塾技 55 折り返し

塾技 55
問題 1
折り返し
(難易度 A)
問題 2
A
1 辺が 30cm の正三角形
(難易度 B)
1 辺の長さが 10cm の正方
ABC があります。図のよ
A
D
F
形の紙がある。この正方形
D
うに,正三角形 ABC を
E
辺 AB 上の点 D と辺 AC
上の点 E を結ぶ線分で折 B
G
し,辺 BC 上に点 P をとる。
C
F
H
の頂点を A,B,C,D と E
頂点 A が点 P に重なるよ B 4cm P
C
り曲げたところ,頂点 A が辺 BC 上の点 F と重
うに折ったときにできる折り目を EF,点 D が移
なりました。BF = 6cm,DB = 16cm のとき,EF
った点を G,辺 PG と辺 CD の交点を H とする。
の長さを求めなさい。
BP = 4cm のとき,次の問いに答えなさい。
(立命館高)
(1)EP の長さを求めなさい。
(2)図の
部分(四角形 EPGF)の面積を
求めなさい。
(島根県)
解 1
解 2
「塾技 55(1)」より,△DBF∽△FCE★とわ
(1)EP = AE = xcm とすると,EB = (10-x) cm と
かる。ここで,EF = AE = xcm とすると,
EC = (30-x) cm となり,
(10  x ) 2  42  x 2
A
DB:FC = BF:CE
xcm
16:24 = 6:(30-x)
D
16(30-x) = 144
16cm
480-16x = 144
60˚
B
6cm F
-16x =-336
x = 21 (cm)
なる。△EBP に三平方の定理を用いて,
答
xcm
E
60˚
C
24cm
21cm
★の証明
△DBF と△FCE において,
仮定より,∠DBF =∠FCE = 60˚ …①
△DBF の∠F の外角について,
∠B +∠BDF =∠DFC
100  20 x  x 2  16  x 2
20 x  116
29 cm
x  29 (cm)
答
5
5
(2)
「塾技 55(3)」より,△EBP∽△PCH となり,
EB:PC = EP:PH
29
10 
: (10  4)  29 : PH
5
5
21 PH  174
5
5
PH  174  58 (cm)
21
7
よって,GH = GP-PH = AD-PH
 10  58  12 (cm)
7
7
同様に,
「塾技 55(3)」より,△EBP∽△FGH


=∠DFE +∠CFE
となるので,
=∠A +∠CFE
EB:FG = BP:GH
21 : FG  4 : 12
5
7
36
4FG 
FG  9 (cm)
5
5
以上より,台形 EPGF の面積は,
ここで,∠B =∠A = 60˚より,
∠BDF =∠CFE …②
①,②より,2 組の角がそれぞれ等しいので,
△DBF∽△FCE
) 答 38cm
 95  295  10  12  38(cm
2
高校入試 数学研究所
2