セル・オートマトンセル・オートマトン（cellular automata）の一例として

環境シミュレーション
セル・オートマトン
セル・オートマトン（cellular automata）の一例
として，ここではイギリスの科学者スティーブン・
ウォルフラムが開発したセル・オートマトンの一次
元モデルを紹介する（ウォルフラムは数学ソフト
"Mathematica"の作者としても名高い）．
１）4 行以下のシートには実際には「1」または「0」
の数値が入っている．これを[セルの書式設定][ユー
ザ定義]を用いて「[青][=1]"●";[=0]"";G/標準」と指
定したものである．また全ての列幅を 4 mm に統一
している．
ウォルフラムのセル・オートマトンは，一つひと
つのセルの白黒が，そのセルの上段の三つのセル
（真上，右上，左上）の状態（白黒）のみによって
規定されるという単純なものである．しかし，規則
の設定次第では，フラクタル図形を描く不思議なオ
ートマトン(自動機械)である．
２）プログラムとしては先ず A1 セルであるが，こ
こは 10 進法で 0 から 255 を入力する場所になって
いる．これは，セルが白黒（このプログラムでは青
●か空欄）のいずれかになるかのルールの組合せが，
256 通りあることに対応している．256 通りとなる
理由は，上段三つのセルの白黒の組み合わせが
2x2x2 = 8 通りであり，それぞれの組合せにおいて
下のセルが白黒のいずれかとなる 2 通りがあるので，
ルールとしては全部で 28 = 256 通りとなるのであ
る．
スピンボタン
ちなみに上図は[表示][ズーム]倍率指定 10%とし
たもので，これを通常の 100%で見ると下図のよう
になっている．
３）B1:I1 には下表のような式が入っている．この
B1:I1 は A1 の値を 2 進法で表したものである．
下セル○か●か
右上
真上
左上
- 11 -
環境シミュレーション
B1
C1
D1
E1
F1
G1
H1
I1
=INT(A1/2^7)
=INT((A1-2^7*B1)/2^6)
=INT((A1-2^7*B1-2^6*C1)/2^5)
=INT((A1-2^7*B1-2^6*C1-2^5*D1)/2^4)
=INT((A1-2^7*B1-2^6*C1-2^5*D1-2^4*E1)/2^3)
=INT((A1-2^7*B1-2^6*C1-2^5*D1-2^4*E1-2^3*F1)/2^2)
=INT((A1-2^7*B1-2^6*C1-2^5*D1-2^4*E1-2^3*F1-2^2*G1)/2)
=A1-2^7*B1-2^6*C1-2^5*D1-2^4*E1-2^3*F1-2^2*G1-2*H1
「=INT()」は Excel 関数で，()内の
数の小数点以下を切り捨て整数を
返す機能をもつ
４）つづいて 4 行（A4:IO4）（ここでの IO4 はア
イ・オー・4）には「1」または「0」の値が 50%ず
つの確率でランダムに入っている．設定方法として
は先ず A4:IO4 の全てのセルに
「=INT(RAND()+0.5)」を入力，これで「1」また
は「0」のランダムな数値を発生する．しかしこの
ままでは，シートの再計算のたびにこの範囲の値が
変化するため，それを防ぐために，A4:IO4 をすべ
てコピーし，同じ場所に[形式を選択して貼り付
け][値]でペーストする．
こでは，スピンボタンを設定する．スピンボタンを
利用すれば，マウスクリックで A1 の値を変化させ
ることが可能となる．
５）つづいて B5 に
を選択．｢＋｣字
ツールバーからスピンボタン
カーソルが画面に現れるので，これをドラッグして
スピンボタンの場所と大きさを確定する．じゃまに
ならないよう，画面右下角がいいだろう．次に，ス
ピンボタンを右クリック，現れるメニューから[コン
トロールの書式設定]を選択．
スピンボタンの挿入には，[表示][ツールバー]から
[フォーム]を選ぶ．すると画面に下のようなフォー
ムのツールバーが現れる（縦横長はドラッグで自由
に変更できる）．
=IF(A4=1,IF(B4=1,IF(C4=1,$B$1,$C$1),IF(C4=1,
$D$1,$E$1)),IF(B4=1,IF(C4=1,$F$1,$G$1),IF(C4
=1,$H$1,$I$1)))
の式を入力する．この式は上段三つのセルの白黒の
組み合わせ 8 通りのそれぞれにおいて下のセルが
