P137 の (9.19) 式の gD(ϵ) に D0ϵn PV kBT = ∫ D0ϵn ln(1 + ze−βϵ

2006 年度統計力学 II 宿題 4 (5 月 10 日出題、5 月 17 日提出) 解答
担当吉森明
[問題 1.](1) 状態密度 D(²) = D0 ²n (n > −1) のとき E と P V の関係を求
めなさい。
[訂正] D0 は、体積 V に比例するとして下さい。体積に依存しないと思わ
れた方、申し分けありませんでした。
[解答] (1) ここでは、D(²) に内部状態の数 g を含める。つまり、教科書
P137 の (9.19) 式の gD(²) に D0 ²n を代入する。
Z ∞
PV
=
D0 ²n ln(1 + ze−β² )d²
(1)
kB T
0
n = 1/2 の時と同様、部分積分すると、n > −1 だから、
¸∞
· n+1
²
P V = kB T D0
ln(1 + ze−β² )
n+1
0
Z ∞ n+1
z(−β)e−β²
²
− kB T D0
d² (2)
n + 1 1 + e−β² )
0
[· · · ] は、² = 0 で、n > −1 だから 0、² → ∞ は、e−β² → 0 で 0 になる。
Z ∞ n+1
²
1
P V = kB T D0 β
d²
(3)
n + 1 z −1 eβ² + 1
0
β = 1/(kB T ) だから
Z
∞
= D0
0
²n+1
1
d²
n + 1 z −1 eβ² + 1
x = β² に変数変換すると、
Z ∞
(kB T )n+1 xn+1
1
= D0
kB T dx
n+1
z −1 ex + 1
0
Z
(kB T )n+2 ∞ xn+1
= D0
dx
n+1
z −1 ex + 1
0
1
(4)
(5)
(6)
フェルミ-ディラック積分 (9.21) を使うと、
(kB T )n+2
= D0
Γ(n + 2)fn+2 (z)
n+1
(7)
一方、P134 の (9.7) 式に gD(²) に D0 ²n を代入
Z
∞
²D0 ²n
E=
d²
eβ(²−µ) + 1
0
Z ∞
²n+1
= D0
d²
eβ(²−µ) + 1
0
(8)
(9)
P V と同じように x = β² に変数変換し、z = exp[βµ] すると、
Z
∞
= D0
0
(kB T )n+1 ²n+1
kB T dx
ex z −1 + 1
(10)
フェルミ-ディラック積分 (9.21) を使うと、
= D0 (kB T )n+2 Γ(n + 2)fn+2 (z)
(11)
= (n + 1)P V
(12)
[別解] フェルミ-ディラック積分を使わなくても、直接 (6) 式と (11) 式を比
べて、E = (n + 1)P V は導ける。
[問題 2.] 教科書 P144 演習問題 [5] (ただし、2 次元平面内の 1 辺 L の正方
形の中に閉じ込められているとする。A = L2 )
[解答] (1) から (3) までは、4 月 26 日出題の宿題 1 と同じだが、ここでは、
教科書の P220 の解答の方法で説明する。
P
[考え方] D(²) は、そもそも教科書 P133 の (9.2) 式や (9.3) 式の k を、²
の積分に置き換えたときに出てくるものだった。この因子が必要なのは、
横軸に ² をとったとき、固有状態が等間隔に並んでいないためだ。
P
k
を積分に直すのは、特に ² を積分変数にする必要はないので、ここ
では、波数の積分を考える。波数空間では、固有状態は、2π/L の等間隔で
2
並んでいるので、単に
X
µ
Z
−→ g
dk
k
L
2π
¶d
(13)
とすれば良い。ただし、d は空間の次元を表していて、2 次元だと d = 2
で、3 次元だと d = 3 になる。dk は、2 次元だと、dkx dky を、3 次元だと
dkx dky dkz を表す。g は、内部自由度 (スピン) の縮退度を表す。
[解答](1) 教科書 P133 の (9.1) を波数空間の積分に直すと、d = 2、g = 2、
A = L2 なので、
Z
A
N = 2 dk
f (²)
(14)
(2π)2
p
² は、² = h̄2 k 2 /2m で、波数の絶対値 k = kx2 + ky2 と結ばれている。積
分変数を kx , ky から、極座標 k, θ に変換すると、
Z ∞
Z 2π
A
N =2
kdk
dθf (²)
(15)
(2π)2 0
0
f (²) は、θ に依らないから、
A
N =2
(2π)2
Z
∞
kdk2πf (²)
(16)
0
絶対零度のときは、k > kF で f (²) = 0、k < kF で f (²) = 1 だから、
Z kF
A
N = 4π
kdk
(17)
(2π)2 0
A kF2
A 2
= 4π
= 2π
k
(18)
2
(2π) 2
(2π)2 F
p
