議会制へのシャープレイ・シュービック指数の応用
- 政権の安定性および選挙区の影響力について Applications of the Shapley-Shubik index to parliamentary systems
- Stability of a government and influence of an electoral district 制度設計理論 (経済学) プログラム
11M43187 菅野竜太 指導教員 武藤 滋夫
Economics Program
Ryuta SUGANO
Adviser
Shigeo MUTO
Abstract
This thesis describes stability of a government and influence of a electoral district. In the first half of the thesis,
I use a Governability Index proposed by Fragnelli(2009) and a modified Governability Index to measure stability
of a coalition government. And, this thesis analyzes the National Diet of 1990 - 2011 using the two indices. In the
last half of the thesis, it proposes a method for evaluating a difference between voters and apportionment of Diet
seats using a Shapley-Shubik index and analyzes Tokyo Metropolitan Assembly.
1
本研究の背景と目的
本研究の前半部分では、政権の安定性について投票力指
数を用いて分析する。2012 年 12 月 16 日に第 46 回衆議院
議員総選挙が行われた。選挙の結果、自由民主党単独で 294
議席を獲得し第一党に返り咲いた。そして自由民主党単独
で衆議院の過半数を超え、自由民主党と公明党の連立政権
を樹立することで衆議院で 3 分の 2 を越える議席数を獲得
し再可決の要件を満たした。しかしながら、衆議院で再可決
ができても必ずしも議会運営が円滑にいく訳ではない。例
えば、2009 年の福田内閣が再可決要件を満たしていたにも
かかわらず総辞職をしたのは、こうしたことが一因と言わ
れている。また、1992 年の細川内閣誕生以降、日本ではそ
のほぼすべての政権が連立政権であった。本研究の前半部
分の目的はこうした連立政権の Governability を指数化し
て、それが社会に与える影響を分析することである。
議会の評価に関する論文として Fragnelli (2009) がある。
この論文では、投票力指数を用いて Representativeness と
いう得票率と議席配分の関係を表す指数と、Governability
という政権の安定性を表す指数を提案した。そして、与えら
れた得票率に対してどのような議席配分が望ましいかを提案
された指数を用いて考察した。本研究においては、Fragnelli
(2009) で提案された Governability Index を基にして望ま
しいと思われる性質を満たすようにそれを修正する。そし
て、それと元の Governability Index を用いて日本の議会の
Governability を分析する。
後半部分においては選挙区の影響力について投票力指数
を用いて分析する。平成 21 年 8 月 30 日に行われた衆議院
議員総選挙における一票の格差に対して、最高裁判所は違
憲状態との判断を下した。また、参議院についても、平成
21 年 7 月 11 日に行われた参議院議員通常選挙の一票の格
差について、各地の高等裁判所で違憲判決や違憲状態判決
が下されている。本研究では選挙区の有権者数と定数配分
の差について分析する。したがって、本研究の後半部分の
目的は、ゲーム理論を用いて選挙区の影響力を分析し、望
ましい選挙区の定数配分について考えることである。本研
究では、モデルの適合度を考え東京都議会の定数配分につ
いて考察する。
2
投票力指数
様々な局面で意思決定のために投票は用いられるが、そ