「1」となるか「0」となるかのルールを B1:I1 の
1/0 で指定したもの．あとは，この式を全範囲
（A5:IO274）にコピーしてやればよい．注意：少
しでもファイルサイズを小さくするために，倍率
10%ズームで画面上で見えるセル範囲（A5:IO274）
だけに限定している．
ただし，A 列と最後の IO 列については注意が必
要である．なぜなら A 列なら左上のセルが，IO 列
なら右上のセルに値がないからである．このため例
えば A5 には
=IF(IO4=1,IF(A4=1,IF(B4=1,$B$1,$C$1),IF(B4=1
,$D$1,$E$1)),IF(A4=1,IF(B4=1,$F$1,$G$1),IF(B4
=1,$H$1,$I$1)))
IO5 には
=IF(IN4=1,IF(IO4=1,IF(A4=1,$B$1,$C$1),IF(A4=
1,$D$1,$E$1)),IF(IO4=1,IF(A4=1,$F$1,$G$1),IF(
A4=1,$H$1,$I$1)))
[コントロール]タブで最小値 0，最大値 255，変化
の増分 1，リンクするセルとして「A1」を指定して
完成である．
の式を入れ，これらの式をそれぞれ A 列と IO 列の
最後の行までコピーしてやる．上記の 2 式が意味す
るところは，A 列なら最後の IO 列 1 行前のセルを
左上のセルとして，IO 列なら最初の A 列 1 行前の
セルを右上のセルと見なすということである．した
がって，画面上は平面に見えるが，A 列と IO 列が
つながった円筒になっていると考えればよい．
ちなみにこのスピンボタンは，A1 に手入力した
値から開始することも可能である．
６）基本的には５）までのステップでセル・オート
マトンは完成である．A1 に 0-255 の値を代入すれ
ば，描画の変化を見ることができる．ただし，いち
いち A1 に値を入力するのは手間である．そこでこ
- 12 -
環境シミュレーション
回数を n としたならば，その 2 つの回数の比率はど
うなるだろう．もし N が十分大きければ，この N 対
n の比は，正方形の面積 1 と 4 分の 1 円の面積 π / 4
との比に，ほぼ等しくなると予想される．
３．モンテカルロで乾 π(かんぱい)
ここでは，モンテカルロ法と呼ばれているシミュ
レーション手法によって円周率 π を求めてみる．
先ずは，題名｢モンテカルロで乾 π｣についてであ
るが，もともと｢乾｣という文字は｢高い空(天)｣を意
味するものであった(通常，われわれが｢乾｣の字から
思い浮かべる｢乾かす｣の意は，高く空に掲げて干す
から転じたもの)．これに地を意味する｢坤｣をつなげ
れば｢乾坤(けんこん)｣となる．よく聞く｢乾坤一擲
(けんこんいってき)｣とは，天地を賭けてサイコロを
ふること(要するに，一か八かの大勝負にでること)．
モンテカルロ法とは，サイコロをふって答えを見つ
けるような方法だから｢乾 π｣とシャレてみた．(庄
野真代の唄った｢モンテカルロで乾杯｣を知らない
人は，お父さんか，お母さんに聞いてみよう．)
近代シミュレーションは，J.von Neumann(ゲー
ム理論でも出てきたノイマン)と S.M.Ulam の両名
が水爆の研究開発の中で，物質中における中性子の
拡散現象をモンテカルロ法によってコンピュータ
で模擬したことに発すると言われている．高速にラ
ンダムな方向へ飛び回る中性子の動きをコンピュ
ータ内で乱数を使って数値的に再現しようとした
のである(大気汚染の拡散シミュレーションに用い
られているランダムウォークモデルもランダムな
方向へ飛び回っている汚染物質の運動をモンテカ
ルロ法で再現しようとしたもの)．
N: n ≅1:
π
4
上式を変形すれば， π ≅ 4n N となり， π は 4n N
で近似できることがわかる．直感的にもわかるよう
に，この近似は N が大きければ大きいほど，その精
度が増す．
シミュレーション･プログラムの作り方
ここではモンテカルロ法による π 計算を 3 種類
の方法で試みる．これら 3 種類に，今後の授業で用
いる基本的な Excel VBA のテクニックがすべて含
まれているので十分に習熟してほしい．
(1) Excel 関数だけを用いた方法
先ず下図が Excel 関数のみを用いて，モンテカル
ロ法（100 回の試行）によって円周率 π を求めて
みたワークシート(1)である．
