Ｍ：】Ｓｅｒｖｅｒ／岐阜聖徳学園大学紀要４２集 教育学部編／本文（横組）／兼山 ／兼山 2004.02.25 14.58.42 Page 1 ５ ３ Langley の問題とその一般化問題の解法 ― コンピューター利用の一方法 ― 兼 山 瓊 典 On the solutions of the generalized Langley’s problems. ― A use of a computer for mathematics ― Tamafumi Kaneyama Abstract A seemingly simple problem involves an isosceles triangle with some angles given. This problem was shown by Langley and it became an famous problem. The original statement of the problem by Langley states the problem as follows: OBC is an isosceles triangle. ∠B＝∠C＝８ ０° . A is the point on the line OB such that∠BCA＝５ ０° , D is the point on the line OC such that∠CBD＝６ ０° . Then prove that∠ADB＝ ３ ０° . Many people have found a number of the trigonometrical solutions and the pure geometrical solutions. We generalize the Langley’s problem. The generalized Langley’s problems are as follows: Let ABCD be a convex quadrilateral. Let∠ABD＝a，∠CBD＝b，∠ACB＝c，∠ACD＝d. Then find∠ADB＝x. When the a, b, c and d are good angles then we can find the good angle of x. In this paper we consider that the angles a, b, c and d are the multiples of１ ０° . Furthermore we consider pure geometrical solutions of the generalized Langley’s problem. We also show that the generalized Langley’s problems are solved only using by the elementary geometrical ways. １．は じ め に 初等幾何学の問題は理解しやすく，その解答を見ても容易に理解されることから，多くの人が 解こうとしてきた。易しそうに見えるが，かなり難しい問題もある。補助線をうまく引くことに より見事に解ける場合がある。その補助線を見つけることが，楽しみでもあり難しさでもある。 初等幾何の問題は時間をかけて考えることが必要である。今の時代は，どのような問題でも時間 をかけて考えることが少なくなり，すぐに答えを見ようという傾向にある。しかしこの様なテン ポの速い時代こそ時間をかけて考える問題があってもよいのではなかろうか。そして，初等幾何 学の問題は，時間をかけて考えるのにはよい問題ではなかろうか。たとえ問題が解けなくても， 時間をかけて考えることにより，いろいろなことが見えてきたり，新しい発見が出来ると思われ る。 一見易しそうであるが，自分で解こうとすると難しい初等幾何の問題がある。そのため時々あ ちらこちらで見受けられる。それは Langley の問題といわれるもので，２ ０世紀初頭にイギリスの Langley が雑誌に発表して有名になった。 Ｍ：】Ｓｅｒｖｅｒ／岐阜聖徳学園大学紀要４２集 教育学部編／本文（横組）／兼山 ／兼山 2004.02.25 14.58.42 ５ ４ 兼 Page 2 山 瓊 典 Ｄ その Langley の問題は図１のようなものである。凸四 x 角 形 ABCD に お い て，∠ABD＝２ ０° ，∠CBD＝６ ０° ， ∠ACB＝５ ０° ，∠ACD＝３ ０° をみたしているとき，∠ADB Ａ ＝x の値を求めよというものである。最初に Langley が 出題したときは，A と D を延長して頂角が２ ０° の二等辺 三角形から問題を作ってある。 一見して問題は易しそうに見えるが，やってみると補 助線の引き方が難しい。それ以来多くの人がこの問題を 30 20 解こうとして今では多くの解法が知られている。その中 でも有名で，鮮やかな解答例を紹介しておこう。 60 Ｂ 50 図 ［解 答］辺 CD 上 に∠CBE＝２ ０° と な る 点 E を と る。 Ｃ １ ∠CEB＝８ ０° であるから，△BCE は二等辺三角形であり，BC＝BE となる。また，△ABC は二等 辺三角形であるから，AB＝BC である。よって，AB＝BE となる，∠ABE＝６ ０° であることを考 えると，△ABE は正三角形である。また，∠BDE＝∠DBE＝４ ０° であるから，△BDE は二等辺三 角形であり，BE＝DE となる。よって，AE＝DE となり，△AED は∠AED＝４ ０° の二等辺三角形 になり，∠ADE＝７ ０° となり，∠ADB＝３ ０° がわかる。 この解答は見事で，私の好きな解である。それぞれの角度が変わった四角形においてこの様に 補助線をうまく引くことができるだろうか。そして，どのように補助線を引けば解くことが出来 るのかを考えたい。一つの問題のみを考える場合は補助線の引き方を見つけだすことが非常に難 しい。いろいろな補助線を引いてそれが有効かどうかを考え，解こうとする。しかし，それは非 常に難しいことである。そしてその難しさも考える楽しみでもある。ここでは，多くの場合の四 角形を考えることにより，補助線をどのように引けばよいかを考える。そのために，コンピュー タを利用することにより，考えやすくなることが分かった。多くの場合を考えるにはコンピュー ターが便利である。もちろん，そのためには，プログラムをしっかりと作らなければならない。 コンピューターを利用することにより，すべての場合の問題が解ける。その解法は最後に表とし て載せてある。しかし，その解法は複雑な場合がある。個々に問題を考えると，Langley の問題 のように鮮やかな解法がある（と思われる） 。 ２．Langley の問題の一般化 x Ｄ Ａ 右図２のように凸四角形 ABCD を考え，∠ABD＝a， ∠CBD＝b，∠ACB＝c，∠ACD＝d，の と き∠ADB＝x を求める問題であるが，a，b，c，d，x の値はここでは １ ０° の倍数になる場合を考える。 そうでない場合もいろいろと考えられるが，別の機会 に譲ることにする。 左右対称や，a＝d などの場合をのぞいて，考えられ る場合の a，b，c，d，x の値は最後の表のような値にな ａ Ｂ ｄ ｃ ｂ 図 ２ Ｃ Ｍ：】Ｓｅｒｖｅｒ／岐阜聖徳学園大学紀要４２集 教育学部編／本文（横組）／兼山 ／兼山 2004.02.25 14.58.42 Page 3 Langley の問題とその一般化問題の解法 ５ ５ り全部で３ ５ ２通りである。 最後の表はそれぞれの角度 a，b，c，d，x の値とその問題の解法が示してある。Langley の問 題は，問題１ ６ ３であるが，もちろんその解法は前述のように鮮やかな方法ではないことをここで 断っておく。 ここでは，図２のように，頂点は ABCD と決めておく。問題番号は表の問題番号とする。ま た，図の中の数字は角度の記号を省略してあるが角度を表すこととする。 ３．コンピューターを利用した解法 コンピューターを利用して問題を解く場合に，色々な補助線を引いて，解法が分かっている場 合に帰着させる。勿論，補助線を引かなくても，直接分かる場合がある。これらは簡単に分かる 場合であるが，それらは表に解法が書いてある。これらの簡単な場合も問題の中に入れてあるた めに，補助線を引いてこれらの問題に帰着させることが出来る。別に解けている問題があれば， それらを用いることも可能であるが，今回はそのようにしなかった。また補助線の引き方をいろ いろと考えられるが，基本的に頂点 A，B，C，D から引くことを考える。補助線を何本も引か ないで，基本的に１本または２本を引くこととする。それに付随して，各点を結ぶような線を引 く。どのような補助線の引き方がよいかは，引いた結果が，他の場合の問題を利用できる形にな り，他の場合が，解けている場合なら，補助線の引き方はよかったと考える。それにより問題が 解けることになる。 補助線の引き方は，適当に引くのではなく，良いものを考えて，コンピューターのプログラム を作らなければならない。それらの補助線の引き方は，最後の表に書いてあるので参照してくだ さい。また，補助線を引く場合に，当然であるが，その問題からはじめて補助線を引くことを基 本として考えている。次の例のように，解けている問題から補助線を引き新しい問題を解くとい うことはしない。 次に１つの例を示す。 問題２ ８が解けている場合に問題４を解く方法 Ａ 問題２ ８における四角形 30 ABCD において，∠ADB ＝３ ０° が分かっていると 10 き， 点 E を辺 BC の C の方 の延長線上で，∠CDE＝ 10 Ｂ ９ ０° となる点とする。こ Ｄ 30 130 20 Ｃ 図 Ｅ ３ のとき ∠ADE＋∠ACE＝１ ３ ０° ＋５ ０° ＝１ ８ ０° よって，４点 ACED は同一円周上にある。従って，∠AED＝∠ACD＝３ ０° ．∠AEB＝４ ０° となり， 四角形 ABED を考えれば，問題４となり，問題４の x の値は x＝∠ADB＝３ ０° となることが分か る。 Ｍ：】Ｓｅｒｖｅｒ／岐阜聖徳学園大学紀要４２集 教育学部編／本文（横組）／兼山 ／兼山 2004.02.25 14.58.42 ５６ Page 4 兼 山 瓊 典 ４．コンピューターの利用によって得られた解法から分かる解法 今回のコンピューターの利用による解法は，解けている問題に帰着させるため，帰着させる方 法を何回か行い最後には直接解けた問題になるようにする。この帰着させる問題の数が多いと， 具体的に１つの図形でそれらの補助線を引いて考えるのは大変難しくなるが，帰着させる問題の 数が少ない場合は，１つの図形で補助線を具体的に引いて，分かりやすい解法が得られる。ここ ではそれらの解法のうちのいくつかを紹介しよう。