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物質中のMaxwell方程式と光の屈折の法則について

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物質中の Maxwell 方程式と光の屈折の法則について
7.3.3 Maxwell’s Equations
真空中の電磁場 E, B に対する Maxwell 方程式は以下で与えられる.
1
∇ · E = ρ (Gauss の法則)
ϵ0
(1)
∇·B=0
(2)
∂B
∇×E=−
(Faraday の法則)
∂t
(3)
∂E
∇ × B = µ0 J + µ0 ϵ 0
(Maxwell の補正を受けた Ampère の法則) (4)
∂t
1
7.3.5 Maxwell’s Equations in Matter
∇ · D = ρf (物質中の Gauss の法則)
(5)
∇·B=0
(6)
∇×E=−
∂B
(Faraday の法則)
∂t
∂D
∇ × H = Jf +
∂t
(Maxwell の補正を受けた物質中の Ampère の法則)
(7)
(8)
D = ϵ0 E + P
1
H= B−M
µ0
2
• D, H と E, B の関係は物質に依存する.しかし,単純な物質の場合(線形物質の場
合),D = ϵE, H = µ1 B で与えられる.ϵ, µ はそれぞれ物質に固有の量でそれぞれ
誘電率,透磁率と呼ばれる.
• このような単純な場合は Maxwell 方程式は真空中の場合と同じ形になる.
1
∇ · E = ρf (Gauss の法則)
ϵ
∇·B=0
∇×E=−
(9)
(10)
∂B
(Faraday の法則)
∂t
(11)
∂E
∇ × B = µJf + µϵ
(Maxwell の補正を受けた Ampère の法則) (12)
∂t
3
真空中の電磁波(Griffiths 9.2 Electromagnetic Waves in Vacuum)
• ρ = 0, J = 0 のとき,Faraday の法則と Ampère の法則の rotation をとると
(
)
∂B
2
∇ × (∇ × E) = ∇(∇ · E) − ∇ E = ∇ × −
∂t
∂
∂ 2E
= − (∇ × B) = −µ0ϵ0 2
∂t
∂t
(13)
(
)
∂E
∇ × (∇ × B) = ∇(∇ · B) − ∇2B = ∇ × µ0ϵ0
∂t
∂
∂ 2B
= µ0ϵ0 (∇ × E) = −µ0ϵ0 2
∂t
∂t
(14)
• ∇ · E = 0, ∇ · B = 0 より
1 ∂ 2E
∇ E= 2 2,
c ∂t
2
1 ∂ 2B
∇ B= 2 2,
c ∂t
2
1
c =
µ0 ϵ 0
2
(15)
このような方程式は波動方程式とよばれる.
4
平面電磁波
• 電磁場 E, B に対する波動方程式 (15) は,以下の形の解を持つ.
E(r, t) = a sin(k · r − ωt − α)
(16)
B(r, t) = b sin(k · r − ωt − α)
(17)
k は波動ベクトルとよばれる.(17) 式を (15) 式に代入すると
∇2E = −k 2E, ∇2B = −k 2B
ω2
1 ∂ 2B
ω2
1 ∂ 2E
= − 2 E, 2 2 = − 2 B
2
2
c ∂t
c)
( c ∂t 2 ) c
(
ω
ω2
2
2
− k − 2 E = 0, − k − 2 B = 0
c
c
(18)
(19)
(20)
よって角振動数 ω と波数 k の間には ω = ck の関係がある.
• 時刻 t を固定したとき ϕ(r, t) = 定数 を満足する点 r の集まりを波面とよぶ.(16),(17)
は波動ベクトル k に垂直な波面をもつ平面波である.
5
• 平面波の波面は速さ c で k の方向に動く.真空中における c の値を計算すると
c =
√
1
= (8.854 × 10−12 × 1.257 × 10−6)−1/2
ϵ 0 µ0
= 2.998 × 108m · s−1= 真空中の光速に一致!
⇒ 光は電磁波の一種である!