の際、各投票者が投票結果にどれくらいの影響力を持って
いるかは単純にはわかりにくい。例えば、a,b,c の３人が投
票をする時、a が４票、b が３票、c が２票を持っていて、
５票を獲得すると議案が通るとする。この時、３人の内２
人の票が入れば５票に達することがわかる。つまり、この
３人の投票においては、各人の票数の違いはあるが、議案
を通すという面に限れば、投票結果に与える影響力は変わ
らないと考えられる。投票において各投票者の影響力は、
常に持っている票数に比例するとは限らない。このように、
投票において、見た目だけではわかりにくいような各投票
者の影響力を表すことを可能とするものが、投票力指数で
ある。
2.1
ピヴォット
投票ゲームでは、特性関数形ゲーム (N, v) において任意
の提携 S の特性関数の値が 0 または 1 になる。提携 S に
属するプレイヤー全員が投票した賛成票だけで法案が可決
される (v(S) = 1) とき、提携 S を勝利提携と呼び、提携
S に属するプレイヤーの賛成票だけでは法案が否決される
(v(S) = 0) ときの提携 S のことを敗北提携と呼ぶ。今、提
携 S が敗北提携である状況を考える。このとき、投票者 i
が加わることにより、提携は S から S ∪ {i} になる。この
とき、提携 S ∪ {i} が勝利提携になったとすると、投票者 で過半数を超えたとき、勝利提携となる。よって特性関数
i は敗北提携 S を勝利提携 S ∪ {i} に変える力を持った投 は以下のようになる。
票者ということになる。そのような投票者 i をピヴォットと
{
∑
∑
∑
∑
1 if i∈S xi > 12 i∈N xi , i∈S yi > 12 i∈N yi
呼ぶ。
v(S) =
0 otherwise
2.2
シャープレイ・シュービック指数
3.2
Governability Index の定義
投票者の集合 N = {1, 2, 3, ..., n} の順列は n! 個存在する
が、これらの順列がすべて等確率で起こると仮定した時の
本研究では、Fragnelli (2009) によって定義されたもの
各投票者がピヴォットになる期待値を、各投票者のシャープ 一部変更し、政権の安定性を示す指数を以下のように定義
レイ・シュービック指数と呼ぶ。投票者 i のシャープレイ・ する。
∑
∑
シュービック指数を φi と表すと、シャープレイ・シュー
gΩ =
Ωi (S) −
Ωi (S\{i})
ビック指数は
i∈S
i∈S
このとき、S を政権与党の集合、Ωi (S) を提携構造が連立政
権の集合と各政党それぞれの集合からなるときのオーウェ
ϕi =
ン指数とする。つまり、Ωi (S) のときの提携構造は KS =
S⊆N \{i}
{S, {i1 }, · · · , {in−s }} となり、Ωi (S\{i}) のときの提携構造
と定義される。ただし s は集合 S の要素の数を、n は集合 は KS\{i} = {S\{i}, {i}, {i1 }, · · · , {in−s }} となる。ただ
N の要素の数を表している。以後、これを SS 指数と呼ぶ。 し、s = |S| である。政党 i が連立政権 S にいたときと、S
から逸脱したときの影響力の違いは Ωi (S) − Ωi (S\{i}) で
表すことができる。これは、政党 i の連立政権からの非逸
2.3 オーウェン指数
脱傾向として解釈できる。結果的に、この傾向が高ければ
オーウェン指数は、提携構造がある場合の投票力指数と 高いほど、政権の安定性が高まると考えられる。そして、連
して、Owen が考案したもので SS 指数を応用した概念であ 立政権 S に所属するプレイヤーすべてに関して、非逸脱傾
る。K = {T1 , T2 , ..., Tk } を提携構造としたとき、提携 Tj 向の和をとることで, Governability Index が得られる。こ
の Governability Index を GI と呼び、その値を GI 値と呼
に属する投票者 i の オーウェン指数は
ぶことにする。
∑
Ωi (K) =
s!(n − s − 1)!
[v(S ∪ {i}) − v(S)],
n!
∑
∑
H⊆K,Tj ∈H
/ S⊆Tj ,i∈S
/
h!(k − s − 1)!s!(tj − s − 1)!
k!tj !
