二円柱が交差する部分の体積 2つの直交している円柱 z 2 + x 2 ( a 2 …① z 2 + y 2( a 2 …② がある。 (1) 円柱①,②の共通部分の xy 平面に平行な平面z = tによる切り口は どのような図形か。また、切り口の面積を t の関数として表せ。 (2) 円柱①、②の共通部分の体積 Vを求めよ。 2円柱描画 共通部分描画 (1)z 2 + x 2 = a 2 ,z 2 + y 2 = a 2 へz = t を代入 t 2 + x 2 = a 2,t 2 + y 2 = a 2 tを消去して x 2 = y 2 よってx = $y これより 2 2 2 2 x = $U a - t ,y = $U a - t (複号任意) 切り口は 2 2 2 2 2 2 2 2 0U a - t , U a - t 1,0-U a - t ,U a - t 1 , 2 2 2 2 2 2 2 2 0-U a - t , -U a - t 1,0U a - t , -U a - t 1 を 4頂点とする正方形となる。一辺の長さは 2 2 2U a - t であるから,面積S 0 t 1 はS 0 t1 =40a 2 - t 21 (2)V= Q < a -a Q S 0t1 dt=8 =8 at- a 0 2 2 0a - t 1dt 1 3 a 16 3 t = a (答) 3 3 0 = (鳥取大92年、類:島根医科大98年ほか多数) 共通部分のみ描画
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