このようにコンピュータ内で乱数を発生させる
ことによって確率現象を模擬して，もとの現象を解
明しようとするシミュレーション手法を，乱数を用
いることから，カジノで有名なモナコの都市モンテ
カルロから名をとって｢モンテカルロ･シミュレー
ション｣と呼ぶ(もともと，このノイマンらのプロジ
ェクトが最高軍事機密であったことから，軍内部で
の隠語としてそう呼ばれていたようである)．以前は，
シミュレーションといえばモンテカルロ･シミュレ
ーションを指す時代もあった．
A1:E5 を拡大すると下のようになる．
では，モンテカルロ法による π の求めかたを見
てみよう．先ずは，下図のように，半径 1 の 4 分の
1 円と，その 4 分の 1 円を囲む一辺 1 の正方形を考
えてみる．
それぞれのセルに入っている式は下表のとおり．
B3
C3
D3
B5
C5
D5
E5
もしこの図の上にランダムな点 ( x, y ) を打ち，そ
の点が正方形の中に入る回数を N ，さらにその内で
4 分の 1 円の中に入る，すなわち x 2 + y 2 ≤ 1 となる
- 13 -
=COUNT(B4:B104)
=COUNT(C4:C104)
=4*C3/B3
=RAND()
=IF(B5^2+E5^2<=1,E5,"")
=IF(B5^2+E5^2>1,E5,"")
=RAND()
環境シミュレーション
また，A5:A104 には 1 から 100 までの通し番号
が，B6:E104 には，B5:E5 をコピー・ペーストした
式が入っている．
ここで B5 と E5 は RAND 関数を用いて 2 つの乱
数（0－1 の一様乱数）を発生させているセルであ
る．それぞれが x と y に相当する．つぎに C5 では，
x 2 + y 2 （B5^2+E5^2）を計算して，もし（IF）
x 2 + y 2 ≤ 1（B5^2+E5^2<=1）ならば y の乱数（E5）
を，そうでなければ空の文字列「""」を，また D5
では逆に x 2 + y 2 > 1 （B5^2+E5^2>1）ならば y の
乱数（E5）を，そうでなければ空の文字列「""」を
打ち出す．
B3 と C3 は Excel の COUNT 関数を用いて，括
弧内に指定した B4:B104 と C4:C104 の範囲にある
数値の個数をそれぞれカウントしている．例示され
ている B3 の 100 と C3 の 82 は，N =100 組の ( x, y )
を生成させたところ x 2 + y 2 ≤ 1 となったものが n =
下図のような系列設定になっていることを確認
する．もしそうなっていない場合は，系列の削除と
追加を使って，2 つの系列を下図のように指定する．
82 組あったことを表す．
最後に D3 の「=4*C3/B3」は，π の近似値とし
て 4n N を求めたものである．例では 3.28 となって
いる．
次に乱数で生成した ( x, y ) の点をグラフ上に描い
てみる．
1) B4:D104 を指定して，グラフウィザード
をク
リック，ウィザード画面で「散布図」を指定する．
出来上がったグラフでは x2 + y2 ≤1 の点と
x 2 + y 2 > 1 の点が色分けされて表示されるはずであ
る．
(2) Sub プロシージャを用いた方法
つぎに 2 つ目の方法として下図が Sub プロシージ
ャという VBA プログラムを用いて，モンテカルロ
法で円周率 π を求めてみたワークシート(2)である．
コマンドボタン
[次へ]をクリックして，[系列]タブへ．
- 14 -
環境シミュレーション
シート上の「スタート」と書かれたコマンドボタ
ンをクリックすると，VBA プログラムが起動しワ
ークシート上に 3000 組の乱数 ( x, y ) を発生させ，
グラフにプロットするとともに，ワークシート(1)
と同様に D3 セルで π を計算するようになっている．
作成方法としては，先ず前掲のワークシート(1)
のコピーを作成する．作成方法はシート(1)を開き
[編集][シートの移動またはコピー]を選び，[コピー
を作成する]のチェックボックスをして[OK]ボタ
ンを押す．
続いて Sub プロシージャ（VBA プログラム）を
書き込むための，モジュールシートを挿入する．
モジュールの挿入
Sub プロシージャや後述する Function プロシー
ジャ（両者をあわせて VBA プログラムと呼ぶ）を