3.3
[v(H ∪ S ∪ {i}) − v(H ∪ S)],
と定義される。ただし、h は集合 |H| の要素の数を、k は
集合 |K| の要素の数を、tj は集合 |Tj | の要素の数を表して
いる。
この指数は、連立政権を組んだ政党はブロックとして行
動するという制約のもとで、すべての全体提携形成を考え
た場合にピヴォットになる回数をすべての全体提携の形成
パターンで割ったものである。
3
3.1
GI の計算結果と考察
1990 年から 2011 年までの GI 値を計算し、図 1 に示す。
各年の GI 値はその年の通常国会の開始時の議席配分をも
とにしている。また、計算機の都合上無所属議員は衆議院、
参議院ともにそれぞれ一つのグループとして扱っている。
連立政権の安定性
二院制ゲーム
国会は衆議院と参議院の二院から成り立つ。憲法 56 条と
59 条により、法案成立のためには衆議院、参議院両方で出
席議員の過半数が賛成するか衆議院で出席議員の 3 分の 2
以上の多数で可決しなければならない。しかしながら、再
可決をするとき法案成立までにかなりの時間がかかること
や野党や国民から批判を浴び国会運営に師匠をきたすこと
が予想される。そのため、本研究では再可決ルールを考え
ずに以下のような二院制ゲームを考える。
各政党 i は二つの重み (xi , yi ) を持つ。それぞれは衆議院
と参議院の議席数に対応している。衆議院と参議院の両方
図 1: 1990 年から 2011 年までの GI 値の変遷
GI 値では、1995 年や 1996 年の自社さ政権のとき高い数値
をとる。これは自由民主党と日本社会党が両党とも両院で
過半数ではなく、また連立政権を組むことにより両院で過
半数を越えるという持ちつ持たれつの関係になっているた
め連立政権にいる場合と出た場合のオーウェン指数の差が
大きいためと考えられる。逆に、自公政権のときのように、
一つの大きい政党と少数政党が連立政権を組んでいる場合
あまり高い値はとらない。これは、内閣総理大臣から見る
と政権基盤の中に大きな政党がいるとその政党に従わなけ
ればならず、政府の意見が通りにくいという状況であるこ
とを示している。したがって、GI 値は政府と政党が対立し
ていることを前提としたときの連立政権の安定性と解釈で
きる。
3.4
修正 Governability Index
前節では Fragnelli(2009) による GI 値を用いて日本の議
会を分析した。この指数では一つの政党で両院過半数である
単独で政権を握っている、いわば一党独裁状態のとき Governability Index は 0 となり最大とならない。本節では、政
府と総理大臣を輩出している政党が協調している場合も考え
る。したがって、本研究では以下のような修正 Governability
Index を提案する。
∑
∑
gΩ =
Ωi (S) −
Ωi (S\{i})
i∈S
i∈S\{a}
ここで、a は内閣総理大臣を輩出している政党である。|S| =
1 のとき、二項目は 0 とする。今後この Governability Index
を修正 GI と呼ぶ。
事実 1. 一つの党の議員数が両院の過半数を越えていて、か
つその政党の単独政権のとき、修正 Governability Index の
値は 1 となり最大値をとる.
以下の分析ではこの修正 GI を用いて分析を行う。
3.5
にも非自民政権のとき、GI 値は低い値を示し閣法の成立数
も低い値となっている。以上のように、閣法の成立件数と
修正 GI 値の間にはある程度の傾向が見いだせる。そして、
Governability の欠如が法案の成立数を減らすということが
わかった。
また、第 46 回衆議院総選挙後の安倍政権の修正 GI 値は
0.636 であり、ねじれ第一期とねじれ第二期の中間の水準と
なっている。そのため安倍政権の回次平均の法律成立数や
国会運営の困難さも福田内閣などのねじれ第一期よりは良
く、宮澤内閣などのねじれ第二期よりかは難しいと予想さ
れる。
平均修正 GI 値
閣法成立件数
ねじれ 1
0.789
30.5
非自民
0.116
28
自民連立第一期
0.743
34.9
自民連立第二期
0.938
45.12
ねじれ 2