これらは最後の表から，その解法を，具体的 にして解いたものである。補助線の引き方は，表を順にたどればよい。また表により，補助線を 何本か引いているうちに，新しい解法が見つかることがある。 D 問題３ ７ Ａ 点 E を DC の 延 長 上 で 30 60 ∠BAE＝８ ０°，点 F を DC Ｈ の 延 長 上 で∠BAF＝６ ０° と 10 する。このとき，BD⊥AE, BC⊥AF である。 20 Ｇ Ｂ 50 80 Ｃ G を BC と AF の 交 点， H を BD と AE の交点とす 60 る。△AGC と△FCG は 直 Ｅ 角三角形であり角度の関係 か ら，合 同 に な る。よ っ 40 て，AG＝FG となる。従っ て△ABG≡△FBG，ゆえに Ｆ ∠FBG＝３ ０° 問題３ ７ また∠ABF＋∠AEF＝１ ８ ０° より ABFE は同一円周上にある。よって，∠FBE＝∠FAE＝２ ０° ゆえに，∠EBC＝１ ０° ，従って ∠EBH＝３ ０° となる。∠EDH＝３ ０° であるから，△EBH≡△EDH ゆえに BH＝HD よって，△ABH≡△ADH となるから∠ADB＝１ ０° となる。 問題５ ８ Ｅ 点 E を BA の 延 長 上 に∠ACE＝１ ０° ，F Ｄ Ａ 50 を DC の延長上で∠CBF＝２ ０° とする。 このとき，△BCF は二等辺三角形であ るから，BC＝BF．△EBC は二等辺三角形 10 10 であるから，BC＝BE となる。よって，BE ＝BF と な る。∠EBF＝６ ０° で あ る か ら△ EBF は正三角形である。よって，BF＝EF 30 30 Ｂ 60 Ｃ 80 20 である。 また，△FBD は二等辺三角形であるか ら，BF＝FD となる。従って，FE＝FD と Ｆ 問題５ ８ Ｍ：】Ｓｅｒｖｅｒ／岐阜聖徳学園大学紀要４２集 教育学部編／本文（横組）／兼山 ／兼山 2004.02.25 14.58.42 Page 5 Langley の問題とその一般化問題の解法 ５ ７ なり△FED は頂角∠DEF＝２ ０° の二等辺三角形であるから，∠FED＝∠FDE＝８ ０° となる。 ∠AED＋∠ACD＝１ ４ ０° ＋４ ０° ＝１ ８ ０° であるから ACDE は同一円周上にある。よって∠ADE＝∠ACD＝１ ０° ゆえに∠ADB＝２ ０° となる。 問題１ ７ ０ Ａ 点 E を DC の 延 長 上 で ∠BAE＝６ ０°， F を BC の Ｄ 60 10 間で AC⊥EF （∠CEF＝４ ０° ） とする。 Ｂ 30 Ｇ 10 G は BD と AE の交 点 と Ｆ 30 20 130 C する。 Ｅ ∠CAE＝５ ０° ＝∠ACE で あ 問題１ ７ ０ るから，△ACE は二等辺 三角形，EF は底辺と垂直であるから，∠AEF＝４ ０° ，∠EAF＝２ ０° となる。 ∠ABF＝∠AEF であるから，ABEF は同一円周上にある。よって∠EBF＝∠EAF＝２ ０° よって ∠ABG＝∠EBG＝３ ０° となり△ABG≡△EBG ゆえに AG＝EG よって△AGD≡△EGD ゆえに∠ADB＝１ ０° 問題１ ９ １ Ｄ 点 E を DC の延長上で∠BAE＝１ ０° ， 点 F を DC の 延 長 上 で∠BAF＝４ ０° 10 （BC⊥AF） とする。G を AE と BF の交 Ａ 10 点とする。△ABC は二等辺三角形だ か ら AB＝AC と な る。ま た∠BAF＝ 30 40 ∠CAF よ り△ABF≡△ACF と な る。 よ っ て∠AFB＝６ ０° ゆ え に AE⊥BF と 30 Ｂ なる。∠EFG＝∠AFG＝６ ０° より△AFG て△ABG≡△EBG よって∠AEB＝１ ０° 100 Ｃ G ≡△EFG である。ゆえに AG＝EG よっ 50 20 60 Ｆ と な る。ま た∠BAE＝∠BDE よ り ABED は同一円周上にある。 よって∠ADB＝∠AEB＝１ ０° Ｅ 問題１ ９ １ 次の問題の解は補助線の数が多いが，表の解法から得られるものである。考えて補助線を引こ うとすると非常に難しいが，この様に複雑なものでも，容易に補助線を引くことができる例の一 つである。さらに複雑なものも考えることができるが，この例の紹介にとどめておく。 Ｍ：】Ｓｅｒｖｅｒ／岐阜聖徳学園大学紀要４２集 教育学部編／本文（横組）／兼山 ／兼山 2004.02.25 14.58.42 ５８ Page 6 兼 山 瓊 典 Ａ 問題４ ６ Ｄ 点 E を ∠ CBE ＝ １ ０°，点 F を∠BCF Ｋ Ｆ ＝４ ０° ， 点 G を∠BFG ＝７ ０°（ BE ⊥ FG ） 点 I は BC と FH の E Ｊ 10 10 10 （BC⊥FH）とする。 交 点，点 J は BE と 40 60 点 H を∠BFH＝６ ０° 40 Ｉ Ｂ 60 40 Ｃ 40 FG の交点とする。 ∠ CFH ＝５ ０°＝ ∠FHC よ り△CFI≡ Ｇ △CHI よって FI＝HI となる。 よって△BFI Ｈ 問題４ ６ ≡△BHI ゆえに △BFH は正三角形となる。 ∠FBH＝６ ０° ＝∠FGC より BHGF は同一円周上にある。よって∠CBG＝∠HBI−∠HBG＝∠HBI −∠HFG＝２ ０° となる。また∠BGJ＝∠EGJ＝６ ０° より△BGJ≡△EGJ よって△BFJ≡△EFJ となる。 従って∠CFE＝７ ０° −４ ０° ＝３ ０° となる。よって∠AFE＝４ ０° ＝∠ACE より AFCE は同一円周上にあ る。ゆえに∠CAE＝３ ０° ，よって∠BAE＝８ ０° ，AE⊥BD となる。このとき AE と BD の交点を K とすると△ABK≡△EBK より AK＝EK ゆえに△ADK≡△EDK となり∠ADB＝２ ０° ５．表の解法によらない解 最後の表により，すべての問題が解けている。具体的に行うには前節のように行えばよい。し かし，利用する問題の数が多いときは，１つの図形に補助線を数多く引かなくてはならない。そ の結果，図が非常に複雑になってしまうことが多い。それらの補助線を多く引いているときに， 何かを発見することもあり，無駄ではない。それでもある程度は複雑である。しかし，Langley の問題のように，簡単で，美しい解き方も知りたいものである。ここでは，ほんの一部分である が，問題の中から，表の方法によらない別の解法を述べてみる。これらは最良かは分からない。 もっと単純で美しい方法があるかもしれない。 問題２ ６ Ａ 点 E を BC の延長上で∠CDE＝ ２ ０° ，F を AB の 間 で∠BCF＝２ ０° Ｄ とする。△CBD は二等辺三角形 Ｆ であるから，BC＝CD である。よっ ＝FC＝CE＝ED である。また 40 10 て２つ の 二 等 辺 三 角 形△BCF と △CDE は合同となる。よって FB 10 10 Ｂ 20 100 40 Ｃ 問題２ ６ 20 Ｅ 20 Ｍ：】Ｓｅｒｖｅｒ／岐阜聖徳学園大学紀要４２集 教育学部編／本文（横組）／兼山 ／兼山 2004.02.25 14.58.42 Page 7 Langley の問題とその一般化問題の解法 ５ ９ △ACF は二等辺三角形であるから，FC＝AC である。よって AC＝CE となる。また∠ACE＝６ ０° であるから，△ACE は正三角形である。よって AE＝CE＝DE となり△ADE は二等辺三角形であ る。∠AED＝１ ４ ０° −６ ０° ＝８ ０° より∠ADE＝５ ０° 。従って∠ADB＝２ ０° 問題４ ７ Ａ 点 E を AB 上 で∠BDE＝１ ０° ， 点 F を DC の 延 長 上 で∠BEF＝ ６ ０° （BC⊥EF）とする。このとき Ｄ Ｅ 30 △BDE は二等辺三角形より BE＝ ED，△FDE は二等辺三角形より FE＝ED で あ る か ら BE＝FE と な る。そ し て∠BEF＝６ ０° よ り 10 20 20 Ｂ 50 Ｇ Ｃ △BEF は 正 三 角 形 で あ る。よ っ て△EBG≡△FBG となり EG＝GF 40 である。よって△ECG≡△FCG． Ｆ 問題４ ７ ゆえに∠ECG＝５ ０° ，∠ACE＝１ １ ０° −５ ０° ＝６ ０° である。∠AED＝２ ０° ＝∠ACD であるから，AECD は同一円周上にある。よって∠ADE＝∠ACE＝６ ０° よって∠ADB＝ ７ ０° 問題９ ９ Ａ 点 E を DC の延長上で∠CAE＝４ ０° ， F を AB 上で∠ACF＝４ ０° ，G を AE 上 Ｆ 30 40 Ｄ で∠BCG＝２ ０° とする。△ACF は二等 辺 三 角 形 よ り AC＝FC。△ACG は 二 等辺三角形より AC＝CG ゆえに FC＝ Ｂ 30 20 40 10 20 CG と な る。∠FCG＝６ ０° よ り△FCG 20 は正三角形である。△CGE は二等辺 三 角 形 よ り CG＝EG よ っ て GE＝GF Ｇ となり，△FGE は二等辺三角形であ り，∠AGF＝２ ０° で あ る か ら∠FEG＝ １ ０° となる。ま た∠FEC＝３ ０° ＝∠FBC 20 より FBEC は同一円周上にある。ゆえ に∠BEF＝∠BCF＝４ ０° である。∠BAE ＝∠BDE より ABED は同一円周上に ある。 よって ∠ADB＝∠AEB＝５ ０° Ｅ 問題９ ９ 40 60 Ｃ Ｍ：】Ｓｅｒｖｅｒ／岐阜聖徳学園大学紀要４２集 教育学部編／本文（横組）／兼山 ／兼山 ６０ 2004.02.25 14.58.42 Page 8 兼 山 瓊 典 Ｅ 問題２ １ ２ 点 E を BA の 延 長 上 で∠DCE＝３ ０° ，F を CA の ∠BEC＝６ ０° ＝∠BDC,∠FEB＝３ ０° ＝∠FCB で あ る Ｄ 30 延長上で∠AEF＝３ ０° （∠CEF＝９ ０° ）とする。 Ｆ から，BCDEF は同一円周上にある。FC は直径であ Ａ るから FC の中点 M は円の中心である。∠DME＝ ２∠DCE＝６ ０° ，MD＝ME よ り△MDE は 正 三 角 形 Ｍ である。よって ED＝MD。△MCE は二等辺三角形 ∠AME＝４ ０° ＝∠MEA より△AME は二等辺三角 形となり，AE＝AM となる。 30 20 30 より∠MEC＝２ ０° よって∠MEA＝４ ０° である。 40 30 Ｂ Ｃ 問題２ １ ２ ∠AMD＝∠AED＝１ ０ ０° であるから△AED≡△AMD。よって∠DAE＝５ ０° ゆえに ∠ADB＝∠DAE−∠ABD＝２ ０° ６．問題のリストとその解法 Langley の問題の一般化で，その角度が，１ ０° の倍数になっている場合の問題は次の表のように 全部で３ ５ ２問ある。