講義にて配布した資料の抜粋・縮小版です 平成22年度 統計工学 平成22年度 統計工学 構造模型によるデータ構造の理解 • 一元配置データ 平成22年度 統計工学 講義資料（11） A1 A2 x11 x21 x12 x22 Aa xa1 xa 2 一元配置データが無作為に抽出・収集された場合 全部で １つのデータを取るたびに因子Ａの水準を設定し直す x1r x2 r データ構造 X ij i + ij i 1, , a , j 1, , r xij ar 回のデータ収集の無作為化 – – X ij i + j xar A1の j 番目の値における誤差と A2の j 番目の誤差には 何ら共通性がないことに注意！ 要因効果抽出のための分解 ～統計的推論：分散分析Ⅱ～ 1 2 a a 構造模型 X ij i ij i i 制約： 1 2 a 0 i についてはこの制約により a 1 個のデータで決定される ことから，自由度が a 1 となる • 「Ａの水準間で平均値がすべて等しい」という命題は・・・ a i 1 平成22年度 統計工学 平成22年度 統計工学 二元配置分散分析の考え方 【二元配置データ 二元配置データ】 】 • 因子：特性値に影響を及ぼす要因 • – 要因１：因子Ａ（水準数 a） – 要因２：因子Ｂ（水準数 b） A1 A 繰り返し数：r xijk ・・・水準 AiBj における k 番目の観測値 0 (C) Sadami SUZUKI B1 x111 x11r B Bb x1b1 x1br （繰り返しのある） 特性値：収集するデータ（観測値） 2 (C) Sadami SUZUKI 二元配置分散分析 （ Two-way ANOVA ） • i Aa xa11 xa1r バラツキの分解 • （全体の平均からのバラツキ）＝ （因子Ａのバラツキ）＋（因子Ｂのバラツキ） ＋（因子Ａと因子Ｂの組合せによるバラツキ） ＋（残りのバラツキ） xab1 xabr 因子Ａのバラツキ ・・・因子Ａの水準間の違い；因子Ａの主効果 因子Ｂのバラツキ ・・・因子Ｂの水準間の違い；因子Ｂの主効果 因子の組合せによるバラツキ ・・・因子Ａと因子Ｂの組合せによる違い；交互作用 ・・・ある水準の組み合わせ（AiBj）の中で 残りのバラツキ 個々のデータがどれほどバラついているか – 残差，誤差，個人差 (C) Sadami SUZUKI (C) Sadami SUZUKI 平成22年度 統計工学 平成22年度 統計工学 二元配置データにおけるバラツキの分解 • 二元配置データにおけるバラツキの分解 • ２因子を組合わせて考えると・・・ 繰り返しのある二元配置データ B1 二因子を組み合せ因子とした場合 Bb x11r A1 B1 x111 x111 x1b1 A1 B2 x121 x12 r A1 Aa Bb xab1 xabr x11r x1br （総平方和）＝ （因子Ａの主効果平方和）＋（因子Ｂの主効果平方和） ＋（因子Ａと因子Ｂの交互作用平方和） ＋（残差平方和） a b r S T xijk x 2 i 1 j 1 k 1 a b a b a b r br b xi x ar x j x r xij xi x j x xijk xij i 1 2 j 1 2 2 i 1 j 1 2 i 1 j 1 k 1 Se xa11 xab1 Aa 平方和分解 一元配置データと同様の構造に 帰着させることが可能 S T S A S B S A B S e ST S A B S AB SB xa1r xabr SA (C) Sadami SUZUKI (C) Sadami SUZUKI 1 講義にて配布した資料の抜粋・縮小版です 平成22年度 統計工学 平成22年度 統計工学 二元配置分散分析（Two-way ANOVA） 二元配置分散分析（Two-way ANOVA） Ｓｔｅｐ３：検定に用いる統計量の選択とその分布に関する検討 • Ｓｔｅｐ３：検定に用いる統計量の選択とその分布に関する検討 SA Se 考察の対象：残差平方和と比較した各平方和の大きさ・・・ SB Se 【因子Ａの主効果】 S A B Se 【因子Ｂの主効果】 • – FA T abr b 1 – 総平方和の自由度：総サンプル数－１・・・ 総平方和の自由度 – 因子Ａの主効果平方和の自由度：（因子Ａ水準数）－１・・・ 因子Ａの主効果平方和の自由度 – 因子Ｂの主効果平方和の自由度：（因子Ｂ水準数）－１・・・ B 因子Ｂの主効果平方和の自由度 – 因子Ａと因子Ｂの交互作用平方和の自由度・・・ 因子Ａと因子Ｂの交互作用平方和の自由度 – 残差平方和の自由度・・・ 