作成するためには，モジュールと呼ばれるシートが
必要である．モジュールを挿入するには，先ず[ツー
ル]から[マクロ]，[Visual Basic Editor]を選ぶ．（注
意：Excel 2003 以降では VBA プログラムを使用す
るために，モジュールの挿入の前にセキュリティレ
ベルの設定変更が必要となる．そのためには 1)新し
いブックを開く，2)[ツール][マクロ][セキュリティ]
を選び，セキュリティレベルを「中」に設定，3)そ
の後，Excel を一旦終了して，再起動する，4)マク
ロの有効無効を聞いてくるので，[マクロを有効にす
る]をクリックする．これで VBA が使用可能とな
る．）
実は先ほどのオプション設定の意味は，この文頭
の一行をモジュールシートに自動的に挿入するた
めのものであった．この｢Option Explicit｣の意味は，
もし，そのシートに書かれるプログラム中に，デー
タ型を宣言していない変数が使われた場合には，必
ずそのことをエラーとして警告するように，という
ものである(データ型宣言の意味については，また後
述する)．ここでは簡単に，変数のデータ型を一つ一
つ明示しておいたほうが，プログラムのエラーが見
つけやすくなる，とだけ言っておこう．
モジュールシートにプログラムを書いてゆく前
に，もう一つだけ設定をしておこう．[表示][ツール
バー]から[デバッグ]をする．これによって下図の
ようなツールバーが画面上に現れる．
[Visual Basic Editor]を選ぶと下の画面のような
[Visual Basic]編集画面が現れる．
このツールバーは，VBA プログラムを作成する
際に便利な機能をツールボタンとしてまとめたも
ここでモジュールシートを挿入する前に，若干の
オマジナイをしておく．それは，[ツール][オプショ
ン]の[編集]で[変数の宣言を強制する]のチェックボ
ックスをしておくことだ．この設定の意味は後述
する．編集画面でさらに[挿入]から[標準モジュール]
を選ぶと，文頭に｢Option Explicit｣と書かれた白紙
のシート（モジュールシート）が現れる．（またこ
こで[挿入]から[ユーザーフォーム]を選ぶと後述す
るフォーム画面が現れる．）
（F8 キー）を使え
のである．特にステップイン
ば，プログラムを 1 行 1 行実行させることができる．
Excel 2003 以降では，途中，変数にマウスカーソル
を合わせるだけでその変数の保持している値がウ
ォッチできるので便利である．また，このツールバ
ーは，ウィンドウ内のどこにでも移動させることが
できる．
さてツールバーの用意までできたところで，モジ
ュールシートに以下の文字列を一字一句間違えず
に打ち込んでいこう．ちなみに VBA では，大文字
小文字の区別は原則としてない．ただし，モジュー
ルの編集機能として，最初に使用した用法に合わせ
て，大文字小文字を自動的に修正する機能がある．
- 15 -
環境シミュレーション
Sub pi_dot()
Dim i As Integer
Dim x, y As Double
Range("A5:E3004").Clear
For i = 1 To 3000
Cells(4 + i, 1) = i
x = Rnd: y = Rnd
'[0,1]の一様乱数を返す
Cells(4 + i, 2) = x
If x ^ 2 + y ^ 2 <= 1 Then
Cells(4 + i, 3) = y
Else
Cells(4 + i, 4) = y
End If
ActiveSheet.Calculate
Next i
最後にボタンの名称をクリックして「スタート」
と書き直せば完成である．ちなみに一度作成したコ
マンドボタンを編集するためには，先ず<Ctrl キー>
を押しながらそのボタンをクリックして選択して
やる．また登録マクロの変更にはボタンを右クリッ
クして[マクロの登録]を選択してやる．
End Sub
以上の一連の文が pi_dot と名づけた Sub プロシ
ージャである．Sub プロシージャの基本的構文は以
下のようになっている．Sub 名称...End Sub．
なお Sub プロシージャの起動自体はワークシー
トの[ツール][マクロ][マクロ]で実行可能なマクロ
（プロシージャ）一覧がでるので，そこから pi_dot
を選択，[実行]ボタンをクリックしてやればよい．
Sub pi_dot()
...