表は，前節までに使った問題番号と a，b，c，d，x の値にその問題の解また は補助線の引き方が載せてある。補助線の引き方は一通りでなく数多く考えられる。紙面の都合 上，問題番号５ ０までは色々な補助線の引き方を表に載せてある。必要なものは最初のものだけで ある。問題番号５ １からは補助線の引き方は１通りだけ載せてある。１通りで解けるが，場合によっ ては，良い方法でない場合もある。直接解ける問題は，その解き方が簡単に述べてある。補助線 の引き方により利用する問題番号が違うが，最後には解ける問題になる。問題の数が多いので， 表の解法は簡単に書いてあるので，意味を理解して読んでください。 Ｍ：】Ｓｅｒｖｅｒ／岐阜聖徳学園大学紀要４２集 教育学部編／本文（横組）／兼山 ／兼山 2004.02.25 14.58.42 Page 9 Langley の問題とその一般化問題の解法 番号 a b c d x 解 法 （補助線の引き方） １ １ ０ １ ０ ２ ０ ８ ０ １ ０ ABC が二等辺，E を BD 上で AE⊥BC，AECD が円周上 ２ １ ０ １ ０ ３ ０ ４ ０ ２ ０ E を BC 間∠BDE＝１ ０° ，F を AB 延長上∠BEF＝１ ３ ０° で２ ８を用る．AECDF は円周上 E を BA の A の延長上で∠DCE＝３ ０° の時４と ACDE は円周上 E を DC の C の延長上で∠BAE＝１ ０ ０° の時３ ５ ２と ABED は円周上 ３ １ ０ １ ０ ３ ０ １ １ ０ １ ０ E を DC の C の延長上で∠BAE＝３ ０° の時２ ６ ８と ABED は円周上 E を DC の C の延長上で∠BAE＝８ ０° の時２ ６ ０と AE⊥BD より E を BA の A の延長上で∠DCE＝２ ０° の時２ ４と ACDE は円周上 E を BC 間∠BDE＝２ ０° ，F を AB 延長上∠BEF＝１ ３ ０° で２ ７を用る．AECDF は円周上 ４ １ ０ １ ０ ４ ０ ３ ０ ３ ０ E を BC 間∠BDE＝１ ０° ，F を AB 上∠BEF＝１ ２ ０° で２ ６を用る．AFECD は円周上 E を AB の間で∠DCE＝４ ０° の時２と AECD は円周上 E を DC の C の延長上で∠BAE＝１ ０ ０° の時３ ５ ０と ABED は円周上 ５ １ ０ １ ０ ４ ０ ７ ０ ２ ０ E を AB 上で BD⊥CE とすると AECD は円周上にある ６ １ ０ １ ０ ４ ０ １ １ ０ １ ０ E を DC の C の延長上で∠BAE＝２ ０° の時２ ２ ４と ABED は円周上 E を DC の C の延長上で∠BAE＝８ ０° の時２ １ ５と AE⊥BD より E を BA の A の延長上で∠DCE＝２ ０° の時２ ７と ACDE は円周上 ７ １ ０ １ ０ ５ ０ ５ ０ ３ ０ E を DC の C の延長上で∠BAE＝７ ０° の時３ ３ ６と ABED は円周上 E を BA の A の延長上で∠DCE＝４ ０° の時９と ACDE は円周上 E を AB の間で∠BCE＝２ ０° とし１と１ １ ０を用いる E を BC 間∠BDE＝２ ０° ，F を AB 延長上∠BEF＝１ １ ０° で２ ３を用る．AECDF は円周上 ８ １ ０ １ ０ ５ ０ ８ ０ ２ ０ E を BC 間∠BDE＝３ ０° ，F を AB 延長上∠BEF＝１ １ ０° で２ ２を用る．AECDF は円周上 E を BA の A の延長上で∠DCE＝３ ０° の時１ ９と ACDE は円周上 E を DC の C の延長上で∠BAE＝４ ０° の時３ ０ ５と ABED は円周上 ９ １ ０ １ ０ ６ ０ ４ ０ ４ ０ E を AB の間で∠DCE＝５ ０° の時７と AECD は円周上 E を DC の C の延長上で∠BAE＝７ ０° の時３ ３ ２と ABED は円周上 E を AB の間で∠BCE＝２ ０° とし１と１ １ ２を用いる E を BC 間∠BDE＝２ ０° ，F を AB 上∠BEF＝１ ０ ０° で２ １を用る．AFECD は円周上 １ ０ １ ０ １ ０ ６ ０ ６ ０ ３ ０ E を AB 上で BD⊥CE とすると AECD は円周上にある １ １ １ ０ １ ０ ６ ０ ８ ０ ２ ０ E を BA の A の延長上で∠DCE＝３ ０° の時２ ２と ACDE は円周上 E を DC の C の延長上で∠BAE＝３ ０° の時２ ３ ５と ABED は円周上 E を AB の間で∠BCE＝３ ０° とし３と１ ３ ２を用いる １ ２ １ ０ １ ０ ８ ０ ２ ０ ７ ０ 直交（AC⊥BD）かつ a＝b より １ ３ １ ０ １ ０ ８ ０ ３ ０ ６ ０ 直交（AC⊥BD）かつ a＝b より １ ４ １ ０ １ ０ ８ ０ ４ ０ ５ ０ 直交（AC⊥BD）かつ a＝b より １ ５ １ ０ １ ０ ８ ０ ５ ０ ４ ０ 直交（AC⊥BD）かつ a＝b より １ ６ １ ０ １ ０ ８ ０ ６ ０ ３ ０ 直交（AC⊥BD）かつ a＝b より １ ７ １ ０ １ ０ ８ ０ ７ ０ ２ ０ 直交（AC⊥BD）かつ a＝b より １ ８ １ ０ １ ０ ８ ０ ８ ０ １ ０ 直交（AC⊥BD）かつ a＝b より １ ９ １ ０ １ ０ １ ０ ０ ３ ０ ７ ０ E を BC 間∠BDE＝３ ０° ，F を AB 上∠BEF＝６ ０° で１ １を用る．AFECD は円周上 E を AB の間で∠DCE＝８ ０° の時８と AECD は円周上 ６ １ Ｍ：】Ｓｅｒｖｅｒ／岐阜聖徳学園大学紀要４２集 教育学部編／本文（横組）／兼山 ６２ ／兼山 2004.02.25 14.58.42 Page 10 兼 山 瓊 典 E を DC の C の延長上で∠BAE＝４ ０° の時２ ５ ５と ABED は円周上 E を AB の間で∠BCE＝８ ０° とし１ ５と１ ８ ９を用いる ２ ０ １ ０ １ ０ １ ０ ０ ４ ０ ５ ０ E を AB 上で BD⊥CE とすると AECD は円周上にある ２ １ １ ０ １ ０ １ ０ ０ ５ ０ ３ ０ E を DC の C の延長上で∠BAE＝２ ０° の時１ ５ ６と ABED は円周上 E を BA の A の延長上で∠DCE＝４ ０° の時２ ３と ACDE は円周上 E を AB の間で∠BCE＝４ ０° とし６と１ ５ １を用いる E を AB の間で∠BCE＝８ ０° とし１ ７と２ ８ ７を用いる E を DC の延長で∠BAE＝４ ０° とし２ ５ ４と４ ８を用いる ２ ２ １ ０ １ ０ １ １ ０ ３ ０ ７ ０ E を AB の間で∠BCE＝８ ０° の時１ ６と AC⊥DE より E を AB の間で∠DCE＝８ ０° の時１ １と AECD は円周上 E を DC の C の延長上で∠BAE＝３ ０° の時２ ０ ０と ABED は円周上 E を AB の間で∠BCE＝３ ０° とし３と１ ３ ８を用いる E を AB の間で∠BCE＝８ ０° とし１ ６と２ ０ ５を用いる E を AB の間で∠BCE＝１ ０ ０° とし２ ０と１ ７ ３を用いる ２ ３ １ ０ １ ０ １ １ ０ ４ ０ ４ ０ E を AB の間で∠DCE＝５ ０° の時２ １と AECD は円周上 E を DC の C の延長上で∠BAE＝２ ０° の時１ ４ ４と ABED は円周上 E を AB の間で∠BCE＝４ ０° とし６と１ ５ ２を用いる E を AB の間で∠BCE＝８ ０° とし１ ７と２ ６ ２を用いる ２ ４ １ ０ １ ０ １ ２ ０ ２ ０ １ ０ ０ E を AB の間で∠DCE＝１ １ ０° の時３と AECD は円周上 E を DC の C の延長上で∠BAE＝３ ０° の時１ ８ ５と ABED は円周上 E を AB の間で∠BCE＝６ ０° とし１ １と１ ６ ３を用いる E を AB の間で∠BCE＝８ ０° とし１ ６と１ ５ ０を用いる E を AB の間で∠BCE＝１ ０ ０° とし２ ０と１ １ ５を用いる E を AB の間で∠BCE＝１ １ ０° とし２ ２と９ ３を用いる E を BC 間∠BDE＝２ ０° ，F を AB 上∠BEF＝４ ０° で６を用る．AFECD は円周上 ２ ５ １ ０ １ ０ １ ２ ０ ３ ０ ６ ０ E を AB 上で BD⊥CE とすると AECD は円周上にある ２ ６ １ ０ １ ０ １ ２ ０ ４ ０ ２ ０ E を DC の C の延長上で∠BAE＝１ ０° の時６ ９と ABED は円周上 E を BA の A の延長上で∠DCE＝３ ０° の時２ ８と ACDE は円周上 E を AB の間で∠BCE＝８ ０° とし１ ８と２ ７ ６を用いる ２ ７ １ ０ １ ０ １ ３ ０ ２ ０ １ ０ ０ E を AB の間で∠DCE＝１ １ ０° の時６と AECD は円周上 E を DC の C の延長上で∠BAE＝２ ０° の時１ ０ ８と ABED は円周上 E を AB の間で∠BCE＝８ ０° とし１ ７と１ ６ ０を用いる E を AB の間で∠BCE＝１ ０ ０° とし２ １と１ ３ ９を用いる E を AB の間で∠BCE＝１ １ ０° とし２ ３と１ ２ ３を用いる E を AB の間で∠BCE＝１ ２ ０° とし２ ５と９ ６を用いる ２ ８ １ ０ １ ０ １ ３ ０ ３ ０ ３ ０ E を AB の間で∠DCE＝４ ０° の時２ ６と AECD は円周上 E を DC の C の延長上で∠BAE＝１ ０° の時５ １と ABED は円周上 E を AB の間で∠BCE＝８ ０° とし１ ８と２ ３ ２を用いる ２ ９ １ ０ １ ０ １ ４ ０ ２ ０ ７ ０ CB＝CA＝CD より ３ ０ １ ０ ２ ０ ２ ０ ４ ０ １ ０ E を BC 間∠BDE＝１ ０° ，F を AB 延長上∠BEF＝１ ３ ０° で５ １を用る．AECDF は円周上 Ｍ：】Ｓｅｒｖｅｒ／岐阜聖徳学園大学紀要４２集 教育学部編／本文（横組）／兼山 ／兼山 2004.02.25 14.58.42 Page 11 Langley の問題とその一般化問題の解法 E を BA の A の延長上で∠DCE＝２ ０° の時３ ２と ACDE は円周上 E を DC の C の延長上で∠BAE＝１ ０ ０° の時３ ５ １と ABED は円周上 ３ １ １ ０ ２ ０ ３ ０ ７ ０ １ ０ ABC が二等辺，E を BD 上で AE⊥BC,AECD が円周上 ３ ２ １ ０ ２ ０ ４ ０ ２ ０ ３ ０ E を BC 間∠BDE＝１ ０° ，F を AB 上∠BEF＝１ １ ０° で４ ９を用る．