で運動しているとき、A と B の間のローレンツ変換は、
となりますから、明らかに、
となります。一般に v < c なので、β < 1 が成り立つこ
とに注意してください。したがって、静止系から観測
した 2 点間の距離は、運動系での距離よりも短くなり、
言い換えると長さが収縮して見えるのです。
時間の遅れも同様に、時間についてのローレンツ変
で与えられます(≡ は左辺を右辺で定義するという意
味の記号です)。長さの次元を持つ x に合わせるため、
時間 t に光速度 c が掛けられていることに注意してく
ださい。速度は長さを時間で割ったものですから、こ
換から導かれます。上記のローレンツ変換は、B の座
標を A の座標で表わした形になっていますが、これを
変形して、A の座標を B の座標で表わすことにしましょ
う。簡単な計算により、A の時間 ct について、
れを時間に掛ければ、残る次元は長さになります。
上の式を見れば分かるように、ローレンツ変換の
となることが分かります。2 つの座標系における経過
形式はガリレイ変換より少し複雑であり、また時間
時間を比較するとしましょう。そのため、A が持って
t は両方の座標系で不変ではなく、空間座標 x に依存
いる時計に合わせた時計をあらかじめ B の移動先に設
して変化します。したがって、相対論ではニュート
置しておき、時間 t' 後にその時計と B の時計を比較す
ン力学での絶対時間という概念は存在せず、各座標
るとします。さて、B 自身は B の座標系の原点にいま
系において時間の進み方は相対的になります。また、
すから、x' = 0 です。すると、
βとγの形式から、v は c と等しい値を取ることは
できないことも分かります。仮に v = c とすると、γ
は無限大となってしまうからです。よって、どんな
が結論されます。ここでの t は、A が持っている時計
物体も光速度まで加速することはできないというこ
に合わせてある時計の読みです。0 < v < c なら γ> 1
とになります。
なので、t > t' となります。したがって、静止系の時計
さて、まず長さが収縮するとは、2 点間の距離が短
くなるということです。これは x についてのローレン
ツ変換から導かれます。速度 v の運動系で X 軸上の座
標 x'1 と座標 x'2 の間の距離が L であったとしましょう。
つまり、
で計った時間は、運動系の時計で計った時間より長く
なり、言い換えると運動系の時間は遅れるということ
になります。
では、なぜ日常的にはこのような現象が体感されな
いのでしょうか。それは、c が秒速約 30 万 km という
とてつもなく大きな値であるのに対し、私たちが通常
関わる速度はそれよりもずっと小さいからです。する
12
と、βはほぼ 0、γはほぼ 1 になり、長さも時間も運
となります。この固有時で先ほどの座標を微分すると、
動系と静止系の間でほとんど同じということになりま
す。この場合はニュートン力学を適用してほぼ精確に
物理現象を記述することができます。つまり、ニュー
トン力学は相対論で v を c に比べて非常に小さくした
となることに注意して、次の 4 元速度が得られます。
場合の近似理論であり、逆に v が c に近くなると相対
性理論を適用する必要が生じます。
■
相対論的エネルギーと E = mc2
相対性理論の有名な公式に、エネルギーと質量の変
さらに、ニュートン力学では速度に質量 m を掛けて運
動量 p を定義します。これに倣い、"4 元運動量 " を次
のように定義しましょう。
換性を示す E = mc という式があります。この式につ
2
いて少し解説しましょう。今までの議論は数学の知識
をほとんど必要としませんでしたが、この節だけは多
ここで、4 元運動量の空間成分 px、py、pz はニュート
少の数学の知識(高校生程度)を前提として説明しま
ン力学の運動量の相対論的拡張とみなすことができま
す。
すが、時間成分 pt の意味するところは何でしょうか?
