アルゴリズムって何だろう？ （2009年11月14日版） 上智大学 理工学部 情報理工学科 宮本 裕一郎 アルゴリズムって何だろう？ アルゴリズム【algorithm; algorism】 （アラビアの数学者アル＝フワリズミーの名に因む） ①アラビア記数法 ②問題を解決する定型的な手法・技法． コンピューターなどで，演算手続きを指示する規則． 算法． 「広辞苑（第六版）」より 問題とアルゴリズムの例 ★有名でない話 ☆リーグ戦（総当り戦）スケジュール表の作成 ☆（DVD）レンタル問題 ☆とらわれの１０人と悪魔のゲーム ☆安定結婚問題とその解法 ★有名な話 ☆最大公約数とユークリッドの互除法 ☆偽金貨を天秤で見つける方法 ☆嘘つき族と正直族の島 ☆並べ替え（sorting） リーグ戦スケジュール表の作成 リーグ戦スケジュール表の作成 1 チーム A B C D E F G H I J 2 3 日 4 5 6 7 8 9 A～Jの 10チームが 総当りで対戦 各チームは 1日に1試合 9日で 全試合が 完了する スケジュール表を 作成せよ 作成途中のリーグ戦スケジュール表 チーム A B C D E F G H I J 1 B A D C F E H G J I 2 D C B A H I J E F G 3 F E J G B A D I H C 日 4 5 H J G I F H I E J D C G B F A C D B E A 6 7 8 9 ６チームリーグ戦スケジュール表の作成 チーム 日 1 2 3 4 A B D B A C C D B D C A E F F E 5 このままでは 2日目のチームEとFの 対戦相手がいない！ 「てきとうに作ればうまくいく」 というわけではないらしい リーグ戦スケジュール表作成法：Circle Method A B B E F C A E F C B D C C D 1 2 3 4 5 A F C E B D B E F D A C C D A F E B D C E B F A E B D A C F F A B C D E D since 1847 D A F E E B F A E D A C F B 作成途中のリーグ戦スケジュール表再び チーム A B C D E F G H I J 1 B A D C F E H G J I 2 D C B A H I J E F G 3 F E J G B A D I H C 日 4 5 H J G I F H I E J D C G B F A C D B E A 6 7 8 9 この表の続きを埋めても 表の完成は不可能 不可能性の確認 →グラフ理論の利用 出典： 宮代隆平，総当りリーグ戦とグラフ理論， オペレーションズ・リサーチ，52 (2007)，547-550 ちょっとだけグラフ理論紹介 Planarity.net http://www.planarity.net/ TSP Games http://www.tsp.gatech.edu/games/ アルゴリズムと公式 リーグ戦スケジュール表の作成アルゴリズム → Circle Method 三角形の面積＝底辺の長さ×高さ÷2 これはアルゴリズム？ アルゴリズムの厳密な定義はないが 極端に短いものはアルゴリズムと呼ばないみたい 「必ず止まる」という条件がつくことが多い DVDレンタル問題 （DVD）レンタル問題 嫁がDVD化されている名作映画を見たいと言い出した． DVDレンタル１回： ３５０円 DVD購入： ３５００円 嫁は気まぐれなので， この先何回「見たい」と言うかわからない． レンタルするべきか？購入するべきか？ レンタル作戦：毎回レンタル 購入作戦：初回に購入 中間作戦：９回目まではレンタル，１０回目に購入 作戦の評価基準： 作戦の支出は完璧な支出と比べて 最悪の場合，何倍くらい悪くなりそう？ レンタル作戦と購入作戦の考察 レンタル作戦の最悪の場合 嫁がDVD化されている名作映画を見たいと言い出した． 