Introduction To Algorithms.
§16. Greedy Algorithm.
2010 / 06
2010年6月22日火曜日
What is Greedy Algorithm?
DPでは全体の構造を分析していた
Optimal Substructure & Overlapping Subproblem
Greedy Algorithm : 貪欲アルゴリズム
部分的に最適解を積み上げる
2010年6月22日火曜日
What is Greedy Algorithm?
部分的に最適解を作れば、全体も最適だ！
一般的に成り立つとは言えない
それでもだいたい上手くいく(と主張)
2010年6月22日火曜日
Step of Greedy Algorithm.
Optimal Substructureを決定
再帰解を作成・選択時に一つの小問題が残るように
安全に選択出来ると示す
再帰アルゴリズムを作り、Iterativeに変換
2010年6月22日火曜日
とりあえず例題
2010年6月22日火曜日
§16.1 Activity-selection Problem
アクティビティを排他的にスケジューリング
Activity Set S = { a1 , a2 , ... , an }
Activityは開始時刻sと終了時刻fを持つ
0 <= s < f < ∞
2010年6月22日火曜日
§16.1 Activity-selection Problem
Activityはfで単調になっていると仮定
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
si
1
3
0
5
3
5
6
8
8
2
12
fi
4
5
6
7
9
9
10
11
12
14
16
相互的に実行可能な例 : { a3 , a9 , a11}
最大な例 : { a1 , a4 , a8 , a11 }
2010年6月22日火曜日
§16.1 Activity-selection Problem
Sの部分集合で最大のものを求めたい。
動的計画法(DP)でも解けそう。
とりあえずOptimal Substructureを考えよう
2010年6月22日火曜日
Optimal Substructure of §16.1
Sij : aiより後に始まり ajより先に終わる
相互に共存する最大な集合Aijを求める。
Sijの中のActivity akで分割すると?
二つの小問題が考えられる : Sik と Skj
Aij = Aik ∪ { ak } ∪ Akj
2010年6月22日火曜日
Like Dynamic Programming
Aij = Aik ∪ { ak } ∪ Akj
動的計画法でやったように再帰計算式を考える。
最適解の大きさ c[i][j] とする
2010年6月22日火曜日
Like Dynamic Programming
再帰計算式が設定出来た
Recursive でも Memoize でもして実装出来る
実はもっと特徴がある
Greedy Choice
2010年6月22日火曜日
Greedy Choice #01
小問題を解くことなしにActivityを選択出来たらどうか
実際例題ではGreedy Choiceだけを考えればいい
選択：他のActivityに出来るだけ資源を残す
この考え方から選べないか?(小問題解かないで)
2010年6月22日火曜日
Greedy Choice #02
資源を残す? → 出来るだけ時間を残す
時間を残す? → Activityをはやく終わらせる
方針：最も早く終わるものを選ぶ(そのとき最適)
方針：残りは可能なものを選ぶ
2010年6月22日火曜日
Greedy Choice #03
与えられた表は終了時間順にソートしていた
表の左から順に選んでいく
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
si
1
3
0
5
3
5
6
8
8
2
12
fi
4
5
6
7
9
9
10
11
12
14
16
2010年6月22日火曜日
Greedy Choice #04
Sk = { ai ∈ S | si >= fk }
例えばS1はa1より遅くはじまるActivity
最初にa1を選ぶ
S1が解くべき唯一の小問題になる
2010年6月22日火曜日
Imprement
実装はDPでなくていい。普通に再帰でいい。
P419 : RecursiveActivitySelector( s , f , k , n )
k : 初期値0 , n : 全Activity数
方針：最初に終わるのを探して再帰
初期値：a0という仮想的なActivity(f0=0)
2010年6月22日火曜日
Code
void RAS( int s[], int f[], int k, int n){
int m = k + 1;
while( m <= n && s[m] < f[k])
m++;
if( m <= n ){
printf("%d ", m);
RAS( s , f, m , n );
}
}
2010年6月22日火曜日
Iterative
int N = 11;
void GAS( int s[], int f[]){
printf("%d ", 1);
int k = 1, m;
for( m = 2 ; m <= N ; m++ ){
if( s[m] >= f[k] ){
printf("%d ", m);
k = m;
}
}
}
2010年6月22日火曜日
一般的なこと
2010年6月22日火曜日
§16.2 Elements of Greedy Strategy
Optimal SubstructureはDPと同じ(例より)
Make choice that seems best at moment.(原則)
2010年6月22日火曜日
Steps.
Optimal Substructure
再帰的解法
Greedy Choiceをした時に小問題が1つになるか?
Greedy Choiceが常に安全に出来るか
再帰的なアルゴリズムを作る
再帰的なアルゴリズムをIterativeに
2010年6月22日火曜日
Design Greedy Algorithms
最適化問題を選択と解くべき一つの小問題に割り当て
Greedy Choice が作れる最適化問題に
解が存在することを示す。
Optimal Substructure 実際に見つける
大抵、DPでも解ける。
いつも使えるわけではない
2010年6月22日火曜日
Key point 1.
Greedy-choice property
DPでは、選択が小問題の解に依存する → Bottom up
Greedy Algorithm では、その時々で最適な選択
小問題を解く前に、選択する。→ Top down
2010年6月22日火曜日
Key point 2.
Optimal Substructure
DPと同じ
2010年6月22日火曜日
Greedy vs DP
どちらもOptimal Substructureを上手く使ってる
どんな違いがあるのか…
古典的な問題を使って詳しく調べよう!
2010年6月22日火曜日
詳しく調べるために
2010年6月22日火曜日
0-1 Knapsack Problem
泥棒はお店で n 個のアイテムを見つけた
i 番目のアイテムは vi ドル、重さが wi ポンド
ナップサックには W ポンド入る
出来るだけ上手くアイテムを持ちたい
0-1 : take it or leave it
2010年6月22日火曜日
Fractional Knapsack Problem
設定は同じ
ただしアイテムは有理数個が持てる
0-1 と Fractionalの微妙な違い
ただしFractionalはGreedyで解ける
けれども0-1は上手く解けない
2010年6月22日火曜日
How to Solve
ポンド毎の価値を求める( vi / wi )
2010年6月22日火曜日
その他の話題
§16.3 Huffman Codes
§16.4 Matroids and greed methods
§16.5 A task-scheduling problem as a matroid
2010年6月22日火曜日
Problem
16-1 Coin changing
16-2 Scheduling to minimize average completion time
16-3 Acyclic Subgraphs
16-4 Scheduling variations
16-5 Off-line caching
16-1 Coin changing
2010年6月22日火曜日
終わり
Huffman Code は別にいいかな…
Matroid関係はそのうち読みたい
これからGraphやります
具体的には§22-26
2010年6月22日火曜日
オマケ
Greedy Algorithm : 1971 ∼
組合せ最適化問題とか
英語Wikipediaの参考欄はこの本が載ってる
2010年6月22日火曜日
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