物理数学 C（練習問題 No.3)

物理数学 C（練習問題 No.3)
出題：２０１３年１月８日（火）
〆切：２０１３年１月１１日 (金) 授業開始前
1.(1) 周期 2π の周期関数
{
(1) f (x) =
0
1
(0 ≤ |x| < π/2)
(π/2 ≤ |x| < π)
のフーリエ級数展開を求めよ。
(2) 得られたフーリエ級数展開にパーシバルの等式を適用して得られる公式を求めよ。
2. 抵抗（抵抗値 R) とコンデンサ（容量 C) を直列に繋いだ回路（RC 回路）の両端に
x(t) = at (0 ≤ t < 2π),
x(t + 2π) = x(t)
という電圧がかけられた。定常状態でのコンデンサの端子間の電圧 y(t)（定常出力波形と
呼ぶ）を求めよ。
3. eikt が入力されたとき、H(k)eikt が出力される線形システムがある。このシステムに周
期 2π の x(t) を入力した時に出力 y(t) は y(t) = x ∗ h(t) となることを示せ。ただし、
∞
∑
h(t) =
H(k)eikt
k=−∞
であり、合成績（たたみこみ）∗ は以下で定義される。
1 ∫π
f ∗ g(x) =
f (y)g(x − y)d y
2π −π
4. 周期 2π の周期関数
f (x) =

x+π


−



1−







x









x−π


 −
1−
(−π ≤ x < −π)
(−π ≤ x < π)
(π ≤ x < π)
のフーリエ級数展開を用いて、次の等式を示せ。ただし、0 < < 1 とする。
∞
∑
sin2 nπ
n=1
n2
=
(1 − ) 2
π .
2

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