End Sub
[Visual Basic Editor]に戻って，Sub プロシージ
ャ pi_dot を１行ずつ見ていこう．
ここでは｢pi_dot｣がこの Sub プロシージャの名
称である．Sub プロシージャは，引数を名称の後ろ
の()の中にとることもできるが，ここでは取ってい
ない．Sub プロシージャと，後述する Function プ
ロシージャとの違いは，後者が値を返すのに対して
前者は値を返さない点にある．また，Sub プロシー
ジャだけは，Excel のシートからマクロとして呼び
出せる特徴を持っている（ただし，Sub プロシージャ
も引数をとると，マクロとして呼び出せなくなる）．シ
ート上の｢スタート｣コマンドボタンをクリックす
ると，この｢pi_dot｣がマクロとして起動することに
なる．
Dim i As Integer
Dim x, y As Double
最初にプログラムの冒頭に現れる｢Dim｣につい
て説明する．これは変数のデータ型を宣言し，型に
応じたメモリ領域を変数に割り当てるための宣言
ステートメント(命令)である．ここでは i を整数
（Integer），x と y を倍精度浮動小数点数型（Double）
と宣言している．これらのデータ型の違いの意味は
後述する．TIPS:モジュールの中では，調べたい文字に
カーソルを置き，[F1]キーを押せば，ヘルプ画面が現れ，
それらの説明文を見ることができる．
コマンドボタンへのマクロの登録
本来なら Sub プロシージャを完成させてから，コ
マンドボタンへマクロ登録するのであるが，ここで
は最初に登録方法を説明しておこう．コマンドボタ
ンを描画するためには先ず，ワークシートに戻り，
[表示][ツールバー]から[フォーム]を選択，ツールバ
ーからボタン
を選択する．すると｢＋｣字カーソ
ルが画面に現れるので，これをドラッグしてコマン
ドボタンの場所と大きさを確定する．ここで[マクロ
の登録]ダイアログボックスが現れ，起動できるマク
ロの一覧がでてくるので，｢pi_dot｣という Sub プロ
シージャを選択する．これによってボタンに
｢pi_dot｣がリンクされたことになる．
Range("A5:E3004").Clear
続く上記の１行はワークシートの A5:E3004 の範
囲（Range）をクリアするための命令文である．
For i = 1 To 3000 Step 1
...
Next i
本文中の上記の部分は，VBA によるフロー制御
ステートメント(For...Next ステートメント)である．
- 16 -
環境シミュレーション
ここでは，変数 i が 1 から 3000 までの間(For)，そ
の下のステートメント群を処理し，Next 行に到達
したら，次(Next)の i で処理を繰り返す．For...Next
ステートメントで囲まれる部分は，プログラムを見
やすくするために，インデントすることが推奨され
ている．
上ステートメントは，ランダムな点 ( x, y ) が半径
1 の 4 分の 1 円内にあるかどうかを判断している．
もし（if）(x ^ 2 + y ^ 2)が 1 より小さか，あるいは
等しければ(<= 1)(4 分の 1 円内ならば)，その場合
(Then)は，4+i 行 3 列のセルに先ほど生成した乱数
y を打ち出す．もしそうでなければ（Else）（4 分
の 1 円外ならば）4+i 行 4 列のセルに y を打ち出す．
ちなみに VBA におけるべき乗演算には｢^｣(ハット
マーク)をつかう．
「Step」は繰り返す際，変数 i の増加の幅を指定す
る．ただし，1 の場合（Step 1）は省略可能である．
If ステートメントの終了を宣言するのが「End
if」である．
Cells(4 + i, 1) = i
続く Cells は VBA の関数で，現在開いているワ
ークシート上のセルに値を打ち出すためのコマン
ドである．この例では，4+i 行 1 列のセルに i を打
ち出すことになる．
ActiveSheet.Calculate
ワークシート上の計算をやり直し，グラフを描き
直すための VBA コマンドである．このコマンドが
ないと，Sub プロシージャがすべて終了してからで
ないとグラフは描き直されない．
x = Rnd: y = Rnd
'[0,1]の一様乱数を返す
End Sub
次に｢x = Rnd: y = Rnd｣についてである．先ず行
中の｢:｣は，本来は 2 行に書かれるべきプログラムが
1 行に詰め込まれていることを示している．TIPS：
Sub プロシージャの終了を示す．
VBA は固定フォーマット言語で，ひとつのステートメン
トは 1 行で完結しなければならない．もし複数行に渡る場
合には｢_｣(アンダースコア)を用い，複数ステートメント
を 1 行に納めるためには｢:｣(コロン)を用いる．
ちなみに，以上の Sub プロシージャは，ワークシ
ート(1)において手作業で行ったことを再現してい
るにすぎない．2 つの乱数 ( x, y ) を発生させて， x
その下の 1 行はコメント(注釈)行である．｢'｣は，
それ以下の行末までの文がコメント文であること
を示す．コメント文はプログラムの実行時に無視さ
れる．
ここで Rnd は Rnd 関数と呼ばれ，0 以上 1 未満