ニュートン力学の世界では空間と時間は完全に別個
のパラメーターでしたが、相対論ではローレンツ変換
によって時間と空間が相互に依存して変換されます。
そのため、空間と時間を別個に扱うのではなく、一ま
実は、これが " 相対論的エネルギー " に相当します。
つまり、相対論では、時間と空間だけでなく、エネル
ギーと運動量も統一的に扱われるのです。次元を合わ
せるためにエネルギー E を c で割り、E/c = pt として、
とめにして扱うと便利です。それで、物体の座標を、
時間 1 次元と空間 3 次元からなる 4 元ベクトルで表わ
すことにします。成分表示すると、
がエネルギーの表式になります。γが v の関数なので
この E は v に依存しますが、ここで v = 0 とすると E
= mc2 が得られ、物体は最低でも速度によらない " 質
です。さて、よく知られているように、速度とは位置
座標を時間で微分して定義されます。x、y、z 方向の
速度をそれぞれ vx、vy、vz とすると、
量エネルギー "mc2 を持つことになるのです。
E = mc2 は、質量からエネルギーへの変換、またエ
ネルギーから質量への変換が可能であることを意味し
ています。この式の応用を1つだけご紹介することに
します。
太陽では、水素原子 4 個をヘリウム原子1個に変換
です。しかし相対論では、運動する物体によって時間
が相対的ですので、どのように時間で微分するかが問
題になります。一番適切なのは、物体と共に運動する
時計の刻む時間で微分することでしょう。これは、前
節で導入した、運動する座標系の原点にある時計の時
間に他なりません。これを " 固有時 " といい、τで表
わします。つまり、
する核融合反応が絶えず起こっています。このとき、
生成されたヘリウム原子の質量は反応前の水素原子
4 個の質量よりわずかに軽くなります。失われた質量
は E = mc2 にしたがってエネルギーに変換され、その
エネルギーの一部が地球の私達の元に届いているので
す。では、太陽で毎秒どれほどの質量がエネルギーに
変換されているのかを計算してみましょう。
地球上で 1 秒当たりの太陽エネルギーを測定すると、
1340 W/m2 となります(W の次元は m2・kg/s3 です)。ま
た、地球と太陽の間の距離は、平均して 1.50×1011 m
13
です。この距離を半径とする巨大な球面を考えると、
これを " 一般相対性原理 " といいます。すなわち、ロー
その表面積は 4 π(1.50 × 10 ) m になり、これに 1340
レンツ変換だけでなく、任意の座標変換で物理法則が
W/m をかけると太陽が 1 秒間に放出するエネルギー
不変であることを要請する原理です。しかし、この原
が求められます。このエネルギーに相当する質量は、
理だけではまだ重力については何も言っていません。
E = mc の式から、エネルギーを c で割れば算出する
アインシュタインは、加速度系と重力場を結びつける
ことができます。c を 3.0 × 10 m/s 、円周率 π を 3.14
次の原理を提唱しました。
11 2
2
2
2
2
8
2
として計算すると、
● 重力場における重力は適当な加速度系での慣性
力を用いて相殺することができる。
これは " 等価原理 " と呼ばれます。慣性力とは、電
車やエレベーターなどが動き出したときに進行方向と
となりますから、約 400 万トンの質量が 1 秒間にエネ
ルギーに変わっていることになります。これは、太陽
が毎秒 400 万トンずつ軽くなっていることを意味しま
すが、それでも太陽が消えてなくなったりしないのは、
元々太陽が非常に巨大であるからに他なりません。太
陽の質量を 2.0 × 1030 kg、1 年の秒数を 3.15×107 s と
して、1 年間にエネルギーとなって失われる太陽質量
の割合を計算してみてください。
■ 一般相対性理論
特殊相対論はニュートン力学に多くの修正を要求し
ましたが、それだけでは重力理論としてのニュートン
力学に取って代わるものではありません。相対性理論
がニュートン力学を完全に凌駕するには、重力の効果
を理論に取り入れた一般相対性理論の完成を待たなけ
ればなりませんでした。最後に一般相対性理論につい
てごく簡単に触れることにします。
特殊相対性理論の「特殊」とは、座標系として慣性
系のみを考慮するという意味でした。すると、一般相
対性理論とは、座標系を限定せず、0 でない任意の加
速度を持つ座標系(" 加速度系 ")について議論を一
般化した相対性理論であろうということが容易に推察
でき、事実その通りです。
つまり、特殊相対性原理は次のように一般化されま
す。
る座標系においても、適当な加速度系に座標変換する
ことで重力をどんな値にも(ゼロにも)することがで
きます。また逆に、外力の働いていない慣性系からの
座標変換によって、重力を生じさせることもできます。
こうして、慣性系における特殊相対性理論を、重力場
のある座標系へ拡張し、さらに一般相対性原理の要請
から物理法則の形を決定する道が開かれました。
この 2 つの原理を出発点として、アインシュタイン
は重力場の新しい方程式を提唱しました。アインシュ
タイン方程式と呼ばれるこの方程式を解くことによ
り、ブラックホールや膨張宇宙といった画期的な概念
が提唱され、私達の宇宙に対する理解は大幅に深まり
ました。一方、重力が主役のマクロな世界を説明する
一般相対性理論と、量子論に支配されるミクロな世界
を統一する量子重力理論は、未だに完成していません。
相対論の登場から 100 年を経た現代物理学の潮流は、
自然界の 4 つの力を統一する究極の理論の完成を目指
しています。
■ 参考文献
本稿の執筆に当たり、下記の文献を参考にしました。
● 相 対性理論 内山龍雄 岩波文庫 物理テキストシ
リーズ 8(1977)
● 相 対性理論 アインシュタイン 内山龍雄訳・解
説 岩波文庫(1988)
● 慣性系に限らず、すべての座標系で、物理法則
は同じ形を取る。
14
逆に感じる力のことです。この原理により、重力があ
● 相 対性理論入門講義 風間洋一 培風館 現代物理
学入門講義シリーズ I(1997)
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