xuxBxDx = xu DB ux BD Bu x

付録１
最適構造設計の定式化と応用例
３．１
FEM(finite element method)と感度解析(sensitivity analysis)
図３．１に示すはりの静的問題を例に､有限要素法（FEM）をベースにした感度解析
の手法を考えてみよう。いま､はりの断面積を設計変数として､i 番目の断面積をｘi とす
る。FEM の基礎式は次式で与えられる。
P
xi
図３．１
はりの静的問題
K ( x )u ( x ) = P
(3-1)
ここで､K : 剛性行列（剛体成分を除去して対称正則な行列とする），u : 節点変位ベク
トル, P : 外力ベクトル，x : 設計変数ベクトルである。設計変数であるはりの断面積が
変化すると，剛性行列および変位が変化することになる。
(3-1)式の両辺をｘi で微分すると，
∂K
∂u
u+K
=0
∂x i
∂x i
より
∂u
∂K
= − K −1
u
∂x i
∂x i
(3-2)
ある設計変数ベクトルに対し，(3-1)式より変位が求まり，(3-2)式より設計変数に対す
る変位の導関数（感度）を計算することができる。(3-2)式の計算では(3-1)式で求めた
K −1 の情報（ガウスの消去法等）を用いることにより，小さな計算で済ますことができ
る。また， ∂K
∂xi の計算は，直接に計算してもよいし，あるいは差分で近似すること
もできる。
次に，応力の感度を求める。変位が計算できたとき，応力は次式より求まる。
σ ( x ) = D ( x ) B ( x )u ( x )
(3-3)
ここで，D : 応力∼ひずみ行列，B : ひずみ∼節点変位行列である。(3-3)式の両辺をｘi
で微分すると，
∂B
∂u
∂σ ∂D
Bu + D
u + DB
=
∂xi ∂xi
∂x i
∂xi
(3-4)
となり，容易に計算することができる。このようにして，図３．１のはりの例では，変
位感度は(3-2)式で，応力感度は(3-4)式で与えられる。
次に固有値問題の感度解析を示す。自由振動あるいは座屈等の固有値問題の基礎式は
次式で示される。
K ( x)φi ( x) = λi ( x) M ( x)φi ( x)
(3-5)
ここで，M : 質量行列（振動の場合），幾何剛性行列（座屈の場合）， λ i : i 番目の固有
値（振動では固有角振動数の二乗，座屈では i=1 が荷重荷重を表す），φi : 対応する固
有ベクトル（固有モード）である。いま，K，M は正値対称で固有値は重複していない
ものとする。
(3-5)式において相異なる固有ベクトルは，次式のように M に関して直交する。
φ j T Mφ i = 0 ( i ≠ j )
(3-6)
Q K φi = λ i Mφ iの両辺に左からφ j を掛けると φ j T Kφi = λ iφ j T Mφi
( a) 



T
T

 Kφ j = λ j Mφ j の両辺に左からφ iを掛けると φi Kφ j = λ j φi Mφ j


T
T
 両辺の転置を取りK , Mの対称性を用いると φ j Kφ i = λ j φ j Mφ i (b ) 


T
T
(
a
)
(
b
)
より (λ i − λ j )φ j Mφi = 0, λ i ≠ λ jより
φ
M
φ
0
−
=
j
i


また，固有ベクトルは次のように正規化しておくことにする。
φ i T Mφ i = 1
(3-7)
φ j T Kφi = λ i φ j T Mφ i = λi δ ij
(3-8)
このとき，
固有値の感度は次式で与えられる。
∂λ j
 ∂K
∂M 
= φ jT 
−λj
φ j
x
x
∂xi
∂
∂
 i
i 
(3-9)
∂λ j
∂φ j

 ∂
∂K
∂M
Q
Mφ j + ( K − λ j M )
( Kφ j − λ j Mφ j ) = 0より (
)φ j −
−λj
=0
∂xi
∂x i
∂xi
∂x i

 ∂x i


T
T
T
 左からφ j を掛けて，φ j Mφ j = 1, φ j ( K − λ j M ) = 0を用いると(3 − 9)式が得ら



 れる




以上に示すように，(3-5)式の固有値問題を計算したとき，極めて小さな計算により
(3-9)式の固有値感度を求めることができる。また，固有ベクトルの感度を求める方法と
して，いくつかの方法が提案されており，効率的な解法として Nelson の方法（AIAA J.,
14, 1976, p.1201-1205）がある。また，動的応答に対する感度解析としては，山川著「最
適化デザイン」第４章を参照されたい。
３．２
寸法最適化問題
図 3.1 のはりの最適化問題は次のように定式化できる。
n
[目的関数]
F ( x ) = ∑ ρ i l i xi
i =1
[制約条件]
g 2 j −1 =
σj
σ al − 1 ≤ 0, g 2 j = −
σj
σ al − 1 ≤ 0 ( j = 1,2, L n)
(3-10)
g 2 n+1 = δ δ − 1 ≤ 0
al
[設計変数]
x = ( x1 , x 2 , L xn ) T
ここで， ρ i , li , xi は i 番目要素の密度，長さ，断面積で目的関数ははりの重量，設計
変数は各要素の断面積を示す。また，制約条件は，各要素における最大および最小応力
が許容範囲内にある条件，および，荷重点下のたわみが許容値内にある条件を示す。
解析方法として FEM，最適化手法として１階の導関数まで用いる傾斜法を用いる場
合を取り上げる。このとき，次式で示す目的関数と制約条件の感度が必要となる。
∂F
= ρ i li ,
∂xi
∂g 2 j −1
∂xi
=
1 ∂σ j ∂g 2n +1
1 ∂δ
=
,
∂xi
σ al ∂xi
δ al ∂x i
応力や変位の感度は３．１節で示す方法により計算できる。最適化のアルゴリズムは,
次のようになる。
(1) x = x0 での初期ＦＥＭを実行， F ( x0 ), g j ( x0 ) の計算を行う。
(2) 感度解析の実行， ∇F ( x), ∇g j ( x ) の計算を行う。
(3) 一次元探索の実行
（一次元探索の各ｘ点で F ( x ), g j ( x) が必要となるが，各点で FEM を実行すると
計算量が非常に大きくなる。そこで， F ( x ), g j ( x) を F ( x0 ), g j ( x0 ) および
∇F ( x0 ), ∇g j ( x0 ) の情報を用いて近似する方法が用いられることが多い。）
(4) ＦＥＭ計算を行い収束判定。収束条件を満たせば終了，満たさなければ，(2)へ戻
る。
上記のアルゴリズムを用いて，はりの最小重量設計問題は容易に最適解を得ること
ができる。より複雑で大きな FEM を伴う構造最適化問題では，計算効率の向上を図
るため，種々の効率的アルゴリズムが用いられる（たとえば近似法等，詳細について
は３．４節を参照）。
３．３
形状・トポロジー最適化問題
現在活発に研究が行われている分野であり，次の文献を参照されたい。
形状最適化：J. A. Bennette and M. E. Botkin (ed.): The Optimum Shape, Automated
Structural Design, Plenum Press, London (1986)
Y. Ding, Computer and Structures, 24 (1986), 985-1004.
トポロジー最適化：B. Hassani and E. Hinton: Homogenization and Structural Topology
Optimization, Theory, Practice and Software, Springer, London (1999)
３．４
最適構造設計の現状と将来展望
別紙，解説を参照されたい。

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