(21)
Figure 1: 平面波の波面と波動ベクトル
6
電磁波の偏り
• Maxwell 方程式より ∇ · E = 0, ∇ · B = 0 である.これより
k · E = 0, k · B = 0
(22)
である.これは,光が横波(transverse wave)つまり,進行方向に垂直な方向に振
動することを示す.
(これに対して,音波のように波の進行方向に平行に振動する波
を縦波(longitudinal wave)とよぶ.
)電場の振動方向(定ベクトル a の方向)を偏
り(polarization)とよぶ.
• Faraday の法則より,(16) 式に対応する磁場は
1
∂B
⇒ B(r, t) = k × E(r, t)
∇×E=−
∂t
ω
(23)
で与えられる.よって,B は k にも E にも垂直である.
7
Figure 2: 平面電磁波の電場と磁場.進行方向は x 軸方向(k∥x̂).偏極方向は y 軸方向
(E∥ŷ).
波動方程式の線形性
• 簡単のため,電磁場 E, B の成分の一つに注目し,ϕ(r, t) = ϕ(x, y, z, t) と記すことに
すると,ϕ は波動方程式 ∇2ϕ = (1/c2)(∂ 2ϕ/∂t2) に従う.この波動方程式は線形であ
る.つまり,ϕ1, ϕ2 が解なら a1, a2 を定数として線形結合 a1ϕ1 + a2ϕ2 もやはり解に
なる.これは,微分演算子が以下のような線形性を持つからである.
∂
∂
∂
(a1ϕ1 + a2ϕ2) = a1 ϕ1 + a2 ϕ2
∂x
∂x
∂x
(24)
8
光の反射・屈折の法則(Griffiths 9.3.3 Reflection and Transimission at
Oblique Incidence
• xy 平面を境界として x < 0 が空気,x > 0 が水とする.空気中および水中の光速度を
それぞれ c1, c2 とする.
1 ∂ 2E
1 ∂ 2B
2
空気中の波動方程式: ∇ E = 2 2 , ∇ B = 2 2
c1 ∂t
c1 ∂t
(25)
1 ∂ 2E
1 ∂ 2B
2
水中の波動方程式: ∇ E = 2 2 , ∇ B = 2 2
c2 ∂t
c2 ∂t
(26)
2
2
• 空気中に入射波 EI , BI ,反射波 ER, BR が存在し,水中に屈折波(または透過波)
ET , BT が存在すると仮定する.いずれも単色平面波とする.
Ei(r, t) = E0i sin(ki · r − ωt − α), (i = I, R, T )
Bi(r, t) =
1
(k̂i × E0i) sin(ki · r − ωt − α), (cI = cR = c1, cT = c2)
ci
(27)
(28)
9
• 空気中の波 E1 = EI + ER は (25) を満足し,水中の波 E2 = ET は (26) を満足する.
これより
kI c2 = kRc1 = kT c2 = ω,
または kI = kR =
c2
n1
kT = kT
c1
n2
(29)
Figure 3: kI :入射波,kR:反射波,kR:屈折波.
10
• 異なる媒質間の境界で電磁場が満たすべき境界条件は,Griffiths 9.3.1 より
(i) ϵ1E1⊥ = ϵ2E2⊥,
(ii)
B1⊥
=
B2⊥,
∥
∥
(iii) E1 = E2
(iv)
∥
1
B
µ1 1
=
∥
1
B
µ2 2
(30)
• この境界条件が成立するためには
kIx = kRx = kT x, kIy = kRy = kT y
(31)
である必要がある(詳しくは電磁気学3,または光学の授業で習うはず).
• 波動ベクトルの大きさについては (29) 式が成り立っている.これより入射角 θI と反
射角 θR は等しく,屈折角 θT については
sin θI
c1 n2
=
=
= n12
sin θT
c2 n1
がえられる(スネルの法則).ここで n12 は空気に対する水の屈折率である.実験事
実 θ > θ′′ を説明するためには c1 > c2 と仮定することが必要である.
11
Figure 4: 波動の反射・屈折.kIx = kRx = kT x, c1kI = c1kR = c2kT .
12
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