分野：二項定理 例題 ( )組 ( )番 氏 名 ( 二項定理を用いて次の式を展開せよ。 (a＋ 2b) 4 (1) (3x－ y) 5 (2) 解説 二項定理 (a＋ b ) n ＝ n Ｃ 0 a n ＋ n Ｃ 1 a n - 1 b＋ n Ｃ 2 a n - 2 b 2 ＋ ･･････＋ n Ｃ n b n (1) (a＋ 2b) 4 ＝ 4 Ｃ 0 a 4 ＋ 4 Ｃ 1 a 3 2b＋ 4 Ｃ 2 a 2 (2b) 2 ＋ 4 Ｃ 3 a(2b) 3 ＋ 4 Ｃ 4 (2b) 4 ＝ a 4 ＋ 8a 3 b＋ 24a 2 b 2 ＋ 32ab 3 ＋ 16b 4 (2) (3x－ y) 5 ＝ 5 Ｃ 0 (3x) 5 ＋ 5 Ｃ 1 (3x) 4 (－ y)＋ 5 Ｃ 2 (3x) 3 (－ y) 2 ＋ 5 Ｃ 3 (3x) 2 (－ y) 3 ＋ 5 Ｃ 4 3x(－ y) 4 ＋ 5 Ｃ 5 (－ y) 5 ＝ 243x 5 － 405x 4 y＋ 270x 3 y 2 － 90x 2 y 3 ＋ 15xy 4 － y 5 ) 演習問題 ( )組 ( )番 氏 名 ( １ (3x－ 2) 6 の 展 開 式 に お け る x ４ の 係 数 を 求 め よ 。 ２ (3x ３ (2x－ 3y＋ z) ６ の 展 開 式 に お け る x ３ y ２ z の 係 数 を 求 め よ 。 2 － 2x) 6 の 展 開 式 に お け る x ８ の 係 数 を 求 め よ 。 ) 解説 二項定理 (a＋ b ) n ＝ n Ｃ 0 a n ＋ n Ｃ 1 a n - 1 b＋ n Ｃ 2 a n - 2 b 2 ＋ ･･･＋ n Ｃ r a n - r b r ＋ ･･･＋ n Ｃ n b n 一般項 １ (3x－ 2) 6 の 一 般 項 は ６ Ｃ r (3x) ６ - r (－ 2) r x の次数部分は 6－ r であるので 6－ r＝ 4 を 解 く r＝ 2 したがって 係数は ２ ６ (３ x ２ － ２ x) 6 の 一 般 項 は Ｃ ２ ･3 ４ ・ (－ 2) ２ ＝ 4860 ６ x の次数部分は Ｃ r (3x 2 ) ６ - r (－ 2x) r 2(6－ r)＋ r ＝ － r＋ 12 であるので － r＋ 12＝ 8 を解く r＝ 4 したがって 係数は ３ ６ (2x－ 3y＋ z) ６ の 一 般 項 は Ｃ ４ ･3 ２ ・ (－ 2) ４ ＝ ６ Ｃ r (2x－ 3y) ６ - r z 2160 r ･･･＊ と な る 。 こ こ で z の 次 数 に 着 目 す る と x ３ y ２ z が 現 れ る の は r =１ の と き だ け で あ る 。 こ の と き ＊ は ， ６ Ｃ １ (2x－ 3y) ５ z と な る 。 (2x－ 3y) ５ を 展 開 し た と き に x ３ y ２ が 現 れ る の は ５ Ｃ ２ (2x) ３ (－ 3y) ２ を 計 算 し た と き で あ り 、 係 数 は ５ Ｃ ２ ･2 ３ ・ (－ 3) ２ と な る 。 し た が っ て x ３ y ２ z の 係 数 は ６ Ｃ １ ・ ５ Ｃ ２ ･2 ３ ・ (－ 3) ２ ＝ 4320
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