AFECD は円周上 E を AB の間で∠DCE＝４ ０° の時３ ０と AECD は円周上 E を DC の C の延長上で∠BAE＝１ ０ ０° の時３ ４ ８と ABED は円周上 ３ ３ １ ０ ２ ０ ４ ０ ４ ０ ２ ０ E を BC 間∠BDE＝２ ０° ，F を AB 延長上∠BEF＝１ １ ０° で４ ８を用る．AECDF は円周上 E を BA の A の延長上で∠DCE＝３ ０° の時３ ５と ACDE は円周上 E を DC の C の延長上で∠BAE＝８ ０° の時３ ４ ５と ABED は円周上 ３ ４ １ ０ ２ ０ ４ ０ ８ ０ １ ０ E を BC 間∠BDE＝３ ０° ，F を AB 延長上∠BEF＝１ １ ０° で４ ７を用る．AECDF は円周上 E を BA の A の延長上で∠DCE＝２ ０° の時４ ４と ACDE は円周上 E を DC の C の延長上で∠BAE＝８ ０° の時３ １ ９と AE⊥BD より E を DC の C の延長上で∠BAE＝４ ０° の時３ ２ １と ABED は円周上 ３ ５ １ ０ ２ ０ ５ ０ ３ ０ ３ ０ E を BC 間∠BDE＝２ ０° ，F を AB 上∠BEF＝１ ０ ０° で４ ６を用る．AFECD は円周上 E を AB の間で∠DCE＝４ ０° の時３ ３と AECD は円周上 E を DC の C の延長上で∠BAE＝８ ０° の時３ ４ １と ABED は円周上 ３ ６ １ ０ ２ ０ ５ ０ ５ ０ ２ ０ E を BC 間∠BDE＝３ ０° ，F を AB 延長上∠BEF＝１ ０ ０° で４ ５を用る．AECDF は円周上 E を BA の A の延長上で∠DCE＝３ ０° の時３ ８と ACDE は円周上 E を DC の C の延長上で∠BAE＝６ ０° の時３ ２ ０と ABED は円周上 E を AB の間で∠BCE＝３ ０° とし３ １と１ ４ ５を用いる E を CD の間で∠CBE＝１ ０° とし９ ２と５を用いる E を DC の延長で∠BAE＝７ ０° とし３ ３ ０と１ ４ ９を用いる ３ ７ １ ０ ２ ０ ５ ０ ８ ０ １ ０ E を DC の C の延長上で∠BAE＝８ ０° の時３ ０ ０と AE⊥BD より E を BA の A の延長上で∠DCE＝２ ０° の時４ ７と ACDE は円周上 E を DC の C の延長上で∠BAE＝３ ０° の時２ ３ ４と ABED は円周上 E を CD の間で∠CBE＝１ ０° とし９ ３と３を用いる E を DC の延長で∠BAE＝４ ０° とし２ ８ ０と１ ４ １を用いる ３ ８ １ ０ ２ ０ ７ ０ ３ ０ ４ ０ E を BC 間∠BDE＝３ ０° ，F を AB 上∠BEF＝８ ０° で４ ３を用る．AFECD は円周上 E を AB の間で∠DCE＝５ ０° の時３ ６と AECD は円周上 E を DC の C の延長上で∠BAE＝６ ０° の時３ １ ７と ABED は円周上 E を AB の間で∠BCE＝３ ０° とし３ １と１ ４ ６を用いる ３ ９ １ ０ ２ ０ ７ ０ ４ ０ ３ ０ E を DC の C の延長上で∠BAE＝５ ０° の時２ ９ ７と ABED は円周上 E を CD の間で∠CBE＝１ ０° とし９ ５と１ ０を用いる E を DC の延長で∠BAE＝６ ０° とし３ １ ６と７ ９を用いる E を BC 間∠BDE＝４ ０° ，F を AB 上∠BEF＝８ ０° で４ ２を用る．AECD（A＝F）円周上 ４ ０ １ ０ ２ ０ ７ ０ ７ ０ １ ０ 直交（AC⊥BD）かつ c＝d より ４ １ １ ０ ２ ０ ８ ０ ２ ０ ６ ０ E を AB の間で∠DCE＝７ ０° の時３ １と AECD は円周上 E を DC の C の延長上で∠BAE＝６ ０° の時３ ０ ９と ABED は円周上 E を BC 間∠BDE＝２ ０° ，F を AB 上∠BEF＝７ ０° で４ ０を用る．AFECD は円周上 E を AB の間で∠BCE＝５ ０° とし３ ６と１ ３ ３を用いる ６ ３ Ｍ：】Ｓｅｒｖｅｒ／岐阜聖徳学園大学紀要４２集 教育学部編／本文（横組）／兼山 ６４ ／兼山 2004.02.25 14.58.42 兼 Page 12 山 瓊 典 E を AB の間で∠BCE＝７ ０° とし３ ８と９ ２を用いる ４ ２ １ ０ ２ ０ ８ ０ ４ ０ ４ ０ ３ ０E を AB の間で∠BCE＝４ ０° の時３ ４と AC⊥DE より E を DC の C の延長上で∠BAE＝４ ０° の時２ ６ ７と ABED は円周上 E を AB の間で∠BCE＝４ ０° とし３ ４と１ ５ ７を用いる ４ ３ １ ０ ２ ０ ８ ０ ５ ０ ２ ０ E を AB の間で∠BCE＝５ ０° とし３ ７と１ ６ ２を用いる E を CD の間で∠CBE＝１ ０° とし９ ８と１ １を用いる E を DC の延長で∠BAE＝４ ０° とし２ ６ ６と８ ５を用いる E を BA の A の延長上で∠DCE＝３ ０° の時４ ５と ACDE は円周上 E を DC の C の延長上で∠BAE＝３ ０° の時２ ２ ３と ABED は円周上 ４ ４ １ ０ ２ ０ １ ０ ０ ２ ０ ７ ０ E を BC 間∠BDE＝３ ０° ，F を AB 上∠BEF＝５ ０° で３ ７を用る．AFECD は円周上 E を AB の間で∠DCE＝８ ０° の時３ ４と AECD は円周上 E を AB の間で∠BCE＝８ ０° の時４ ２と AC⊥DE より E を DC の C の延長上で∠BAE＝４ ０° の時２ ４ ３と ABED は円周上 E を AB の間で∠BCE＝８ ０° とし４ ２と１ １ ８を用いる ４ ５ １ ０ ２ ０ １ ０ ０ ３ ０ ４ ０ E を AB の間で∠BCE＝５ ０° とし３ ７と１ ６ ３を用いる E を AB の間で∠DCE＝５ ０° の時４ ３と AECD は円周上 E を DC の C の延長上で∠BAE＝３ ０° の時１ ９ ９と ABED は円周上 ４ ６ １ ０ ２ ０ １ ０ ０ ４ ０ ２ ０ E を CD の間で∠CBE＝１ ０° の時１ ０ １と AE⊥BD より E を BA の A の延長上で∠DCE＝３ ０° の時４ ８と ACDE は円周上 E を DC の C の延長上で∠BAE＝２ ０° の時１ ４ ３と ABED は円周上 E を AB の間で∠BCE＝７ ０° とし４ ０と２ ６ ５を用いる E を CD の間で∠CBE＝１ ０° とし１ ０ １と１ ７を用いる E を DC の延長で∠BAE＝３ ０° とし１ ９ ８と８ ３を用いる ４ ７ １ ０ ２ ０ １ １ ０ ２ ０ ７ ０ E を AB の間で∠DCE＝８ ０° の時３ ７と AECD は円周上 E を DC の C の延長上で∠BAE＝３ ０° の時１ ８ ４と ABED は円周上 E を AB の間で∠BCE＝８ ０° とし４ ３と１ ３ ８を用いる E を AB の間で∠BCE＝１ ０ ０° とし４ ５と９ ８を用いる ４ ８ １ ０ ２ ０ １ １ ０ ３ ０ ３ ０ E を AB の間で∠DCE＝４ ０° の時４ ６と AECD は円周上 E を DC の C の延長上で∠BAE＝２ ０° の時１ ２ ８と ABED は円周上 E を AB の間で∠BCE＝７ ０° とし４ ０と２ ２ １を用いる E を CD の間で∠CBE＝１ ０° とし１ ０ ４と２ １を用いる E を DC の延長で∠BAE＝３ ０° とし１ ８ ３と７ ７を用いる ４ ９ １ ０ ２ ０ １ １ ０ ４ ０ １ ０ E を CD の間で∠CBE＝１ ０° の時１ ０ ５と AE⊥BD より E を CD 間∠CBE＝１ ０° で２ ３，１ ０ ５，８を用る． E を BA の A の延長上で∠DCE＝２ ０° の時５ １と ACDE は円周上 E を DC の C の延長上で∠BAE＝１ ０° の時６ ８と ABED は円周上 E を CD の間で∠CBE＝１ ０° とし１ ０ ５と１ ８を用いる E を DC の延長で∠BAE＝２ ０° とし１ ２ ７と８ ６を用いる Ｍ：】Ｓｅｒｖｅｒ／岐阜聖徳学園大学紀要４２集 教育学部編／本文（横組）／兼山 ／兼山 2004.02.25 14.58.42 Page 13 Langley の問題とその一般化問題の解法 ５ ０ １ ０ ２ ０ １ ２ ０ ２ ０ ６ ０ CB＝CA＝CD より ５ １ １ ０ ２ ０ １ ３ ０ ２ ０ ３ ０ E を AB の間で∠DCE＝４ ０° の時４ ９と AECD は円周上 ５ ２ １ ０ ３ ０ ２ ０ ３ ０ １ ０ E を BC 間∠BDE＝１ ０° ，F を AB 延長上∠BEF＝１ ２ ０° で６ ９を用る．AECDF は円周上 ５ ３ １ ０ ３ ０ ３ ０ ２ ０ ２ ０ E を BC 間∠BDE＝１ ０° ，F を AB 上∠BEF＝１ １ ０° で６ ８を用る．AFECD は円周上 ５ ４ １ ０ ３ ０ ３ ０ ５ ０ １ ０ E を DC の C の延長上で∠BAE＝７ ０° の時３ ３ ４と ABED は円周上 ５ ５ １ ０ ３ ０ ４ ０ ３ ０ ２ ０ E を BC 間∠BDE＝２ ０° ，F を AB 上∠BEF＝１ ０ ０° で６ ６を用る．AECD（A＝F）円周上 ５ ６ １ ０ ３ ０ ４ ０ ６ ０ １ ０ ABC が二等辺，E を BD 上で AE⊥BC，AECD が円周上 ５ ７ １ ０ ３ ０ ６ ０ ２ ０ ４ ０ E を AB の間で∠DCE＝５ ０° の時５ ４と AECD は円周上 ５ ８ １ ０ ３ ０ ６ ０ ４ ０ ２ ０ E を BA の A の延長上で∠DCE＝３ ０° の時６ ０と ACDE は円周上 ５ ９ １ ０ ３ ０ ６ ０ ６ ０ １ ０ 直交（AC⊥BD）かつ c＝d より ６ ０ １ ０ ３ ０ ７ ０ ３ ０ ３ ０ E を AB の間で∠BCE＝４ ０° の時５ ６と AC⊥DE より ６ １ １ ０ ３ ０ ７ ０ ４ ０ ２ ０ E を DC の C の延長上で∠BAE＝４ ０° の時２ ６ ４と ABED は円周上 ６ ２ １ ０ ３ ０ ８ ０ ２ ０ ５ ０ E を AB の間で∠DCE＝６ ０° の時５ ６と AECD は円周上 ６ ７ １ ０ ３ ０ １ １ ０ ２ ０ ４ ０ E を AB の間で∠DCE＝５ ０° の時６ ４と AECD は円周上 ６ ８ １ ０ ３ ０ １ １ ０ ３ ０ １ ０ E を DC の C の延長上で∠BAE＝１ ０° の時４ ９と ABED は円周上 ６ ９ １ ０ ３ ０ １ ２ ０ ２ ０ ２ ０ E を AB の間で∠DCE＝３ ０° の時６ ８と AECD は円周上 ７ ０ １ ０ ４ ０ ３ ０ ４ ０ １ ０ E を DC の C の延長上で∠BAE＝７ ０° の時３ ２ ９と ABED は円周上 ７ １ １ ０ ４ ０ ５ ０ ２ ０ ３ ０ E を AB の間で∠DCE＝４ ０° の時７ ０と AECD は円周上 ７ ２ １ ０ ４ ０ ５ ０ ３ ０ ２ ０ E を BC 間∠BDE＝３ ０° ，F を AB 上∠BEF＝８ ０° で７ ５を用る．