§３．数値微分［第 5 回］ 3.1 差分表示による数値微分ニュートンの補間多項式より ∆f0 ∆2 f0 (x − x 0 ) + (x − x 0 )(x − x 1 ) h 2h 2 ∆3 f0 + (x − x 0 )(x − x 1 )(x − x 2 ) 6h 3 ! f (x ) = f0 + + (3.1) ∆n f0 (x − x 0 )(x − x 1 )"(x − x n −1 ) + " n !hn x = x 0 の点における f (x ) の微分は f ′(x 0 ) = ∆f0 ∆2 f0 ∆3 f0 + − + x x ( ) (x 0 − x 1 )(x 0 − x 2 ) 0 1 h 2h 2 6h 3 ∆n f0 +"+ (x 0 − x 1 )"(x 0 − x n −1 ) + " n !hn (3.2) ここで x 0 − x 1 = −h (x 0 − x 1 )(x 0 − x 2 ) = (−h )(−2h ) = 2h 2 ! (x 0 − x 1 )"(x 0 − x n −1 ) = (−1)n −1(n − 1)! h n −1 である． ∴ f ′(x 0 ) =  1 1 2 1 3 n −1 1 ∆n f0 + " ∆f0 − ∆ f0 + ∆ f0 − "(−1) h  2 3 n  ただし ∆f0 = f1 − f0 ∆2 f0 = f2 − 2 f1 + f0 ∆3 f0 = f3 − 3 f2 + 3 f1 − f0 ∆4 f0 = f4 − 4 f3 + 6 f2 − 4 f1 + f0 ! 1 (3.3) 2 項までとると f ′(x 0 ) ≅ 1 (−3 f0 + 4 f1 − f2 ) 2h 3 項までとると f ′(x 0 ) ≅ 1 (−11f0 + 18 f1 − 9 f2 + 2 f3 ) 6h 高階微分は f ′′(x 0 ) =  1 2 11 5 137 6 ∆ f0 − ∆3 f0 + ∆4 f0 − ∆5 f0 + ∆ f0 − " 2   h  12 6 180 (3.4)  1  3 3 7 15 ∆ f0 − ∆4 f0 + ∆5 f0 − ∆6 f0 + " 3   h  2 4 8 (3.5)  1  4 17 ∆ f0 − 2∆5 f0 + ∆6 f0 − " 4   h  6 (3.6) f ′′′(x 0 ) = f (4)(x 0 ) = （例１）下の表を用いて f ′(1), i xi fi 0 1.0 8.0 1 1.5 13.75 2 2.0 21.00 3 2.5 29.75 (x 0 = 1) を求めよ．（解） 1 (−11f0 + 18 f1 − 9 f2 + 2 f3 ) 6h 1 = (−11 × 8.00 + 18 × 13.75 − 9 × 21.00 + 2 × 29.75) 6 × 0.5 = 10.00 f ′(x 0 ) ≅ 3.2 補間公式を用いる微分ラグランジュの補間公式： n P (x ) = ∑ f (x k )Lk (x ) Lk (x ) = k =0 n m =0 m ≠k = x − xm k − xm ∏x (3.7) (x − x 0 )"(x − x k −1 )(x − x k +1 )"(x − x n ) (x k − x 0 )"(x k − x k −1 )(x k − x k +1 )"(x k − x n ) 2 n P ′(x ) = ∑ f (x k )Lk′(x ) (3.8) k =0 n P ′′(x ) = ∑ f (x k )Lk′′(x ) (3.9) k =0 （例２） n = 2 の微分公式を求めよ（解） P (x ) = f0 (x − x 1 )(x − x 2 ) (x − x 0 )(x − x 2 ) (x − x 0 )(x − x 1 ) + f1 + f2 (x 0 − x 1 )(x 0 − x 2 ) (x 1 − x 0 )(x 1 − x 2 ) (x 2 − x 0 )(x 2 − x 1 ) 2x − x 1 − x 2 2x − x 0 − x 2 2x − x 0 − x 1 + f1 + f2 (x 0 − x 1 )(x 0 − x 2 ) (x 1 − x 0 )(x 1 − x 2 ) (x 2 − x 0 )(x 2 − x 1 ) =−3h =−2h =−h #$$$$$$ $ % #$$$$$$ $ % #$$$$$$ $ % 2x 0 − x 1 − x 2 2x 0 − x 0 − x 2 2x 0 − x 0 − x 1 P ′(x 0 ) = f0 + f1 + f2 (&$$$ x 0 − x$ )( x − x ) ( x − x )( x − x ) (&$$$$ x 2 − x' x 2 − x$ 1 0 2 1 0 1 2 0 )( 1) ' &$$$$ ' &$$$$ ' &$$$$ ' &$$$ ' P ′(x ) = f0 =−h =−2h =h =−h =2h =h =−h =0 =h #$$$$$$ % #$$$$$$ $ % #$$$$$$ % 2x 1 − x 1 − x 2 2x 1 − x 0 − x 2 2x 1 − x 0 − x 1 P ′(x 1 ) = f0 + f1 + f2 (&$$$ x 0 − x$ )( x − x ) ( x − x )( x − x ) (&$$$$ x 2 − x' x 2 − x$ 1 &$$$$ 0 2 1 0 &$$$ 1 2 0 )( 1) ' ' &$$$ $ ' $ ' &$$$ ' =−h =−2h =h =−h =h 2h #$$$$$$% #$$$$$$$ % #$$$$$$$ % 2x 2 − x 1 − x 2 2x 2 − x 0 − x 2 2x 2 − x 0 − x 1 P ′(x 2 ) = f0 + f1 + f2 (&$$$ x 0 − x$ )( x − x ) ( x − x )( x − x ) (&$$$$ x 2 − x' x 2 − x$ 1 0 2 1 0 1 2 0 )( 1) ' &$$$$ ' &$$$$ ' &$$$$ ' &$$$ ' =h =−h =2h =−2h =h = 3h =−h =2h =h h = x 1 − x 0 = x 2 − x 1 の場合（上式参照）． P ′(x 0 ) = f0 −3 2 −1 1 + f1 + f2 = (−3 f0 + 4 f1 − f2 ) 2h h 2h 2h P ′(x 1 ) = f0 P ′(x 2 ) = f0 −1 1 1 + f1 ⋅ 0 + f2 = (−f0 + f2 ) 2h 2h 2h 1 −2 3 1 + f1 + f2 = ( f0 − 4 f1 + 3 f2 ) 2h h 2h 2h ［テスト５］ニュートン法により 2 階微分の 4 点公式を求めよ．そして（例１）の表を用いて f ′′(1) を計算せよ．［答］ f ′′(x 0 ) ≅ 1 (2 f0 − 5 f1 + 4 f2 − f3 ) h2 f ′′(1) ≅ 6 3