嫁が1000回「見たい」と言う DVDレンタル１回： 350円 ＝ 1[ゴールド] 自分の支出＝1000 DVD購入： 3500円 ＝ 10[ゴールド] 完璧な支出＝10 嫁は気まぐれなので， 自分は完璧に比べて100倍悪い可能性あり この先何回「見たい」と言うかわからない． レンタルするべきか？購入するべきか？ レンタル作戦：毎回レンタル 購入作戦：初回に購入 中間作戦：９回目まではレンタル，１０回目に購入 購入作戦の最悪の場合 嫁が1回だけ「見たい」と言う 作戦の評価基準： 自分の支出＝10 作戦の支出は完璧な支出と比べて 完璧な支出＝1 最悪の場合，何倍くらい悪くなりそう？ 自分は完璧に比べて10倍悪い可能性あり 中間作戦の考察 回数 1 自分 1 完璧 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 5 6 6 6 7 7 7 8 8 8 9 9 9 10 11 12 13 14 15 19 19 19 19 19 19 10 10 10 10 10 10 レンタル作戦：毎回レンタル → 完璧の100倍悪い可能性あり 購入作戦：初回に購入 → 完璧の10倍悪い可能性あり 中間作戦：９回目まではレンタル，１０回目に購入 → 完璧の1.9倍悪い可能性あり 実は，中間作戦があらゆる作戦の中で最良の作戦 →最悪の敵（嫁）を想定 オンラインアルゴリズム この先何が起こるかわからないけれど， わからないなりにがんばるアルゴリズム 応用：コンピューター内部のキャッシュとか キーワード：スキーレンタル問題， オンラインアルゴリズム， 競合比 出典：失念（ただし有名） キーワードで検索すればいろいろ見つかる 囚われの10人と悪魔のゲーム とらわれの１０人と悪魔のゲーム 解放を賭けて１年に１回悪魔とゲーム 悪魔は囚人番号（1～10）が書かれたカードを裏にして横一列に配置 1 裏 2 裏 3 裏 4 裏 5 裏 6 裏 7 裏 8 裏 9 10 裏 裏 とらわれの１０人と悪魔のゲーム 解放を賭けて１年に１回悪魔とゲーム 悪魔は囚人番号（1～10）が書かれたカードを裏にして横一列に配置 3 裏 7 裏 2 裏 1 裏 5 裏 9 裏 4 裏 10 6 裏 裏 裏 各人と悪魔が以下を1対1で行う： 囚人は高々5枚のカードを選んで表にする 表にしたカードにその囚人の番号があれば囚人の勝ち そうでなければ悪魔の勝ち 最後に悪魔はすべてのカードを裏にする 人間が全員勝ったら全員解放 人間が１人でも負ければ全員とらわれたまま 悪魔はゲーム中にカードの配置を変えない（裏にするだけ） ゲームが始まったら人間同士は意思疎通できない 人間はカードに細工などできない 悪魔のゲームとてきと～なアルゴリズム 解放を賭けて１年に１回悪魔とゲーム 悪魔は囚人番号（1～10）が書かれたカードを裏にして横一列に配置 てきと～なアルゴリズム： 各人がランダムにカードを選択 3 裏 7 裏 2 裏 1 裏 裏 裏 裏 10 裏 裏 裏 1人目が悪魔に勝つ確率＝1/2 各人と悪魔が以下を1対1で行う： 囚人は高々5枚のカードを選んで表にする 2人目までが悪魔に勝つ確率＝1/2x1/2＝1/4 表にしたカードにその囚人の番号があれば囚人の勝ち そうでなければ悪魔の勝ち 最後に悪魔はすべてのカードを裏にする 10人目までが悪魔に勝つ確率 人間が全員勝ったら全員解放 ＝1/2x1/2x1/2x1/2x1/2x1/2x1/2x1/2x1/2x1/2 人間が１人でも負ければ全員とらわれたまま ＝1/1024 < 0.1% 悪魔はゲーム中にカードの配置を変えない（裏にするだけ） ゲームが始まったら人間同士は意思疎通できない 人間はカードに細工などできない 悪魔のゲームと工夫したアルゴリズム 解放を賭けて１年に１回悪魔とゲーム 悪魔は囚人番号（1～10）が書かれたカードを裏にして横一列に配置 3 裏 7 裏 2 裏 1 裏 5 裏 9 裏 4 裏 10 6 裏 裏 裏 