0.529
22.1
表 3.1: 平均修正 GI 値と閣法の回次平均の成立数との比較
4
4.1
選挙区の影響力
東京都議会
本研究では、東京都議会における各選挙区の影響力を分
析する。東京都議会の議員定数は 127 で、42 の中小の選挙
区から選ばれる。そしてこの選挙区のほとんどが行政区画
になっている。一部、人口が少ない場所については合区と
よばれる近隣の行政区画と合わせた選挙区が作られている。
東京都議会のすべての議員が中小の選挙区から選ばれるこ
とから、すべての議員を選挙区ごとにグループ分けするこ
とができる。
修正 GI の計算結果と考察
修正 GI の値を用いて 1990 年から 2011 年まで国会につ
いて計算しその結果を以下の表 2 に記載する。なお、GI 値
のときと同様に各年の Governability Index は通常国会開始
時の議員数を基にしている。
4.2
4.2.1
モデル
重み付き多数決ゲーム
投票ゲームの中で、各投票者がそれぞれ何票かの票をも
ちその多数決によって決定が行われるものを、重みつき多
数決ゲームという。投票者の集合を N = {1, 2, ..., n} とし
投票者 i がもつ票数を wi 、投票に勝つために必要な票数を
q とするとき、重みつき多数決ゲームは、
{q; w1 , w2 , · · · , wn }
と表される。ただし、w1 , w2 , · · · , wn および q はすべて正
の整数としておく。wi を投票者 i の重み、q を必要票数と
呼ぶ。
図 2: 1990 年から 2011 年までの修正 GI 値の変遷
1990 年から 1993 年までをねじれ第一期、1994 年を非自民
政権、1995 年から 1998 年を自民連立政権第一期、1999 年
から 2006 年を自民連立政権第二期、2008 年と 2009 年を
ねじれ第二期と区分けする。内閣提出法案の成立件数と期
間ごとの修正 Governability Index を比較すると表 3.1 のよ
うになる。修正 GI 値が最も高い自民連立政権第二期のと
き、その法案成立件数も最大となっている。また、ねじれ
国会のときでもねじれ第一期とねじれ第二期では修正 GI 値
が異なり、それに伴い法案成立件数も同様の値を示す。他
4.2.2
定数配分に基づいたモデル
地域に密着した議題における各選挙区の影響力を考える。
選挙区ごとに議員が行動すると仮定する。したがって、プ
レイヤーを選挙区とし各プレイヤーの重みを議員数とする。
選挙区の集合を N = {1, 2, ..., 42} とし、wi を選挙区 i の議
員数とする。したがって、東京都議会の必要票数は 64 議席
であるので以下のような重み付き多数決ゲームで表すこと
ができる。
{64; w1 , w2 , · · · , w42 }
また、このゲームにおける選挙区 i のシャープレイ・シュー 莫大な計算量になってしまうので、近似プログラムを用い
ビック指数を ϕi とする。このとき、これは与えられた議席 た。現在の定数配分と各方式の定数配分について評価基準
配分における選挙区 i の議会における影響力と解釈できる。 1、評価基準 2 を用いて比較したものを表 4.1 に示す。ただ
し、基準 1 に関しては 104 倍、基準 2 に関しては 103 倍し
た値である。
4.2.3 有権者数に基づいたモデル
東京の全有権者が参加する直接議会を考える。そして、
各有権者は選挙区ごとにグループを組み行動するとする。
そのため、プレイヤーは選挙区とする。その重みは各選挙
区の有権者数と考え、選挙区の集合を N = {1, 2, ..., 42} と
し、w̄i を選挙区 i の有権者数とする。直接議会の必要票数
は 10469729/2 = 5234864.5 より、5234865 人であるので以
下のような重みつき多数決ゲームで表すことができる。
{5234865; w¯1 , w¯2 , w¯3 , · · · , w¯42 }
このゲームにおける選挙区 i のシャープレイ・シュービック
指数を ϕ̄i とすると、これは選挙区ごとのあるべき影響力と
解釈できる。
4.3
定数配分問題と評価基準
現在の総定数 127 は変えないとし、選挙区の区割りも変
