数学 A 第６講 場合の数（ⅱ） 【問題 1】 男子 4 人と女子 3 人を 1 列に並べる場合の数を考える．両端が男子であるときは り，女子 3 人が隣り合うときは 通 通りであり，女子どうしが隣り合わないときは 通りである． 32 【問題 2】 男子 3 名，女子 4 名の生徒が手をつないで輪をつくるとき，次の各問いに答えよ． （1）輪をつくる方法は何通りあるか． （2）男子 3 名が隣り合う並び方は何通りあるか． （3）男子が隣り合わない並び方は何通りあるか． 33 【問題 3】 立方体の各面に，隣り合った面の色は異なるように，色を塗りたい．ただし，立方体を回転 させて一致する塗り方は同じとみなす． （1）異なる 6 色をすべて使って塗る方法は何通りあるか． （2）異なる 5 色をすべて使って塗る方法は何通りあるか． （3）異なる 4 色をすべて使って塗る方法は何通りあるか． 34 数学 A 第６講 場合の数（ⅱ） 解答 【問題 1】 男子 4 人と女子 3 人を 1 列に並べる場合の数を考える．両端が男子であるときは り，女子 3 人が隣り合うときは 通 通りであり，女子どうしが隣り合わないときは 通りである． 男子 4 人と女子 3 人を 1 列に並べるとき （ⅰ）両端が男子である場合 このとき，両端の男子の並べ方は また，残り 5 人の並べ方は 5 4 P2 (通り) P5 (通り) であるから，求める場合の数は 4 P2 ´ 5 P5 = 1440 (通り) （ⅱ）女子 3 人が隣り合う場合 このとき，女子 3 人を 1 つのかたまりとみなすと 5 人の 1 列順列は また，1 つのかたまりとみなした女子 3 人の並べ方は 3 P3 (通り) 5 P5 (通り) であるから，求める場合の数は 5 P5 ´ 3 P3 = 720 (通り) （ⅲ）女子どうしが隣り合わない場合 まず，男子 4 人を並べておいて，右図の 5 個の○のうちの 3 個に女子を入れると考 えると 4 P4 ´ 5 P3 = 1440 (通り) 男 男 男 男 35 【問題 2】 男子 3 名，女子 4 名の生徒が手をつないで輪をつくるとき，次の各問いに答えよ． （1）輪をつくる方法は何通りあるか． （2）男子 3 名が隣り合う並び方は何通りあるか． （3）男子が隣り合わない並び方は何通りあるか． （1）7 人のうち，1 人を固定すると残り 6 人は順列となるから 6 P6 = 6! = 720 (通り) （2）男子 3 人をひとかたまりにして固定すると図 1 のよう になる．このとき，女子 4 人は順列，男子 3 人も順列 となるから 4 P4 ´ 3 P3 = 4! ´ 3! = 144 (通り) （3）女子 4 人の並び方は，1 人を固定すると 3 人の順列 3 図1 女 女 女 図2 女 P3 = 3! 通り．男子 3 人は図 2 の矢印の位置に入れる ので 4 P3 通りであるから 男男男 女 女 女 3! ´ 4 P3 = 144 (通り) 女 （別 解） （3）は図 3 のような男女の配置に決まるから，これを固 定して考えると男子 3 P3 通り，女子 4 P4 通りとなるので 3 P3 ´ 4 P4 = 144 (通り) 図3 女女 男 男 女 女 男 36 【問題 3】 立方体の各面に，隣り合った面の色は異なるように，色を塗りたい．ただし，立方体を回転 させて一致する塗り方は同じとみなす． （1）異なる 6 色をすべて使って塗る方法は何通りあるか． （2）異なる 5 色をすべて使って塗る方法は何通りあるか． （3）異なる 4 色をすべて使って塗る方法は何通りあるか． （1）上面をある色で塗ると，底面に塗る色は 5 通り．あとは 4 色に側面を塗る方法は円 順列となり， 5 ´ (4 - 1)! = 30 通り （2）同じ色で 2 ヶ所を塗り，残り 4 ヶ所を 4 色で塗ればよい．この 2 ヶ所を隣り合わな いようにするには，対面とする必要がある．上面と底面を同色にするとその色のえ らび方が 5 通り．残り 4 ヶ所への色の塗り方は，じゅず順列となり， (4 - 1)! ¸ 2 = 3 通り \ 5 ´ 3 = 15 (通り) （3）隣り合った面の色が異なるように 3 つの面を塗ることは出来ない．よって 2 色がそ れぞれ隣り合わない 2 面に塗られる必要がある．その 2 色の選び方は 4C2 通り．残 りの 2 面の塗り方は入れ替えても同じ塗り方となるので，1 通り． \ 4 C2 ´ 1 = 6 (通り) 37
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