AECD（A＝F）円周上 ７ ３ １ ０ ４ ０ ５ ０ ５ ０ １ ０ 直交（AC⊥BD）かつ c＝d より ７ ４ １ ０ ４ ０ ８ ０ ２ ０ ４ ０ CB＝CA＝CD より ７ ５ １ ０ ４ ０ ８ ０ ３ ０ ２ ０ E を CD の間で∠CBE＝３ ０° とし１ ３ ８と１ １を用いる ７ ６ １ ０ ４ ０ ８ ０ ４ ０ １ ０ E を DC の C の延長上で∠BAE＝２ ０° の時１ ４ ０と ABED は円周上 ７ ７ １ ０ ４ ０ １ ０ ０ ２ ０ ３ ０ E を AB の間で∠DCE＝４ ０° の時７ ６と AECD は円周上 ７ ８ １ ０ ５ ０ ４ ０ ４ ０ １ ０ 直交（AC⊥BD）かつ c＝d より ７ ９ １ ０ ５ ０ ６ ０ ２ ０ ３ ０ CB＝CA＝CD より ８ ０ １ ０ ５ ０ ６ ０ ４ ０ １ ０ ABC が二等辺，E を BD 上で AE⊥BC，AECD が円周上 ８ １ １ ０ ５ ０ ８ ０ ２ ０ ３ ０ E を AB の間で∠DCE＝４ ０° の時８ ０と AECD は円周上 ８ ２ １ ０ ６ ０ ７ ０ ３ ０ １ ０ ABC が二等辺，E を BD 上で AE⊥BC，AECD が円周上 ８ ３ １ ０ ６ ０ ８ ０ ２ ０ ２ ０ E を AB の間で∠DCE＝３ ０° の時８ ２と AECD は円周上 ８ ４ １ ０ ７ ０ ５ ０ ３ ０ １ ０ E を DC の C の延長上で∠BAE＝３ ０° の時１ ９ １と ABED は円周上 ８ ５ １ ０ ７ ０ ６ ０ ２ ０ ２ ０ E を AB の間で∠DCE＝３ ０° の時８ ４と AECD は円周上 ８ ６ １ ０ ７ ０ ８ ０ ２ ０ １ ０ ABC が二等辺，E を BD 上で AE⊥BC，AECD が円周上 ８ ７ ２ ０ １ ０ ２ ０ １ ２ ０ １ ０ E を BA の A の延長上で∠DCE＝３ ０° の時１ ０ ４と ACDE は円周上 ８ ８ ２ ０ １ ０ ３ ０ ８ ０ ２ ０ ABC が二等辺，E を BD 上で AE⊥BC，AECD が円周上 ８ ９ ２ ０ １ ０ ４ ０ ６ ０ ３ ０ E を BA の A の延長上で∠DCE＝５ ０° の時９ ２と ACDE は円周上 ９ ０ ２ ０ １ ０ ４ ０ １ ０ ０ ２ ０ E を DC の C の延長上で∠BAE＝７ ０° の時２ ７ ０と AE⊥BD より ９ １ ２ ０ １ ０ ４ ０ １ ２ ０ １ ０ E を DC の C の延長上で∠BAE＝７ ０° の時１ ４ ７と AE⊥BD より ６ ５ Ｍ：】Ｓｅｒｖｅｒ／岐阜聖徳学園大学紀要４２集 教育学部編／本文（横組）／兼山 ６６ ／兼山 2004.02.25 14.58.42 Page 14 兼 山 瓊 典 ９ ２ ２ ０ １ ０ ５ ０ ５ ０ ４ ０ E を DC の C の延長上で∠BAE＝７ ０° の時３ ３ ０と ABED は円周上 ９ ３ ２ ０ １ ０ ５ ０ ８ ０ ３ ０ E を DC の C の延長上で∠BAE＝４ ０° の時２ ８ ０と ABED は円周上 ９ ４ ２ ０ １ ０ ５ ０ １ ０ ０ ２ ０ E を DC の C の延長上で∠BAE＝７ ０° の時２ ２ ６と AE⊥BD より ９ ５ ２ ０ １ ０ ７ ０ ４ ０ ６ ０ E を AB の間で∠DCE＝８ ０° の時８ ８と AECD は円周上 ９ ６ ２ ０ １ ０ ７ ０ ７ ０ ４ ０ E を DC の C の延長上で∠BAE＝３ ０° の時２ ３ １と ABED は円周上 ９ ７ ２ ０ １ ０ ７ ０ ８ ０ ３ ０ E を BA の A の延長上で∠DCE＝５ ０° の時１ ０ ２と ACDE は円周上 ９ ８ ２ ０ １ ０ ８ ０ ５ ０ ６ ０ E を AB の間で∠DCE＝８ ０° の時９ ３と AECD は円周上 ９ ９ ２ ０ １ ０ ８ ０ ６ ０ ５ ０ E を AB の間で∠DCE＝７ ０° の時９ ６と AECD は円周上 １ ０ ０ ２ ０ １ ０ ８ ０ ８ ０ ２ ０ 直交（AC⊥BD）かつ c＝d より １ ０ １ ２ ０ １ ０ １ ０ ０ ４ ０ ８ ０ E を AB の間で∠DCE＝１ ０ ０° の時９ ０と AECD は円周上 １ ０ ２ ２ ０ １ ０ １ ０ ０ ５ ０ ６ ０ E を AB の間で∠BCE＝５ ０° の時９ ４と AC⊥DE より １ ０ ３ ２ ０ １ ０ １ ０ ０ ６ ０ ３ ０ E を DC の C の延長上で∠BAE＝１ ０° の時７ ７と ABED は円周上 １ ０ ４ ２ ０ １ ０ １ １ ０ ３ ０ １ ０ ０ E を DC の C の延長上で∠BAE＝３ ０° の時１ ８ ３と ABED は円周上 １ ０ ５ ２ ０ １ ０ １ １ ０ ４ ０ ８ ０ E を AB の間で∠DCE＝１ ０ ０° の時９ ４と AECD は円周上 １ ０ ６ ２ ０ １ ０ １ １ ０ ５ ０ ４ ０ E を AB の間で∠DCE＝６ ０° の時１ ０ ３と AECD は円周上 １ ０ ７ ２ ０ １ ０ １ ２ ０ ４ ０ ６ ０ CB＝CA＝CD より １ ０ ８ ２ ０ １ ０ １ ３ ０ ３ ０ １ ０ ０ E を AB の間で∠DCE＝１ ２ ０° の時９ １と AECD は円周上 １ ０ ９ ２ ０ ２ ０ ２ ０ ８ ０ １ ０ E を AB 上で BD⊥CE とすると AECD は円周上にある １ １ ０ ２ ０ ２ ０ ３ ０ ５ ０ ２ ０ E を BC 間∠BDE＝１ ０° ，F を AB 延長上∠BEF＝１ １ ０° で１ ２ ８を用る．AECDF は円周上 １ １ １ ２ ０ ２ ０ ３ ０ １ ０ ０ １ ０ E を BA の A の延長上で∠DCE＝３ ０° の時１ ２ ４と ACDE は円周上 １ １ ２ ２ ０ ２ ０ ４ ０ ４ ０ ３ ０ E を BC 間∠BDE＝１ ０° ，F を AB 上∠BEF＝１ ０ ０° で１ ２ ６を用る．AFECD は円周上 １ １ ３ ２ ０ ２ ０ ４ ０ ７ ０ ２ ０ ABC が二等辺，E を BD 上で AE⊥BC，AECD が円周上 １ １ ４ ２ ０ ２ ０ ４ ０ １ ０ ０ １ ０ E を BA の A の延長上で∠DCE＝３ ０° の時１ ２ ７と ACDE は円周上 １ １ ５ ２ ０ ２ ０ ６ ０ ６ ０ ３ ０ E を AB 上で BD⊥CE とすると AECD は円周上にある １ １ ６ ２ ０ ２ ０ ７ ０ １ ０ ８ ０ 直交（AC⊥BD）かつ a＝b より １ １ ７ ２ ０ ２ ０ ７ ０ ３ ０ ６ ０ 直交（AC⊥BD）かつ a＝b より １ １ ８ ２ ０ ２ ０ ７ ０ ４ ０ ５ ０ 直交（AC⊥BD）かつ a＝b より １ １ ９ ２ ０ ２ ０ ７ ０ ５ ０ ４ ０ 直交（AC⊥BD）かつ a＝b より １ ２ ０ ２ ０ ２ ０ ７ ０ ６ ０ ３ ０ 直交（AC⊥BD）かつ a＝b より １ ２ １ ２ ０ ２ ０ ７ ０ ７ ０ ２ ０ 直交（AC⊥BD）かつ a＝b より １ ２ ２ ２ ０ ２ ０ ７ ０ ８ ０ １ ０ 直交（AC⊥BD）かつ a＝b より １ ２ ３ ２ ０ ２ ０ ８ ０ ５ ０ ４ ０ E を AB 上で BD⊥CE とすると AECD は円周上にある １ ２ ４ ２ ０ ２ ０ １ ０ ０ ３ ０ ８ ０ E を AB の間で∠BCE＝７ ０° の時１ ２ ０と AC⊥DE より １ ２ ５ ２ ０ ２ ０ １ ０ ０ ４ ０ ５ ０ CB＝CA＝CD より １ ２ ６ ２ ０ ２ ０ １ ０ ０ ５ ０ ２ ０ E を DC の C の延長上で∠BAE＝１ ０° の時６ ６と ABED は円周上 １ ２ ７ ２ ０ ２ ０ １ １ ０ ３ ０ ８ ０ E を DC の C の延長上で∠BAE＝２ ０° の時１ ０ ５と ABED は円周上 １ ２ ８ ２ ０ ２ ０ １ １ ０ ４ ０ ３ ０ E を AB の間で∠DCE＝５ ０° の時１ ２ ６と AECD は円周上 １ ２ ９ ２ ０ ２ ０ １ ２ ０ ３ ０ ６ ０ E を AB 上で BD⊥CE とすると AECD は円周上にある １ ３ ０ ２ ０ ３ ０ ２ ０ ６ ０ １ ０ E を BA の A の延長上で∠DCE＝３ ０° の時１ ３ ３と ACDE は円周上 １ ３ １ ２ ０ ３ ０ ３ ０ ４ ０ ２ ０ E を BC 間∠BDE＝１ ０° ，F を AB 上∠BEF＝１ ０ ０° で１ ４ ３を用る．AECD（A＝F）円周上 Ｍ：】Ｓｅｒｖｅｒ／岐阜聖徳学園大学紀要４２集 教育学部編／本文（横組）／兼山 ／兼山 2004.02.25 14.58.42 Page 15 Langley の問題とその一般化問題の解法 １ ３ ２ ２ ０ ３ ０ ３ ０ ８ ０ １ ０ E を BA の A の延長上で∠DCE＝３ ０° の時１ ３ ８と ACDE は円周上 １ ３ ３ ２ ０ ３ ０ ５ ０ ３ ０ ４ ０ E を DC の C の延長上で∠BAE＝７ ０° の時３ ２ ４と ABED は円周上 １ ３ ４ ２ ０ ３ ０ ５ ０ ６ ０ ２ ０ ABC が二等辺，E を BD 上で AE⊥BC，AECD が円周上 １ ３ ５ ２ ０ ３ ０ ５ ０ ８ ０ １ ０ E を BA の A の延長上で∠DCE＝３ ０° の時１ ４ ２と ACDE は円周上 １ ３ ６ ２ ０ ３ ０ ６ ０ ６ ０ ２ ０ 直交（AC⊥BD）かつ c＝d より １ ３ ７ ２ ０ ３ ０ ７ ０ ４ ０ ４ ０ E を AB の間で∠DCE＝６ ０° の時１ ３ ４と AECD は円周上 １ ３ ８ ２ ０ ３ ０ ８ ０ ３ ０ ６ ０ E を AB の間で∠BCE＝５ ０° の時１ ３ ４と AC⊥DE より １ ３ ９ ２ ０ ３ ０ ８ ０ ４ ０ ４ ０ CB＝CA＝CD より １ ４ ０ ２ ０ ３ ０ ８ ０ ６ ０ １ ０ E を DC の延長で∠BAE＝３ ０° とし１ ９ ４と１ ６ ６を用いる １ ４ １ ２ ０ ３ ０ １ ０ ０ １ ０ １ ２ ０ E を AB の B の延長上で∠CDE＝３ ０° の時１ ７ ０と AECD は円周上 １ ４ ２ ２ ０ ３ ０ １ ０ ０ ３ ０ ６ ０ E を DC の C の延長上で∠BAE＝２ ０° の時１ ０ ２と ABED は円周上 １ ４ ３ ２ ０ ３ ０ １ ０ ０ ４ ０ ２ ０ E を DC の C の延長上で∠BAE＝１ ０° の時４ ６と ABED は円周上 １ ４ ４ ２ ０ ３ ０ １ １ ０ ３ ０ ４ ０ E を AB の間で∠DCE＝６ ０° の時１ ４ ０と AECD は円周上 １ ４ ５ ２ ０ ４ ０ ２ ０ ５ ０ １ ０ E を AB の延長で∠CDE＝° で３ ０ ７，３ ６，２を用る．