残差平方和の自由度 – A a 1 FB A B A B ( a 1)(b 1) – F A B 2 全データ数 i i 平成22年度 統計工学 平成22年度 統計工学 A での値の和 A でのデータ数 i B での値の和 B でのデータ数 a i 1 b CT r j 1 k 1 a • ijk 2 r x i 1 k 1 ar ijk CT 全部で a x1br x11r b i 1 j 1 ij α に着目して 複数の因子を取り上げた際の要因効果についての整理 【 （例）２つの２水準因子の場合 】 b 【 行平均 】 j 1 b 2 b A1 11 12 A2 21 22 j i 1 ij 単一効果 a ・・・他の因子をある水準に固定したときの効果 – 固定した他の因子の条件に依存した効果 • 因子ＡのＢ1での単一効果 21 - 11 ij i j ij • 因子ＡのＢ2での単一効果 22 - 12 a b 0, j 0, j 1 B1 B2 a 【 列平均 】 ij ２つ以上の要因を同時に取り上げた場合・・・ それぞれの要因効果は単一効果という形のみでは評価不能 i 1, , a, j 1, , b, k 1,, r それぞれの主効果および交互作用なしという命題は・・・ i となる確率 FA B V A B / Ve 平成22年度 統計工学 x12 r A1 B2 x121 a e ab ( r 1) FB V B / Ve 平成22年度 統計工学 X ijk i j ij ijk i 1 T abr 1 A B ( a 1)(b 1) F比（F値） FA V A / Ve (C) Sadami SUZUKI 構造模型 • ST B b 1 平均平方（不偏分散） VA S A / A VB S B / B V A B S A B / A B Ve S e / e (C) Sadami SUZUKI • i ab xabr xa1r A1 B1 x111 x11r 自由度 abr 回のデータ収集の無作為化 ij ij i j A a 1 α i i j j xa11 xab1 SA SB S A B Se 有意水準 で主効果・交互作用の検定を行う X ijk ij + ijk 【 総平均 】 平方和 A B A B e F* Fnm ( ) データ構造 Bb 要因 T 二元配置データが無作為に抽出・収集された場合 二元配置データ xabr Aa Bb xab1 分散分析表の活用 2 br j 1 CT • S e S T S AB – Aa CT ijk S A B S AB S A S B i 1 j 1 k 1 構造模型によるデータ構造の理解 j r k 1 x j r xijk 2 CT CT 2 r i SB b i 1 j 1 b 自由度 (a-1)(b1)(b-1), 1), ab ab((r-1) の F 分布に従う (C) Sadami SUZUKI j 2 x1b1 x111 S A B / A B S e / e (C) Sadami SUZUKI x CT 2 SA S T 個々の値 CT A1 j 2 2 a A B での値の和 A B でのデータ数 2 S AB ２．総平方和の計算 B1 自由度 b-1, ab ab((r-1) の F 分布に従う Ｓｔｅｐ４：検定量を用いて仮説が正しいか否かを判定する ３．各平方和の計算 個々の値 b S B / B S e / e 二元配置分散分析（Two-way ANOVA） １．修正項の計算 a 自由度 a-1, ab ab((r-1) の F 分布に従う 因子Ａと因子Ｂの交互作用 e T A B A B ab ( r 1) a b r xijk i 1 j 1 k 1 abr S A / A S e / e 因子Ｂの主効果 b 1 実際に各平方和を計算するときは，次のようにすると便利である CT 因子Ａの主効果 【因子Ａと因子Ｂの 交互作用】 平方和計算の実際 • 検定量：各主効果，交互作用の平方和と残差平方和をそれぞれの自由度で割った値（平均平方）の比（Ｆ比） 2 i 1 j 1 ij 2 0 (C) Sadami SUZUKI 主効果 ・・・単一効果の他の因子の条件（水準）間での平均 • 因子Ａの主効果 交互作用 21 11 22 12 21 22 11 12 2 2 ・・・単一効果の他の因子の条件（水準）間での違い • 因子ＡとＢの交互作用 21 11 22 12 21 12 11 22 (C) Sadami SUZUKI 2
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