の範囲で一様乱数値を返す VBA 関数である．先に
出てきた RAND 関数(RAND())は，機能はまったく
同じであるが Excel 関数であり，Excel 関数は，モ
ジュールシート内で，そのままでは使用できないの
で注意が必要である．
の乱数をワークシート B 列に打ち出し， x 2 + y 2 ≤ 1
ならば y の乱数を C 列に，x 2 + y 2 > 1 ならば D 列に
打ち出している．
最後にシート(1)の 100 回の試行をシート(2)で
3000 回に増やしたことによる修正を施す．
1) B3 と C3 の COUNT 関数の指定範囲をそれぞ
れ「B4:B3004」と「C4:C3004」に変更する．
2) グラフを右クリック，[元のデータ]で[データ範
囲 ] を「 ='(2)'!$B$4:$D$3004 」， [ 系列 ]
「 x^2+y^2<=1 」の「 x の値」を
「 ='(2)'!$B$5:$B$3004 」「 y の値」を
「='(2)'!$C$5:$C$3004」に，[系列]「>1」の「x
の値」を「='(2)'!$B$5:$B$3004」「y の値」を
「='(2)'!$D$5:$D$3004」に変更する．
すなわち，ここでは Rnd 関数によって ( x, y ) を生
成している．
Cells(4 + i, 2) = x
ただし例に示されるように 3000 回の試行でも π
の近似値は 3.121333 とまだ理論値 3.141593...との
間には開きが見られる．より多くの試行回数が必要
のようであるが，ワークシート上に値を打ち出すこ
の方法には限界がある．一般のワークシートの行数
は 65536 が限界であり，またこれだけの数値を発生
させると Excel ファイルが大きくなりすぎてしまう．
そこで次には Function プロシージャを用いた方法
を試してみる．
続く行は，Cells によって 4+i 行 2 列のセルに先
ほど生成した乱数 x を打ち出している．
次に If...Then...Else ステートメントについて述
べる．
If x ^ 2 + y ^ 2 <= 1 Then
Cells(4 + i, 3) = y
Else
Cells(4 + i, 4) = y
End If
(3) Function プロシージャを用いた方法
- 17 -
環境シミュレーション
下図が Function プロシージャ（ユーザ定義関
数）という VBA プログラムを用いて，モンテカル
ロ法で円周率 π を求めてみたワークシート(3)であ
る．このシートでは，異なる回数 N に対して，
Function プロシージャによって π の近似値を求め，
N と近似値の関係をグラフ化している．ちなみに図
の中央付近にある(E10)の値は，PI 関数(Excel 関数
「=PI()」)で求めた π の値である． N の値が大き
くなるに連れて，4n N の値が π の理論値に近づい
ている様子がわかる．
試行回数 N )を渡し，π の近似値( 4n N )を演算結果
として返させようとしているのである．ただし，こ
こでの pi_cal という関数は，Excel に初めから定義
(用意)されていた関数ではない．これはユーザ定義
関数（Function プロシージャ）と呼ばれ，このシ
ミュレーションのために定義・作成した関数である．
この関数（Function プロシージャ）は，Sub プ
ロシージャと同じく，モジュールシート上で定義さ
れる．1 つのモジュールシート上に複数の Sub プロ
シージャや Function プロシージャを定義すること
ができる．
モジュールシートに以下の文字列を一字一句間
違えずに打ち込んでいこう．
ではこのシートの作成方法を順に説明していこう．
Function pi_cal(n As Long)
Dim ni, i As Long
Dim x, y As Double
ni = 0
Randomize
'乱数ジェネレータを初期化(乱数系列を再設定)する数値
'演算ステートメント
For i = 1 To n
x = Rnd: y = Rnd '[0,1)の一様乱数を返す
If x ^ 2 + y ^ 2 <= 1 Then ni = ni + 1
Next i
pi_cal = ni / n * 4
End Function
以上の一連の文が VBA によって書かれたユーザ
定義関数 pi_cal である．
オブジェクトの挿入
シートの左上に挿入された図は，ペイント
(Windows にアクセサリとして付いてくる簡単なお
絵描きソフト)で描いたものである．Excel のシート
上でペイントの絵を新規に作成するためには，[挿
入][オブジェクト][ビットマップイメージ]を選ぶ．
挿入された図は，ダブルクリックすることによって
いつでも編集可能であり，図のサイズも，図の 4 辺
および 4 角にある小さな黒いボックスをドラッグす
ることで変更可能である(ペイントによる作画の方
法は省略する)．
ユーザ定義関数のプログラミングの基本は次の
ように，Function...(...)で始まり，End Function で
終わるサンドウィッチ構文である．
Function sample(x,y)
...
sample=...
...