を用いる １ ４ ６ ２ ０ ４ ０ ４ ０ ３ ０ ３ ０ E を AB の延長で∠CDE＝° で３ ０ ７，３ ８，２を用る．を用いる １ ４ ７ ２ ０ ４ ０ ４ ０ ７ ０ １ ０ E を DC の延長で∠BAE＝５ ０° とし２ ９ ２と２ ６ ５を用いる １ ４ ８ ２ ０ ４ ０ ５ ０ ５ ０ ２ ０ 直交（AC⊥BD）かつ c＝d より １ ４ ９ ２ ０ ４ ０ ６ ０ １ ０ ８ ０ AB＝DB＝CB より １ ５ ０ ２ ０ ４ ０ ６ ０ ４ ０ ３ ０ CB＝CA＝CD より １ ５ １ ２ ０ ４ ０ ６ ０ ５ ０ ２ ０ ABC が二等辺，E を BD 上で AE⊥BC，AECD が円周上 １ ５ ２ ２ ０ ４ ０ ７ ０ ４ ０ ３ ０ E を AB の間で∠DCE＝５ ０° の時１ ５ １と AECD は円周上 １ ５ ３ ２ ０ ４ ０ ８ ０ ３ ０ ５ ０ E を AB の間で∠DCE＝７ ０° の時１ ４ ７と AECD は円周上 １ ５ ４ ２ ０ ４ ０ ８ ０ ５ ０ １ ０ E を DC の延長で∠BAE＝３ ０° とし１ ７ ８と１ ６ ６を用いる １ ５ ５ ２ ０ ４ ０ １ ０ ０ １ ０ １ ３ ０ E を AB の B の延長上で∠CDE＝２ ０° の時９ １と AECD は円周上 １ ５ ６ ２ ０ ４ ０ １ ０ ０ ３ ０ ３ ０ E を AB の間で∠DCE＝５ ０° の時１ ５ ４と AECD は円周上 １ ５ ７ ２ ０ ５ ０ ４ ０ ４ ０ ２ ０ 直交（AC⊥BD）かつ c＝d より １ ５ ８ ２ ０ ５ ０ ４ ０ ６ ０ １ ０ E を DC の延長で∠BAE＝５ ０° とし２ ８ ５と２ ６ ５を用いる １ ５ ９ ２ ０ ５ ０ ７ ０ １ ０ １ ０ ０ E を AB の B の延長上で∠CDE＝４ ０° の時２ ３ ９と AECD は円周上 １ ６ ０ ２ ０ ５ ０ ７ ０ ３ ０ ４ ０ E を AB の間で∠DCE＝６ ０° の時１ ５ ８と AECD は円周上 １ ６ １ ２ ０ ５ ０ ７ ０ ４ ０ ２ ０ ABC が二等辺，E を BD 上で AE⊥BC，AECD が円周上 １ ６ ２ ２ ０ ６ ０ ３ ０ ５ ０ １ ０ E を BA の A の延長上で∠DCE＝３ ０° の時１ ６ ３と ACDE は円周上 １ ６ ３ ２ ０ ６ ０ ５ ０ ３ ０ ３ ０ E を DC の C の延長上で∠BAE＝４ ０° の時２ ３ ８と ABED は円周上 １ ６ ４ ２ ０ ６ ０ ５ ０ ５ ０ １ ０ E を DC の C の延長上で∠BAE＝２ ０° の時１ ３ ５と ABED は円周上 １ ６ ５ ２ ０ ６ ０ ７ ０ ３ ０ ３ ０ E を AB の間で∠DCE＝５ ０° の時１ ６ ４と AECD は円周上 １ ６ ６ ２ ０ ６ ０ ７ ０ ４ ０ １ ０ E を BA の A の延長上で∠DCE＝３ ０° の時１ ６ ７と ACDE は円周上 １ ６ ７ ２ ０ ６ ０ ８ ０ ３ ０ ２ ０ ABC が二等辺，E を BD 上で AE⊥BC，AECD が円周上 １ ６ ８ ３ ０ １ ０ ２ ０ １ ３ ０ １ ０ E を BC 間∠BDE＝１ ０° ，F を AB 延長上∠BEF＝１ ２ ０° で１ ８ ５を用る．AECDF は円周上 １ ６ ９ ３ ０ １ ０ ３ ０ １ ０ ０ ２ ０ E を BC 間∠BDE＝１ ０° ，F を AB 延長上∠BEF＝１ １ ０° で１ ８ ４を用る．AECDF は円周上 １ ７ ０ ３ ０ １ ０ ３ ０ １ ３ ０ １ ０ E を DC の C の延長上で∠BAE＝６ ０° の時１ ３ ４と AE⊥BD より １ ７ １ ３ ０ １ ０ ４ ０ ８ ０ ３ ０ ABC が二等辺，E を BD 上で AE⊥BC，AECD が円周上 ６ ７ Ｍ：】Ｓｅｒｖｅｒ／岐阜聖徳学園大学紀要４２集 教育学部編／本文（横組）／兼山 ６８ ／兼山 2004.02.25 14.58.42 Page 16 兼 山 瓊 典 １ ７ ２ ３ ０ １ ０ ４ ０ １ １ ０ ２ ０ E を DC の C の延長上で∠BAE＝６ ０° の時２ １ ４と AE⊥BD より １ ７ ３ ３ ０ １ ０ ６ ０ ６ ０ ５ ０ E を AB の間で∠DCE＝８ ０° の時１ ７ １と AECD は円周上 １ ７ ４ ３ ０ １ ０ ６ ０ ８ ０ ４ ０ E を BC 間∠BDE＝２ ０° ，F を AB 延長上∠BEF＝８ ０° で１ ７ ９を用る．AECDF は円周上 １ ７ ５ ３ ０ １ ０ ６ ０ １ ０ ０ ２ ０ E を BA の A の延長上で∠DCE＝５ ０° の時１ ８ ４と ACDE は円周上 １ ７ ６ ３ ０ １ ０ ７ ０ ７ ０ ５ ０ E を BC 間∠BDE＝２ ０° ，F を AB 上∠BEF＝７ ０° で１ ７ ７を用る．AFECD は円周上 １ ７ ７ ３ ０ １ ０ ７ ０ ８ ０ ４ ０ E を DC の C の延長上で∠BAE＝２ ０° の時１ ６ ０と ABED は円周上 １ ７ ８ ３ ０ １ ０ ８ ０ ５ ０ ７ ０ E を BC 間∠BDE＝１ ０° ，F を AB 上∠BEF＝６ ０° で１ ７ ５を用る．AFECD は円周上 １ ７ ９ ３ ０ １ ０ ８ ０ ７ ０ ５ ０ E を AB の間で∠DCE＝８ ０° の時１ ７ ７と AECD は円周上 １ ８ ０ ３ ０ １ ０ ８ ０ ８ ０ ３ ０ 直交（AC⊥BD）かつ c＝d より １ ８ １ ３ ０ １ ０ １ ０ ０ ５ ０ ８ ０ E を AB の間で∠DCE＝１ １ ０° の時１ ７ ２と AECD は円周上 １ ８ ２ ３ ０ １ ０ １ ０ ０ ６ ０ ５ ０ CB＝CA＝CD より １ ８ ３ ３ ０ １ ０ １ １ ０ ４ ０ １ ０ ０ E を BC 間∠BDE＝１ ０° ，F を AB 上∠BEF＝３ ０° で１ ７ ０を用る．AFECD は円周上 １ ８ ４ ３ ０ １ ０ １ １ ０ ５ ０ ７ ０ E を DC の C の延長上で∠BAE＝１ ０° の時４ ７と ABED は円周上 １ ８ ５ ３ ０ １ ０ １ ２ ０ ４ ０ １ ０ ０ E を AB の間で∠DCE＝１ ３ ０° の時１ ７ ０と AECD は円周上 １ ８ ６ ３ ０ ２ ０ ２ ０ １ ０ ０ １ ０ E を BC 間∠BDE＝１ ０° ，F を AB 延長上∠BEF＝１ １ ０° で２ ０ ０を用る．AECDF は円周上 １ ８ ７ ３ ０ ２ ０ ３ ０ ７ ０ ２ ０ E を BC 間∠BDE＝１ ０° ，F を AB 延長上∠BEF＝１ ０ ０° で１ ９ ９を用る．AECDF は円周上 １ ８ ８ ３ ０ ２ ０ ３ ０ １ １ ０ １ ０ E を BA の A の延長上で∠DCE＝４ ０° の時１ ９ ８と ACDE は円周上 １ ８ ９ ３ ０ ２ ０ ５ ０ ５ ０ ４ ０ E を BC 間∠BDE＝１ ０° ，F を AB 上∠BEF＝８ ０° で１ ９ ６を用る．AFECD は円周上 １ ９ ０ ３ ０ ２ ０ ５ ０ ７ ０ ３ ０ ABC が二等辺，E を BD 上で AE⊥BC，AECD が円周上 １ ９ １ ３ ０ ２ ０ ５ ０ １ ０ ０ １ ０ E を DC の C の延長上で∠BAE＝６ ０° の時２ ２ ５と AE⊥BD より １ ９ ２ ３ ０ ２ ０ ６ ０ ６ ０ ４ ０ E を AB の間で∠DCE＝７ ０° の時１ ９ ０と AECD は円周上 １ ９ ３ ３ ０ ２ ０ ７ ０ ７ ０ ３ ０ 直交（AC⊥BD）かつ c＝d より １ ９ ４ ３ ０ ２ ０ ８ ０ ４ ０ ７ ０ E を BC 間∠BDE＝１ ０° ，F を AB 上∠BEF＝５ ０° で１ ９ １を用る．AFECD は円周上 １ ９ ５ ３ ０ ２ ０ ８ ０ ６ ０ ４ ０ CB＝CA＝CD より １ ９ ６ ３ ０ ２ ０ ８ ０ ７ ０ ２ ０ E を AB の間で∠BCE＝５ ０° とし１ ９ １と２ ７ ９を用いる １ ９ ７ ３ ０ ２ ０ １ ０ ０ ２ ０ １ １ ０ E を AB の B の延長上で∠CDE＝３ ０° の時１ ６ ８と AECD は円周上 １ ９ ８ ３ ０ ２ ０ １ ０ ０ ４ ０ ８ ０ E を DC の C の延長上で∠BAE＝２ ０° の時１ ０ １と ABED は円周上 １ ９ ９ ３ ０ ２ ０ １ ０ ０ ５ ０ ４ ０ E を AB の間で∠BCE＝５ ０° とし１ ９ １と２ ８ ０を用いる ２ ０ ０ ３ ０ ２ ０ １ １ ０ ４ ０ ７ ０ E を AB の間で∠DCE＝１ ０ ０° の時１ ９ １と AECD は円周上 ２ ０ １ ３ ０ ３ ０ ２ ０ ８ ０ １ ０ E を AB 上で BD⊥CE とすると AECD は円周上にある ２ ０ ２ ３ ０ ３ ０ ４ ０ ７ ０ ２ ０ E を AB 上で BD⊥CE とすると AECD は円周上にある ２ ０ ３ ３ ０ ３ ０ ６ ０ １ ０ ８ ０ 直交（AC⊥BD）かつ a＝b より ２ ０ ４ ３ ０ ３ ０ ６ ０ ２ ０ ７ ０ 直交（AC⊥BD）かつ a＝b より ２ ０ ５ ３ ０ ３ ０ ６ ０ ４ ０ ５ ０ 直交（AC⊥BD）かつ a＝b より ２ ０ ６ ３ ０ ３ ０ ６ ０ ５ ０ ４ ０ 直交（AC⊥BD）かつ a＝b より ２ ０ ７ ３ ０ ３ ０ ６ ０ ６ ０ ３ ０ 直交（AC⊥BD）かつ a＝b より ２ ０ ８ ３ ０ ３ ０ ６ ０ ７ ０ ２ ０ 直交（AC⊥BD）かつ a＝b より ２ ０ ９ ３ ０ ３ ０ ６ ０ ８ ０ １ ０ 直交（AC⊥BD）かつ a＝b より ２ １ ０ ３ ０ ３ ０ ８ ０ ５ ０ ４ ０ E を AB 上で BD⊥CE とすると AECD は円周上にある ２ １ １ ３ ０ ３ ０ １ ０ ０ ４ ０ ５ ０ E を AB 上で BD⊥CE とすると AECD は円周上にある Ｍ：】Ｓｅｒｖｅｒ／岐阜聖徳学園大学紀要４２集 教育学部編／本文（横組）／兼山 ／兼山 2004.02.25 14.58.42 Page 17 Langley の問題とその一般化問題の解法 ２ １ ２ ３ ０ ４ ０ ３ ０ ５ ０ ２ ０ E を BC 間∠BDE＝１ ０° ，F を AB 上∠BEF＝８ ０° で２ ２ ３を用る．