7.自己相関とパワースペクトル • 相関(correlation):たとえば2つの属性 XとYが測定されたとき一般に XとYの関係を相関と呼ぶ • 相関の大小は  ( X - X )(Y - Y ) • X=Y=0のときには,相関度は †XY 自己相関関数とૣ気的推定法 乗算回路 延回路 自己相関係数・関数 • 1 N -1 E [ x] =  xm N m= 0 相対的な相関度 È y ˘ E [ xy ] rx = E Í ˙ = ; Î x˚ E [x 2] È y ˘ E [ xy ] ry = E Í ˙ = , Î x ˚ E[x 2] † • 自己共分散係数 • 自己相関係数・関数:自己共分散係数を正Ӫ化 C ( t, t ) = E [ x(t)x(t + t )] † † N -1 Âx rj = m xm + j m= 0 N -1 Âx m= 0 † = 2 m c(t ) c(0) r= E [ xy ] E[x 2]E[y 2] スペクトルとは? プリズムを通過する太෩光から分Жされた7色 太෩光線は白色光(white):連続変化 各メーカから出された野菜ジュースの成分 複ܚな組織をもつものを単純な成分に分Жし, その成分を,特づけられるある量の大小の順 に並べる • 頻度分布もある種のスペクトル • • • • パワースペクトル • • • 1 N -1 2  xm N m= 0 パワー:2乗 関数の標本値xmの2乗平均 先に示したとおり,これを有限複素フーリエ係数で表すと,パー セヴァルの定理から † N / 2-1 1 N -1 2 N -1 2 2 2 2 x m =  Cn = C0 + 2  Cn + CN / 2  N m= 0 n= 0 n=1 • 通常は,これに波の継続時間T=Nδtを乗じて † N -1 Âx m= 0 • 2 m 2 Dt = T C0 + 2 N / 2-1 ÂT C 2 n + T CN / 2 2 n=1 フーリエ振幅スペクトルと同様の意味を持つ→位相情報を含ま ないことに注意。すなわち,時間ࡃを移動しても不変 † (invariant) 自己相関関数と パワースペクトルの関係 • (自己共分散係数の数列)のフーリエ変換を求めると N -1 1 R j e-i(2 pnj / N )  N j= 0 N -1 N -1 ˘ 1 È -i(2 p 2mn / N ) 1 = ÂÍe  xm xm + j ˙ N m= 0Î N m= 0 ˚ N -1 N -1 N -1 N -1 1 1 =  x m  x m + j e-i(2 pnj / N ) N m= 0 N j= 0 1 1 =  x m  x m + j e-i(2 pn(m + j )/ N ) e-i(2 p (- n )m / N ) N m= 0 N j= 0 N -1 N -1+m 1 1 =  x m e-i(2 p (-n )m / N ) x m + j e-i(2 pn(m + j )/ N )  N m= 0 N m + j= m = C-n Cn = Cn • 2 自己共分散のフーリエ変換は平均パワーの各成分に対応している。 † • 自己共分散係数は平均パワーのフーリエ逆変換 N -1 2 i2 pnj / N R j =  Cn e n= 0 • T=NDTを一定に保ったまま,N->∞にすると † • Ú T /2 -T / 2 x(t)x(t + t )dt これの積分範囲を拡張すると † • 1 R(t ) = T R(t ) = 1 T Ú これをフーリエ変換すると † • -• x(t)x(t + t )dt • • Ú-• R(t )e -iwt 1 • = Ú x(t) T -• [Ú 1 = Ú x(t)[ Ú T • -• dt = • -• È1 Ú ÍÎT -• ˘ -iwt x(t)x(t + t )dt Ú-• ˙˚e dt • ] x(t + t )e-iwt dt dt ] • -i(t +t ) iwt x(t + t )e d t e dt -• • 1 • 1 1 2 iwt = Ú x(t)[ F(w )]e dt = F(w ) Ú x(t)e iwt dt = F(w )F(-w ) = F(w ) T -• T T -• G(w ) = Ú • -iwt R( t )e dt -• 1 • iwt R(t ) = G( w )e dw Ú -• 2p 1 2 G(w ) = F(w ) T † • :パワースペクトル :自己相関関数 パワースペクトル(G(ω)):パワースペクトル密度関数ともۗう)と 自己相関関数(R(τ))はお互いにフーリエ変換の対をなしている。 † 相互相関関数 • • • 2つ以上の時系列データがある(例えば,入力と出力) 2つの不֩則変動,x(t),y(t)の相関性を調べる. まずは,相互相関関数 Cxy (t ) = E [ x(t)y(t + t )] • 次に,相互相関係数 † † Rxy (t ) = E [ x(t)y(t + t )] E [ x(t) 2 ] E [ y(t) 2 ] クロススペクトル • 自己相関⇔パワースペクトル • 相互相関⇔クロススペクトル 相互相関とクロススペクトル • x(t)とy(t)の相関性を調べる。 • 相互相関の性ࡐ • 相互相関はそれぞれの変動の2乗平均値をѠえない。 • 相関を有する2つの時系列の例を挙げよ。 • 入力地震動と建物の応答 • 降а量と流出量 • 栄養の量(t)とCO2発生量(t) クロススペクトル • 自己相関関数とパワースペクトルの関 係のように,クロスでも: G(w ) = • Ú-• R(t )e -iwt dt 1 • iwt G( w )e dw Ú -• 2p 1 2 G(w ) = F(w ) T R(t ) = † † Sxy (w ) = Ú • -iwt R ( t )e dt -• xy 1 • iwt S ( w )e dw Ú xy -• 2p 1 -iq (w ) Sxy (w ) = x(w ) y(w ) e xy , T Rxy (t ) = q xy (w ) = q x (w ) - q y (w ) クロススペクトルの性ޑ Sxy (-w ) = Syx (w ) * Sxy (-w ) = Sxy (w ) * Sxy (w ) = Syx (w ) † 回転フーリエス成 分スペクトル iq x (w ) X( w ) = X( w ) e • X(w),Y(w)をベクトル表示してみる まず x(t) = = Ú Ú • -• iwt X(w )e dw = R [Ú • -• X(w )e iwt dw • ] † X(w )cos(wt + q x (w )) dw -• Yについても同様であるので † X * (w )Y (w ) = X (w ) e-iq x (w ) Y (w ) e † -iq y (w ) = X (w ) Y (w ) e -iq xy (w ) 2p 2p -iq w * Sxy (w ) = E [ X (w )Y (w )] = E X (w ) Y (w ) e xy ( ) T T [ ] コスペクトルとクオドスペクトル Sxy (w ) = K xy (w ) - iQxy (w ) 2 Sxy (w ) = K xy (w ) + Qxy (w ) 2 宿題 † K xy (w ) = K xy (-w ) Qxy (w ) = -Qxy (-w ) † :偶関数 :奇関数 コヒーレンスとフェイズ • クロススペクトルは複素数であるので,不便 • 実(コヒーレンス)とײ(フェイズ)とで表現 • コヒーレンス 2つの信号のフーリエ周波数成分の相互相関係数 2 coh (w ) = Sxy (w ) 2 Sxx (w ) Syy (w ) 2 = 2 K xy (w ) + Qxy (w ) Sxx (w ) Syy (w ) • フェイズ 2つの変動の時間ૺれを表す。 † Ê Q (w ) ˆ q xy (w ) = tan ÁÁ xy ˜˜ Ë K xy (w ) ¯ -1 tw = q xy (w ) w 確率密度スペクトル • 時間波形 • ゼロークロス法,ピーク法:波の周期 性に着目 • 確率密度分布:波の振幅に着目 – スクリーンを通過した光の濃淡
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