各人と悪魔が以下を1対1で行う： 工夫したアルゴリズム： 以下のステップ1～3を， 囚人は高々5枚のカードを選んで表にする 表が5枚になるまで，あるいは 表にしたカードにその囚人の番号があれば囚人の勝ち 自分の番号が出るまで繰り返す そうでなければ悪魔の勝ち ステップ1：囚人番号xの人間は左からx番目を表にする 最後に悪魔はすべてのカードを裏にする ステップ2：最後に表にしたカードの番号をyとする 人間が全員勝ったら全員解放 ステップ3：左からy番目のカードを表にする，ステップ2へ 人間が１人でも負ければ全員とらわれたまま 悪魔はゲーム中にカードの配置を変えない（裏にするだけ） ゲームが始まったら人間同士は意思疎通できない 人間はカードに細工などできない 工夫したアルゴリズムが意味するもの 3 裏 7 裏 2 裏 1 裏 5 裏 9 裏 4 8 10 6 裏 裏 裏 サイクルはカードの配置で決まる サイクルの長さが5以下ならば絶対に人間が勝つ 7 工夫したアルゴリズム： 以下のステップ1～3を， 8 2 4 表が5枚になるまで，あるいは 6 自分の番号が出るまで繰り返す ステップ1：囚人番号xの人間は左からx番目を表にする 5 ステップ2：最後に表にしたカードの番号をyとする 1 3 9 10 ステップ3：左からy番目のカードを表にする，ステップ2へ 人間が負けるカード配置 3 裏 7 裏 2 裏 1 4 裏 9 5 8 10 6 裏 裏 裏 5 4 7 サイクルはカードの配置で決まる 6 サイクルの長さが6以上ならば絶対に悪魔が勝つ 2 1 3 8 9 10 人間が解放される確率 悪魔が勝つ確率 ＝長さ6以上のサイクルができる確率 1 10 = ∑ 10 C k ⋅ (k − 1)!⋅(10 − k )! 10! k =6 3 裏 7 裏 2 裏 1 4 裏 9 5 8 10 6 裏 裏 裏 10 1 10! =∑ ⋅ ⋅ (k − 1)!⋅(10 − k )! k = 6 10! (10 − k )!⋅k! 10 1 =∑ k =6 k 5 7 1 1 1 = + + + = 0.645... 6 9 10 4 8 2 人間が解放される確率 ＝長さ6以上のサイクルができない確率 9 1＝1－0.654… 3 ＝ 0.34… ＞1/3 6 10 てきと～なアルゴリズムとの比較 てきと～な アルゴリズム 0.3 確 0.2 率 0.1 0 工夫した アルゴリズム 0.4 0.3 確 0.2 率 0.1 0 全員勝たなければ 意味がない 9人以下が勝つ確率は 低くてよい 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 勝つ人間の数 工夫の鍵： でも， 悪魔がカードを 意地悪に並べ続けたら どうする？ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Reference： “Names in boxes” in 資料協力：齊藤廣大さん 勝つ人間の数 Seven puzzles you think you must not have heard correctly, by Peter Winkler. http://math.dartmouth.edu/~pw/solutions.pdf 楽しんでいただけましたでしょうか？ アルゴリズムとは？ → 問題の解法 いろいろな問題に対するいろいろなアルゴリズムがある パズルを解くようなおもしろさもアルゴリズム設計の醍醐味 論理的思考，数理的基礎知識がそれなりに必要 高校生でも読める推薦図書： 最短経路の本，R. ブランデンベルク (著), P. グリッツマン (著), 石田 基広 (翻訳) ， シュプリンガー・ジャパン，2007年． 組合せ最適化「短編集」，久保 幹雄 (著), 松井 知己 (著)，朝倉書店，1999年．
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