AECD（A＝F）円周上 ２ １ ３ ３ ０ ４ ０ ３ ０ ８ ０ １ ０ E を BC 間∠BDE＝２ ０° ，F を AB 延長上∠BEF＝８ ０° で２ ２ ２を用る．AECDF は円周上 ２ １ ４ ３ ０ ４ ０ ４ ０ ６ ０ ２ ０ CB＝CA＝CD より ２ １ ５ ３ ０ ４ ０ ４ ０ ８ ０ １ ０ E を DC の C の延長上で∠BAE＝２ ０° の時１ ５ ８と ABED は円周上 ２ １ ６ ３ ０ ４ ０ ５ ０ ５ ０ ３ ０ 直交（AC⊥BD）かつ c＝d より ２ １ ７ ３ ０ ４ ０ ６ ０ ６ ０ ２ ０ E を BA の A の延長上で∠DCE＝５ ０° の時２ ２ ０と ACDE は円周上 ２ １ ８ ３ ０ ４ ０ ７ ０ １ ０ １ ０ ０ E を AB の B の延長上で∠CDE＝４ ０° の時２ ４ ６と AECD は円周上 ２ １ ９ ３ ０ ４ ０ ７ ０ ４ ０ ５ ０ E を BC 間∠BDE＝２ ０° ，F を AB 上∠BEF＝４ ０° で２ １ ５を用る．AFECD は円周上 ２ ２ ０ ３ ０ ４ ０ ７ ０ ５ ０ ３ ０ ABC が二等辺，E を BD 上で AE⊥BC，AECD が円周上 ２ ２ １ ３ ０ ４ ０ ８ ０ ２ ０ １ ０ ０ E を AB の B の延長上で∠CDE＝３ ０° の時１ ７ ２と AECD は円周上 ２ ２ ２ ３ ０ ４ ０ ８ ０ ４ ０ ５ ０ E を AB の間で∠DCE＝８ ０° の時２ １ ５と AECD は円周上 ２ ２ ３ ３ ０ ４ ０ ８ ０ ５ ０ ２ ０ E を CD の間で∠CBE＝３ ０° とし２ ６ ６と１ ７ ５を用いる ２ ２ ４ ３ ０ ４ ０ １ ０ ０ ２ ０ １ ３ ０ E を AB の間で∠BCE＝８ ０° の時２ ２ ２と AC⊥DE より ２ ２ ５ ３ ０ ５ ０ ２ ０ ６ ０ １ ０ CB＝CA＝CD より ２ ２ ６ ３ ０ ５ ０ ３ ０ ７ ０ １ ０ E を BC 間∠BDE＝２ ０° ，F を AB 延長上∠BEF＝７ ０° で２ ３ １を用る．AECDF は円周上 ２ ２ ７ ３ ０ ５ ０ ４ ０ ４ ０ ３ ０ 直交（AC⊥BD）かつ c＝d より ２ ２ ８ ３ ０ ５ ０ ４ ０ ７ ０ １ ０ E を DC の C の延長上で∠BAE＝２ ０° の時１ ４ ７と ABED は円周上 ２ ２ ９ ３ ０ ５ ０ ６ ０ ４ ０ ４ ０ E を BC 間∠BDE＝２ ０° ，F を AB 上∠BEF＝４ ０° で２ ２ ８を用る．AFECD は円周上 ２ ３ ０ ３ ０ ５ ０ ６ ０ ６ ０ １ ０ E を BA の A の延長上で∠DCE＝４ ０° の時２ ３ ３と ACDE は円周上 ２ ３ １ ３ ０ ５ ０ ７ ０ ４ ０ ４ ０ E を AB の間で∠DCE＝７ ０° の時２ ２ ８と AECD は円周上 ２ ３ ２ ３ ０ ５ ０ ８ ０ ２ ０ １ １ ０ E を AB の B の延長上で∠CDE＝２ ０° の時９ ４と AECD は円周上 ２ ３ ３ ３ ０ ５ ０ ８ ０ ４ ０ ３ ０ ABC が二等辺，E を BD 上で AE⊥BC，AECD が円周上 ２ ３ ４ ３ ０ ７ ０ ５ ０ ５ ０ １ ０ E を DC の C の延長上で∠BAE＝１ ０° の時３ ７と ABED は円周上 ２ ３ ５ ３ ０ ７ ０ ６ ０ ４ ０ ２ ０ E を AB の間で∠DCE＝５ ０° の時２ ３ ４と AECD は円周上 ２ ３ ６ ４ ０ １ ０ ３ ０ １ １ ０ ２ ０ E を BA の A の延長上で∠DCE＝６ ０° の時２ ４ ０と ACDE は円周上 ２ ３ ７ ４ ０ １ ０ ５ ０ ８ ０ ４ ０ ABC が二等辺，E を BD 上で AE⊥BC，AECD が円周上 ２ ３ ８ ４ ０ １ ０ ５ ０ １ ０ ０ ３ ０ E を BA の A の延長上で∠DCE＝７ ０° の時２ ４ １と ACDE は円周上 ２ ３ ９ ４ ０ １ ０ ５ ０ １ １ ０ ２ ０ E を BA の A の延長上で∠DCE＝６ ０° の時２ ４ ３と ACDE は円周上 ２ ４ ０ ４ ０ １ ０ ８ ０ ６ ０ ７ ０ E を DC の C の延長上で∠BAE＝３ ０° の時１ ９ ４と ABED は円周上 ２ ４ １ ４ ０ １ ０ ８ ０ ７ ０ ６ ０ E を DC の C の延長上で∠BAE＝２ ０° の時１ ３ ８と ABED は円周上 ２ ４ ２ ４ ０ １ ０ ８ ０ ８ ０ ４ ０ 直交（AC⊥BD）かつ c＝d より ２ ４ ３ ４ ０ １ ０ １ ０ ０ ６ ０ ７ ０ E を DC の C の延長上で∠BAE＝１ ０° の時４ ４と ABED は円周上 ２ ４ ４ ４ ０ ２ ０ ２ ０ １ １ ０ １ ０ E を BA の A の延長上で∠DCE＝５ ０° の時２ ５ ２と ACDE は円周上 ２ ４ ５ ４ ０ ２ ０ ４ ０ ７ ０ ３ ０ E を DC の延長で∠BAE＝４ ０° とし２ ７ ０と１ ９ ４を用いる ２ ４ ６ ４ ０ ２ ０ ４ ０ １ １ ０ １ ０ E を DC の C の延長上で∠BAE＝５ ０° の時２ １ ２と AE⊥BD より ２ ４ ７ ４ ０ ２ ０ ５ ０ ８ ０ ３ ０ E を BA の A の延長上で∠DCE＝７ ０° の時２ ４ ９と ACDE は円周上 ２ ４ ８ ４ ０ ２ ０ ６ ０ ２ ０ ７ ０ AB＝DB＝CB より ２ ４ ９ ４ ０ ２ ０ ６ ０ ７ ０ ４ ０ ABC が二等辺，E を BD 上で AE⊥BC，AECD が円周上 ２ ５ ０ ４ ０ ２ ０ ６ ０ ８ ０ ３ ０ CB＝CA＝CD より ２ ５ １ ４ ０ ２ ０ ７ ０ ７ ０ ４ ０ 直交（AC⊥BD）かつ c＝d より ６ ９ Ｍ：】Ｓｅｒｖｅｒ／岐阜聖徳学園大学紀要４２集 教育学部編／本文（横組）／兼山 ７０ ／兼山 2004.02.25 14.58.42 Page 18 兼 山 瓊 典 ２ ５ ２ ４ ０ ２ ０ ８ ０ ５ ０ ７ ０ E を DC の C の延長上で∠BAE＝３ ０° の時１ ７ ８と ABED は円周上 ２ ５ ３ ４ ０ ２ ０ ８ ０ ７ ０ ３ ０ E を DC の C の延長上で∠BAE＝１ ０° の時６ ３と ABED は円周上 ２ ５ ４ ４ ０ ２ ０ １ ０ ０ ３ ０ １ １ ０ E を AB の B の延長上で∠CDE＝２ ０° の時８ ７と AECD は円周上 ２ ５ ５ ４ ０ ２ ０ １ ０ ０ ５ ０ ７ ０ E を AB の間で∠DCE＝１ １ ０° の時２ ４ ６と AECD は円周上 ２ ５ ６ ４ ０ ３ ０ ３ ０ ７ ０ ２ ０ E を BA の A の延長上で∠DCE＝６ ０° の時２ ５ ８と ACDE は円周上 ２ ５ ７ ４ ０ ３ ０ ３ ０ １ ０ ０ １ ０ E を BA の A の延長上で∠DCE＝５ ０° の時２ ６ ６と ACDE は円周上 ２ ５ ８ ４ ０ ３ ０ ４ ０ ６ ０ ３ ０ E を DC の延長で∠BAE＝４ ０° とし２ ５ ９と１ ９ ４を用いる ２ ５ ９ ４ ０ ３ ０ ４ ０ ８ ０ ２ ０ CB＝CA＝CD より ２ ６ ０ ４ ０ ３ ０ ５ ０ ８ ０ ２ ０ E を BA の A の延長上で∠DCE＝６ ０° の時２ ６ ３と ACDE は円周上 ２ ６ １ ４ ０ ３ ０ ６ ０ ６ ０ ４ ０ 直交（AC⊥BD）かつ c＝d より ２ ６ ２ ４ ０ ３ ０ ７ ０ ３ ０ ８ ０ E を AB の B の延長上で∠CDE＝４ ０° の時２ ３ ６と AECD は円周上 ２ ６ ３ ４ ０ ３ ０ ７ ０ ６ ０ ４ ０ ABC が二等辺，E を BD 上で AE⊥BC，AECD が円周上 ２ ６ ４ ４ ０ ３ ０ ７ ０ ７ ０ ２ ０ E を BA の A の延長上で∠DCE＝６ ０° の時２ ６ ７と ACDE は円周上 ２ ６ ５ ４ ０ ３ ０ ８ ０ ２ ０ １ ０ ０ E を CD の D の延長上で∠ABE＝３ ０° の時２ ２ １と ABDE は円周上 ２ ６ ６ ４ ０ ３ ０ ８ ０ ５ ０ ６ ０ E を DC の C の延長上で∠BAE＝２ ０° の時９ ８と ABED は円周上 ２ ６ ７ ４ ０ ３ ０ ８ ０ ６ ０ ３ ０ E を DC の C の延長上で∠BAE＝１ ０° の時４ ２と ABED は円周上 ２ ６ ８ ４ ０ ３ ０ １ ０ ０ ３ ０ １ ２ ０ E を AB の間で∠BCE＝７ ０° の時２ ６ ３と AC⊥DE より ２ ６ ９ ４ ０ ４ ０ ２ ０ ８ ０ １ ０ CB＝CA＝CD より ２ ７ ０ ４ ０ ４ ０ ４ ０ ７ ０ ２ ０ E を AB 上で BD⊥CE とすると AECD は円周上にある ２ ７ １ ４ ０ ４ ０ ５ ０ ５ ０ ４ ０ 直交（AC⊥BD）かつ a＝b より ２ ７ ２ ４ ０ ４ ０ ５ ０ ６ ０ ３ ０ 直交（AC⊥BD）かつ a＝b より ２ ７ ３ ４ ０ ４ ０ ５ ０ ７ ０ ２ ０ 直交（AC⊥BD）かつ a＝b より ２ ７ ４ ４ ０ ４ ０ ５ ０ ８ ０ １ ０ 直交（AC⊥BD）かつ a＝b より ２ ７ ５ ４ ０ ４ ０ ６ ０ ６ ０ ３ ０ E を AB 上で BD⊥CE とすると AECD は円周上にある ２ ７ ６ ４ ０ ４ ０ ８ ０ ２ ０ １ １ ０ E を CD の D の延長上で∠ABE＝３ ０° の時２ ３ ２と ABDE は円周上 ２ ７ ７ ４ ０ ４ ０ ８ ０ ３ ０ １ ０ ０ E を AB の B の延長上で∠CDE＝２ ０° の時９ ０と AECD は円周上 ２ ７ ８ ４ ０ ４ ０ ８ ０ ５ ０ ４ ０ ABC が二等辺，E を BD 上で AE⊥BC，AECD が円周上 ２ ７ ９ ４ ０ ６ ０ ３ ０ ７ ０ １ ０ E を DC の C の延長上で∠BAE＝２ ０° の時１ ３ ２と ABED は円周上 ２ ８ ０ ４ ０ ６ ０ ５ ０ ５ ０ ３ ０ E を AB の間で∠DCE＝７ ０° の時２ ７ ９と AECD は円周上 ２ ８ １ ５ ０ １ ０ ４ ０ １ ０ ０ ３ ０ E を BA の A の延長上で∠DCE＝８ ０° の時２ ８ ２と ACDE は円周上 ２ ８ ２ ５ ０ １ ０ ６ ０ ８ ０ ５ ０ ABC が二等辺，E を BD 上で AE⊥BC，AECD が円周上 ２ ８ ３ ５ ０ １ ０ ６ ０ １ ０ ０ ３ ０ CB＝CA＝CD より ２ ８ ４ ５ ０ １ ０ ８ ０ ８ ０ ５ ０ 直交（AC⊥BD）かつ c＝d より ２ ８ ５ ５ ０ ２ ０ ４ ０ ８ ０ ３ ０ E を BC 間∠BDE＝１ ０° ，F を AB 上∠BEF＝７ ０° で２ ８ ９を用る．