kF について解けば、kF = 2πN/A となり、²F も ²F = h̄2 kF2 /2m =
h̄2 πN/Am。
(2) エネルギーは、教科書 P133 の (9.3) 式だから、
Z
A
²f (²)
(19)
E = 2 dk
(2π)2
3
N と同様に
Z
A
E = 4π
(2π)2
∞
kdk²f (²)
(20)
0
絶対零度で
A
E = 4π
(2π)2
Z
kF
²kdk
(21)
h̄2 k 2
A h̄2 kF4
kdk = 4π
2m
(2π)2 2m 4
(22)
0
² = h̄2 k 2 /2m を代入して
A
E = 4π
(2π)2
Z
kF
0
²F = h̄2 kF2 /2m を使うと、
E = 4π
A
kF2
²
F
(2π)2
4
(23)
(1) の結果 N = 2πkF2 A/(2π)2 から、
N
²F
2
E=
(24)
(3) 教科書の解答は、Σ(²) を使っているが、ここでは、別解として、積分
変数の変換を使う。
話を一般的にするために、任意の ² の関数、F = F (²) を考える。この
F (²) は、例えば、f (²) や ²f (²) などを表す。この F (²) を波数で積分す
ると、
Z
I=2
dk
A
F (²)
(2π)2
(25)
F (²) = f (²) のとき、I = N で、F (²) = ²f (²) ならば、I = E になる。問
題 (1) と (2) でやったのと同じように極座標に変換すると、
Z ∞
A
I = 4π
kdkF (²)
(26)
(2π)2 0
ここで、積分変数を ² に変換することを考える。
A
I = 4π
(2π)2
Z
∞
k(²)
0
4
dk
d²F (²)
d²
(27)
q
k(²) =
2m²/h̄2 、dk/d² =
√
√
2m/(2h̄ ²) だから、
√
Z ∞r
Z ∞
A
2m² 2m
m
A
√
I = 4π
d²F
(²)
=
4π
d²F (²)
(2π)2 0
(2π)2 0 h̄2
h̄2 2h̄ ²
R
I = D(²)F (²)d² だから、
D(²) = 4π
A m
Am
=
2
(2π)2 h̄
πh̄2
(28)
(29)
[問題] 3 次元の場合にもこのような考えで状態密度が出せるかどうか、確
かめなさい。
残りの問題は、教科書の解答どおり ² 積分で考える。
(4) 教科書 P134 の (9.6) 式から、積分範囲を 3 つに分けて
Z ∞
D(²)f (²)d²
N=
−∞
Z
Am ∞
=
f (²)d²
πh̄2 0
½Z µ−2kB T
¶ ¾
Z µ+2kB T µ
1 ²−µ
Am
d² +
=
−
d²
2 4kB T
πh̄2
µ−2kB T
0
)
(
·
¸
2 µ+2kB T
Am
1
(² − µ)
=
µ
−
2k
T
+
²
−
B
2
8kB T µ−2kB T
πh̄2
¾
½
Am
1
(2kB T )2 − (2kB T )2
=
µ − 2kB T + × 4kB T −
2
8kB T
πh̄2
Am
=
µ
πh̄2
したがって、µ = ²F となる。
5
(30)
(31)
(32)
(33)
(34)
(35)
(5) エネルギーも同様に積分区間を分けて
Z ∞
E=
D(²)²f (²)d²
−∞
Z
Am ∞
=
²f (²)d²
πh̄2 0
½Z µ−2kB T
¶ ¾
Z µ+2kB T µ
Am
1 ²−µ
=
²d² +
²
d²
−
2 4kB T
πh̄2
0
µ−2kB T
½Z µ−2kB T
Am
=
²d²
πh̄2
0
¶ ¾
µ
Z µ+2kB T
1 ²−µ
−
d²
+
{(² − µ) + µ}
2 4kB T
µ−2kB T
δ² = ² − µ として、2 項目の積分を変数変換、
µ
¶
¾
½
Z 2kB T
1
δ²
Am (µ − 2kB T )2
+
(δ² + µ)
−
dδ²
E=
2
2 4kB T
πh̄2
−2kB T
2 項目の積分は奇関数は、0 だから、
½
¶
¾
Z 2kB T µ
Am (µ − 2kB T )2
µ
δ²2
E=
+
−
dδ²
2
2
4k
T
πh̄2
B
−2kB T
(
·
¸2kB T )
3
2
µ
Am (µ − 2kB T )
δ²
=
+
2
δ²
−
2
2
12kB T 0
πh̄2
½
¾
Am (µ − 2kB T )2
(2kB T )3
=
+ µ(2kB T ) −
2
6kB T
πh̄2
½ 2 µ
¶
¾
Am µ
4
=
+
2
−
(kB T )2
2
2
3
πh̄
½ 2
¾
Am µ
2
=
+ (kB T )2
2
2
3
πh̄
6
(36)
(37)
(38)
(39)
(40)
(41)
(42)
(43)
(44)
(45)

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