更しないとする。そして各選挙区への定数配分のみを変更
することを考える。本研究においては既知の定数配分方式
を SS 指数を用いて評価する。
評価項目
基準 1
基準 2
現在
7.89
11.1
最大剰余
2.38
4.43
切り捨て
3.87
5.99
切り上げ
4.11
7.37
四捨五入
2.38
4.43
幾何平均
2.64
5.51
調和平均
2.8
5.51
1+最大剰余
9.54
12.7
表 4.1: 各方式別の評価基準の値
基準 1,2 から現在の定数配分は他のほとんどの定数配分方
式より格差が大きいことがわかる。しかし、衆議院で使わ
れている 1+最大剰余方式より格差は小さいことがわかる。
また、最大剰余方式と四捨五入方式のとき最も小さい。
選挙区への定数配分を考えたとき、最大剰余方式と切り
捨て方式と四捨五入方式は定数 0 の選挙区が生まれる可能
性があるので適用するには問題がある。したがって、上記
の３っの方式を除くと今回用いた評価基準の中ではアメリ
カの下院選挙の定数配分で用いられている幾何平均方式が
代表的な定数配分方式の中で都議会にとって望ましい方式
であると考えられる。
5
結論
本研究において前半部分では 1990 年から 2011 年までの
政権の安定性について Fragnilli(2009) で用いられた指数や
新たに提案した指数を用いて分析した。その結果、GI 値で
は自社さ政権のとき最も高い数値となった。それは自由民
4.3.1 評価基準 1(差の二乗和)
主党と日本社会党の両方とも両院で過半数ではなく、連立
政権を組むことで両院で過半数を越えるため、連立政権か
∑
(ϕi − ϕ̄i )2
ら逸脱する誘因が低かったからと考えられる。また、修正
i∈N
GI 値では自公政権のとき最も高い数値となった。それは、
N を選挙区の集合とする。選挙区議席モデルの SS 指数と 内閣総理大臣を輩出していた自由民主党が衆議院では、過
選挙区有権者モデルの SS 指数の差の 2 乗の和をとる。そ 半数をとり参議院でも比較第一党であったからと考えられ
れにより、全体としてどの程度 SS 指数が離れているかわか る。反対に、最も不安定だったのは両方の指数とも非自民
る。0 に近いほど望ましいというように解釈できる。
政権のときであった。それは、内閣総理大臣を輩出してい
た政党があまり大きい政党ではなく、たくさんの政党がキャ
スティングボートを握っていたためである。その他、この
4.3.2 評価基準 2(最大差)
修正された指数と内閣提出法案の成立件数との関係を明ら
かにした。
後半部分では各選挙区の議会における影響力について分
max |ϕi − ϕ̄i |
i∈N
析した。投票力指数を用いた評価基準を用いることで、選
選挙区議席モデルの SS 指数と選挙区有権者モデルの SS 指 挙区間での議会における影響力を基にした格差を分析する
数の乖離が最大でどのくらいなのかが上記の評価基準によっ ことができた。そして、現在の選挙区の定数配分や既知の
てわかる。0 に近いほど望ましく、大きければ望ましくない 定数配分方式の中では、今回用いた評価基準では幾何平均
と解釈できる。
方式が望ましいことがわかった。
4.4
計算結果と考察
各方式について、平成 21 年の東京都議会選挙時の有権者
数の基づき定数配分を計算する。そして、求めた各方式の
定数配分に従い定数配分に基づいたモデルを用いて SS 指
数を計算する。また、平成 21 年の東京都議会選挙時の有権
者数に従い有権者数に基づいた直接議会モデルを用いて SS
指数を計算する。また、SS 指数の計算は単純に計算すると
参考文献
[1] Balinski, M. L.,Young, H. P.,(2001), “Fair Representation”, Yale University Press.
[2] Fragnelli, V. (2009),“The Propensity to Disruption
for Evaluating a Parliament, AUCO Czech Economic
Review 3 pp. 243 - 253.
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