AECD（A＝F）円周上 ２ ８ ６ ５ ０ ２ ０ ４ ０ １ ０ ０ ２ ０ CB＝CA＝CD より ２ ８ ７ ５ ０ ２ ０ ７ ０ ３ ０ ８ ０ E を CD の D の延長上で∠ABE＝４ ０° の時２ ６ ２と ABDE は円周上 ２ ８ ８ ５ ０ ２ ０ ７ ０ ７ ０ ５ ０ 直交（AC⊥BD）かつ c＝d より ２ ８ ９ ５ ０ ２ ０ ７ ０ ８ ０ ３ ０ E を DC の C の延長上で∠BAE＝１ ０° の時６ ０と ABED は円周上 ２ ９ ０ ５ ０ ３ ０ ２ ０ １ ０ ０ １ ０ CB＝CA＝CD より ２ ９ １ ５ ０ ３ ０ ３ ０ ８ ０ ２ ０ E を BC 間∠BDE＝１ ０° ，F を AB 延長上∠BEF＝７ ０° で２ ９ ７を用る．AECDF は円周上 Ｍ：】Ｓｅｒｖｅｒ／岐阜聖徳学園大学紀要４２集 教育学部編／本文（横組）／兼山 ／兼山 2004.02.25 14.58.42 Page 19 Langley の問題とその一般化問題の解法 ２ ９ ２ ５ ０ ３ ０ ４ ０ ７ ０ ３ ０ E を BC 間∠BDE＝１ ０° ，F を AB 上∠BEF＝６ ０° で２ ９ ５を用る．AFECD は円周上 ２ ９ ３ ５ ０ ３ ０ ４ ０ １ ０ ０ １ ０ E を BA の A の延長上で∠DCE＝６ ０° の時２ ９ ９と ACDE は円周上 ２ ９ ４ ５ ０ ３ ０ ６ ０ ６ ０ ５ ０ 直交（AC⊥BD）かつ c＝d より ２ ９ ５ ５ ０ ３ ０ ６ ０ ８ ０ ２ ０ E を DC の C の延長上で∠BAE＝１ ０° の時５ ８と ABED は円周上 ２ ９ ６ ５ ０ ３ ０ ７ ０ ４ ０ ８ ０ E を AB の延長で∠CDE＝° で１ １ １，１ ８ ３，２を用る．を用いる ２ ９ ７ ５ ０ ３ ０ ７ ０ ７ ０ ３ ０ E を AB の間で∠DCE＝８ ０° の時２ ９ ５と AECD は円周上 ２ ９ ８ ５ ０ ３ ０ ８ ０ ３ ０ １ ０ ０ E を CD の D の延長上で∠ABE＝４ ０° の時２ ７ ７と ABDE は円周上 ２ ９ ９ ５ ０ ３ ０ ８ ０ ６ ０ ５ ０ ABC が二等辺，E を BD 上で AE⊥BC，AECD が円周上 ３ ０ ０ ５ ０ ５ ０ ２ ０ ８ ０ １ ０ E を AB 上で BD⊥CE とすると AECD は円周上にある ３ ０ １ ５ ０ ５ ０ ４ ０ ６ ０ ３ ０ 直交（AC⊥BD）かつ a＝b より ３ ０ ２ ５ ０ ５ ０ ４ ０ ７ ０ ２ ０ 直交（AC⊥BD）かつ a＝b より ３ ０ ３ ５ ０ ５ ０ ４ ０ ８ ０ １ ０ 直交（AC⊥BD）かつ a＝b より ３ ０ ４ ５ ０ ５ ０ ６ ０ ６ ０ ３ ０ E を AB 上で BD⊥CE とすると AECD は円周上にある ３ ０ ５ ５ ０ ５ ０ ７ ０ ４ ０ １ ０ ０ E を AB の B の延長上で∠CDE＝１ ０° の時８と AECD は円周上 ３ ０ ６ ６ ０ １ ０ ３ ０ １ ２ ０ ２ ０ E を BA の A の延長上で∠DCE＝８ ０° の時３ ０ ８と ACDE は円周上 ３ ０ ７ ６ ０ １ ０ ４ ０ １ ２ ０ ２ ０ CB＝CA＝CD より ３ ０ ８ ６ ０ １ ０ ７ ０ ８ ０ ６ ０ ABC が二等辺，E を BD 上で AE⊥BC，AECD が円周上 ３ ０ ９ ６ ０ １ ０ ８ ０ ８ ０ ６ ０ 直交（AC⊥BD）かつ c＝d より ３ １ ０ ６ ０ ２ ０ ２ ０ １ ２ ０ １ ０ CB＝CA＝CD より ３ １ １ ６ ０ ２ ０ ３ ０ １ ０ ０ ２ ０ E を DC の C の延長上で∠BAE＝３ ０° の時２ １ ２と ABED は円周上 ３ １ ２ ６ ０ ２ ０ ３ ０ １ ２ ０ １ ０ E を BA の A の延長上で∠DCE＝７ ０° の時３ １ ８と ACDE は円周上 ３ １ ３ ６ ０ ２ ０ ５ ０ ８ ０ ４ ０ E を AB の間で∠DCE＝１ ０ ０° の時３ １ １と AECD は円周上 ３ １ ４ ６ ０ ２ ０ ５ ０ １ ０ ０ ２ ０ E を DC の C の延長上で∠BAE＝１ ０° の時７ ２と ABED は円周上 ３ １ ５ ６ ０ ２ ０ ７ ０ ４ ０ ８ ０ E を CD の D の延長上で∠ABE＝５ ０° の時２ ９ ６と ABDE は円周上 ３ １ ６ ６ ０ ２ ０ ７ ０ ７ ０ ６ ０ 直交（AC⊥BD）かつ c＝d より ３ １ ７ ６ ０ ２ ０ ７ ０ ８ ０ ４ ０ E を AB の間で∠DCE＝１ ０ ０° の時３ １ ４と AECD は円周上 ３ １ ８ ６ ０ ２ ０ ８ ０ ７ ０ ６ ０ ABC が二等辺，E を BD 上で AE⊥BC，AECD が円周上 ３ １ ９ ６ ０ ４ ０ ３ ０ ８ ０ ２ ０ E を AB の延長で∠CDE＝° で３ ４，２ ４ ２，２を用る．を用いる ３ ２ ０ ６ ０ ４ ０ ５ ０ ８ ０ ２ ０ E を DC の C の延長上で∠BAE＝１ ０° の時３ ６と ABED は円周上 ３ ２ １ ６ ０ ４ ０ ７ ０ ４ ０ １ ０ ０ E を CD の D の延長上で∠ABE＝５ ０° の時３ ０ ５と ABDE は円周上 ３ ２ ２ ７ ０ １ ０ ２ ０ １ ４ ０ １ ０ CB＝CA＝CD より ３ ２ ３ ７ ０ １ ０ ４ ０ １ １ ０ ３ ０ E を BA の A の延長上で∠DCE＝１ ０ ０° の時３ ２ ４と ACDE は円周上 ３ ２ ４ ７ ０ １ ０ ５ ０ １ ０ ０ ４ ０ E を DC の延長で∠BAE＝１ ０° とし７ ２と３ １ ８を用いる ３ ２ ５ ７ ０ １ ０ ５ ０ １ １ ０ ３ ０ E を DC の C の延長上で∠BAE＝１ ０° の時７ １と ABED は円周上 ３ ２ ６ ７ ０ １ ０ ６ ０ １ ０ ０ ４ ０ E を AB の間で∠DCE＝１ １ ０° の時３ ２ ５と AECD は円周上 ３ ２ ７ ７ ０ １ ０ ８ ０ ８ ０ ７ ０ 直交（AC⊥BD）かつ c＝d より ３ ２ ８ ７ ０ ３ ０ ２ ０ １ １ ０ １ ０ E を BA の A の延長上で∠DCE＝８ ０° の時３ ３ ０と ACDE は円周上 ３ ２ ９ ７ ０ ３ ０ ３ ０ １ １ ０ １ ０ E を DC の延長で∠BAE＝２ ０° とし１ ３ １と３ ４ ３を用いる ３ ３ ０ ７ ０ ３ ０ ５ ０ ８ ０ ４ ０ E を DC の延長で∠BAE＝１ ０° とし３ ６と３ １ ８を用いる ３ ３ １ ７ ０ ３ ０ ６ ０ ６ ０ ７ ０ 直交（AC⊥BD）かつ c＝d より ７ １ Ｍ：】Ｓｅｒｖｅｒ／岐阜聖徳学園大学紀要４２集 教育学部編／本文（横組）／兼山 ７２ ／兼山 2004.02.25 14.58.42 兼 Page 20 山 瓊 典 ３ ３ ２ ７ ０ ３ ０ ６ ０ ８ ０ ４ ０ E を AB の間で∠DCE＝１ １ ０° の時３ ２ ９と AECD は円周上 ３ ３ ３ ７ ０ ４ ０ ２ ０ １ ０ ０ １ ０ E を DC の C の延長上で∠BAE＝２ ０° の時１ ３ ０と ABED は円周上 ３ ３ ４ ７ ０ ４ ０ ３ ０ １ ０ ０ １ ０ E を DC の延長で∠BAE＝２ ０° とし１ １ ０と３ ４ ３を用いる ３ ３ ５ ７ ０ ４ ０ ４ ０ ８ ０ ３ ０ E を AB の間で∠DCE＝１ ０ ０° の時３ ３ ３と AECD は円周上 ３ ３ ６ ７ ０ ４ ０ ５ ０ ８ ０ ３ ０ E を AB の間で∠DCE＝１ ０ ０° の時３ ３ ４と AECD は円周上 ３ ３ ７ ７ ０ ４ ０ ６ ０ ６ ０ ８ ０ E を CD 上で AD⊥BE とすると ABED は円周上にある ３ ３ ８ ８ ０ ２ ０ ３ ０ １ １ ０ ２ ０ E を DC の C の延長上で∠BAE＝２ ０° の時１ ３ １と ABED は円周上 ３ ３ ９ ８ ０ ２ ０ ４ ０ １ ０ ０ ３ ０ E を AB の間で∠DCE＝１ １ ０° の時３ ３ ８と AECD は円周上 ３ ４ ０ ８ ０ ２ ０ ４ ０ １ １ ０ ２ ０ E を DC の C の延長上で∠BAE＝１ ０° の時５ ５と ABED は円周上 ３ ４ １ ８ ０ ２ ０ ５ ０ １ ０ ０ ３ ０ E を AB の間で∠DCE＝１ １ ０° の時３ ４ ０と AECD は円周上 ３ ４ ２ ８ ０ ２ ０ ６ ０ ６ ０ ７ ０ E を CD 上で AD⊥BE とすると ABED は円周上にある ３ ４ ３ ８ ０ ２ ０ ７ ０ ７ ０ ８ ０ 直交（AC⊥BD）かつ c＝d より ３ ４ ４ ８ ０ ３ ０ ３ ０ １ ０ ０ ２ ０ E を DC の C の延長上で∠BAE＝２ ０° の時１ １ ０と ABED は円周上 ３ ４ ５ ８ ０ ３ ０ ４ ０ １ ０ ０ ２ ０ E を DC の C の延長上で∠BAE＝１ ０° の時３ ３と ABED は円周上 ３ ４ ６ ８ ０ ３ ０ ６ ０ ６ ０ ８ ０ 直交（AC⊥BD）かつ c＝d より ３ ４ ７ １ ０ ０ １ ０ ３ ０ １ ３ ０ ２ ０ E を DC の C の延長上で∠BAE＝１ ０° の時５ ３と ABED は円周上 ３ ４ ８ １ ０ ０ １ ０ ４ ０ １ ２ ０ ３ ０ E を AB の間で∠DCE＝１ ３ ０° の時３ ４ ７と AECD は円周上 ３ ４ ９ １ ０ ０ ２ ０ ２ ０ １ ３ ０ １ ０ E を DC の C の延長上で∠BAE＝１ ０° の時５ ２と ABED は円周上 ３ ５ ０ １ ０ ０ ２ ０ ４ ０ １ １ ０ ３ ０ E を AB の間で∠DCE＝１ ３ ０° の時３ ４ ９と AECD は円周上 ３ ５ １ １ ０ ０ ３ ０ ２ ０ １ ２ ０ １ ０ E を DC の C の延長上で∠BAE＝１ ０° の時３ ０と ABED は円周上 ３ ５ ２ １ ０ ０ ３ ０ ３ ０ １ １ ０ ２ ０ E を AB の間で∠DCE＝１ ２ ０° の時３ ５ １と AECD は円周上
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