End Function
上の例は，名前が sample の Function プロシー
ジャで，引数として x と y を取り，返り値として
｢sample=｣以下の値を返す関数となっている．いっ
たんこの形で関数をモジュール内で定義すれば，あ
とは通常のシートのセルに数式
｢=sample(A1,1.22)｣のように入力するだけである
(モジュール内の他のプロシージャからこの関数を呼び出
すことも可能である)．
罫線
表中の縦横 2 本の罫線は，[セルの書式設定]の[罫
線]タブで設定したもの．
ユーザ定義関数
さて π の近似値が示されている最も肝心な
E4:E8 について説明しよう．サンプルプログラムの
これらのセルには，例えば E4 になら，
では 1 行 1 行見ていく．
=pi_cal(D4)
Function pi_cal(n As Long)
という数式が入っている．要するに，pi_cal という
関数に引数として，その数式左側のセルの値(D4：
ユーザ定義関数 pi_cal の 1 行目は pi_cal(n As
Long)から始まる．これは pi_cal が引数として変数
- 18 -
環境シミュレーション
n を取り，そのデータ型が長整数型（Long）である
と宣言したものである．ここで長整数型にした理由
は，pi_cal の引数(ここでは，ランダム試行回数 N )
が最大で 1,000,000 を取るのに対して，整数型
（Integer）の記憶領域サイズは 2 バイトで，値と
して-32,768～32,767 までしか使用できないからで
ある．一方，長整数型なら 4 バイトまで割り当てら
れており，-2,147,483,648～2,147,483,647 の整数を
表わすことが可能である．
( x, y ) の原点からの距離の 2 乗(x ^ 2 + y ^ 2)がも
し(If)1 より小さか，あるいは等しければ(<= 1)(半径
1 の 4 分の 1 円の中ならば)，その場合(Then)は，変
数 ni に 1 を加えて(ni + 1)，それを変数 ni に再び代
入する(つまり ni を 1 つ増やす)，というものである．
これによって 4 分の 1 円の中に入る ( x, y ) の数をカ
ウントしている．
pi_cal = ni / n * 4
Dim ni, i As Long
最終的には pi_cal = ni / n * 4 として，ni(4 分円の
中に入る回数を n )を n(正方形の中に入る回数 N )
で割ったものに 4 を掛け(すなわち 4n N )，その結
Dim x, y As Double
プログラムの 2-3 行は変数型宣言文である．ここ
では ni と i を長整数型（Long）に，x と y を倍精
度浮動小数点数型（Double）と宣言している．ちな
みにここで変数 ni は，4 分の 1 円の中に入る回数 n
を表す．
果をこの関数の返り値(すなわち π の近似値)として
返す．
このようにユーザ定義関数では必ずその返り値
を｢関数名=...｣の形で定義しておかなければならな
い．
ni = 0
グラフの作成
ワークシート(3)のような表がいったん完成す
れば，後は，結果をグラフ化するだけである．作
成の手順は先ず，1)グラフ化するデータの範囲
4 行目の｢ni = 0｣は，変数 ni を 0 で初期化したも
のである．
(D3:E8)を指定し，[グラフウィザード]ボタン
をクリックする．2)グラフの種類から[標準][折れ
線]を選ぶ．3)後はウィザードの指示に従ってその
他のオプションを設定するだけである．ちなみに
シート（３）のグラフは x 軸を対数目盛とし，x
軸が y 軸と 3.141593 で交差するように指定してい
る．
Randomize
次に Randomize とだけ書かれた一行は，
Randomize ステートメントと呼ばれ，その下で使
われている乱数ジェネレータ(Rnd)を初期化(乱数
系列を再設定)するための数値演算ステートメント
である．
For i = 1 To n
...
Next i
続く上記の部分は，For...Next ステートメントで
ある．ここでは，For と Next に囲まれたステート
メント群を引数の n 回繰り返す．
x = Rnd: y = Rnd
次の｢x = Rnd: y = Rnd｣は先の例と全く同じであ
る．ここで Rnd 関数で一辺 1 の正方形内にランダ
ムな点 ( x, y ) を生成している．
If x ^ 2 + y ^ 2 <= 1 Then ni = ni + 1
続く If ステートメントも，やや簡略形ではあるが，
やっていることは先の例とそれほど変わらない．点
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環境シミュレーション
RAND()関数の応用例１
RAND 関数自体は 0-1 の一様乱数を生成するが，
これを利用して正規分布データを生成することも
できる．下記がワークシート上で生成した例である．
セル上に
=SQRT(-2*LN(RAND()))*COS(2*PI()* RAND())
偏差 1 の正規分布データであるが，この関数を σ 倍
して， x を加えてやれば，平均 x ，標準偏差 σ の
正規分布データとなる．
ページ下のヒストグラムは[ツール][分析ツール]
から[ヒストグラム]を選んで描いた．なお[分析ツー
ル]で[乱数発生]を選べば，同様に正規分布の乱数や
一様乱数を発生することができる．
ただし分析ツールを使用するためには，Excel を
フルインストールしていること，アドインによる分
析ツール使用の設定が必要である．
と入力すればよい．
ちなみにこの関数で生成されるのは平均 0，標準
RAND()を使った正規分布データの発生
"=SQRT(-2*LN(RAND()))*COS(2*PI()*RAND())"
28
-0.14491
29
1.150287
30
-0.79687
31
1.601563
32
-0.60391
33
0.498597
1
-0.99881
2
0.257725
3
-0.62075
-3.5
0
34
-0.77858
4
1.393733
-2.5
2
35
1.093049
5
1.322116
-1.5
6
36
0.752229
6
-0.81586
-0.5
25
7
-0.93269
0.5
38
98
-2.09073
8
0.63843
1.5
21
99
-0.74471
9
0.349568
2.5
8
100
0.966562
10
0.261899
3.5
0
11
1.288906 次の級
12
-0.49166
13
0.318864
14
-0.17804
15
0.076804
16
0.146498
17
0.42808
18
-0.61577
19
1.642217
20
-1.00306
21
0.45726
22
-0.25134
23
-0.67187
24
1.191922
25
0.872832
26
-3.04242
27
-0.2946
データ区間
頻度
0
- 20 -
環境シミュレーション
RAND()関数の応用例２（乱数を使った確率計算）
理論解：
男女が同数の学校において，任意の８人の男女を
選んで，横一列に並ばせた．この時，ある男子生徒
の両脇が女子生徒となる確率は？男を 0，女を１
とおく．
A
7
8
1
B
C
D
E
F
G
H
I
1
2
3
4
5
6
7
8
0
0
0
1
1
0
1
1
1
1
⋅ 6 ⋅ = 0.09375
8
8
=INT(RAND()+0.5)
9
2
1
1
0
1
1
0
1
1
10
3
1
0
1
1
1
1
0
1
105
98
0
0
1
0
0
1
0
0
106
99
1
0
0
1
1
1
0
1
107
100
0
1
1
1
1
0
0
1
Q
K
L
M
N
O
P
7
2
3
4
5
6
7
8
0
0
0
0
1
0
1
=SUM(K8:P8)
=IF(C8=0,IF(B8+D8=2,1,0),0)
9
0
1
0
0
1
0
2
10
1
0
0
0
0
1
2
105
0
0
0
0
0
0
0
106
0
0
0
0
0
1
1
107
0
0
0
0
0
0
0
84=SUM(Q8:Q107)
0.105=Q108/800
参考図書
「Excel で学ぶ理工系シミュレーション入門」CQ 出版社（2003）
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環境シミュレーション
今回登場した Excel 関数
・COUNT 関数
・PI 関数
今回登場した VBA 関数
・Rnd 関数
課題
次のいずれかの課題を実施して次週までに提出
せよ．定期試験には，このうち 1 問を出題する．
１） Excel 関数を使って，サイコロを投げて出る目
をシミュレートせよ（ヒント：「=RAND()*6」
で 0 から 6 の一様乱数を生成できる）．次に 3
つのサイコロを投げて出た目を a，b，c とする
とき i)積 abc が偶数である確率を求めよ（答え
7/8），ii)(a-b)(b-c)(c-a)=0 である確率を求めよ
（答え 4/9）（類岐阜経大）
２） Excel 関数を使って，3/5 の確率で 1，2/5 の確
率で 0 となる事象をシミュレートせよ．次にセ
ルの書式設定で 1 なら赤い「●」，0 なら「○」
と表示するようにせよ．以上を踏まえて，次の
問題に答えよ．袋の中に赤球 6 個，白球 4 個が
入っている．この袋から任意に 2 球を取り出す
とき，その 2 球が同じ色である確率を求めよ．
（答え 7/15）
３）センター試験において英語と歴史の平均値と
標準偏差がそれぞれ 60±40 点，65±35 点のと
き，両科目の合計点が 180 点を超える人の割合
を求めよ．ただし両科目とも 100 点満点とす
る．（約 9%）
４）以下の課題のプログラムを完成させて，ワーク
シート（グラフを含む）と Sub プロシージャ
をプリントアウトしたものを提出せよ．問題
y = sin x の曲線と x 軸で囲まれる面積
（ 0 ≤ x ≤ π ）を Sub プロシージャを使ったモ
ンテカルロ法でもとめよ．（答え 2）
５）以下の課題のプログラムを完成させて，ワーク
シート（グラフを含む）と Sub プロシージャ
をプリントアウトしたものを提出せよ．問題
y = cos x の曲線と x 軸で囲まれる面積
（ 0 ≤ x ≤ π 2 ）を Sub プロシージャを使った
モンテカルロ法でもとめよ．（答え 2）
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