§1. ベクトル空間 n 次列ベクトル u, v, . . . と a 2 R について， (1) 和 u + v が定義された（成分毎の和）， (2) スカラー倍（実数倍）au が定義された（各成分を a 倍する）．そして次の (1)∼(8) が成り立つ． (1) (3) (5) (7) u + v = v + u， u + 0 = 0 + u = u， (a + b)u = au + bu， 1u = u，定義 1.1. (2) (4) (6) (8) (u + v) + w = u + (v + w)， a(bu) = (ab)u， a(u + v) = au + av ， 0u = 0．集合 V がベクトル空間1であるとは，V に和とスカラー倍が定義されて，上の (1)∼(8) がみたされる2ときをいう．ただし，(3) は零ベクトルと呼ばれる 0 が存在して (3) をみたす，と読む．例 1.2. もちろん，n 次列ベクトルの全体はベクトル空間をなす．このベクトル空間を Rn で表す3． R[x]n：実数係数の高々 n 次の多項式の全体．x は変数を表す（不定元とも eeee いう）．すなわち， f (x) = an xn + an 1 xn 1 + · · · + a1 x + a0 (a0 , a1 , . . . , an 2 R) 例 1.3. と書ける多項式の全体．g(x) 2 R[x]n で， g(x) = bn xn + bn 1 xn 1 + · · · + b1 x + b0 とするとき， f (x) + g(x) := (an + bn )xn + (an 1 + bn 1 )xn 1 (b0 , b1 , . . . , bn 2 R) + · · · + (a1 + b1 )x + (a0 + b0 ) 2 R[x]n で R[x]n の 2 個の元の和を定義し，↵ 2 R のとき ↵f (x) := (↵an )xn + (↵an 1 )xn 1 + · · · + (↵a1 )x + (↵a0 ) 2 R[x]n によって，R[x]n の元のスカラー倍を定義すれば，R[x]n はベクトル空間をなしている．R[x]n での 0 とは，零多項式（すべての係数が 0 の多項式）のことである． 1抽象ベクトル空間ともいうが，この講義では教科書通り，「抽象」という言葉を省いて（省くのが普通）ベクトル空間という．このように，集合に何らかの数学的構造が導入されているとき（ここでは，足し算とスカラー倍ができるという数学的構造をもった集合），その集合のことを空間と呼ぶことが多い． 2和とスカラー倍の定義が自然なものであれば，(1)∼(8) は大抵の場合みたされる． 3教科書では Rn という記号が用いられているが，現在では Rn と書く方が標準である．教科書では，行ベクトルの全体を Rn と書いているが，その区別はあまり見ない． 1 注意 1.4. 2 個の多項式を加えることにより，最高次の係数が打ち消しあうことがあるので，n 次の多項式の全体はベクトル空間にはならない．例 1.5. 開区間 ( a, b ) で連続な関数の全体を C(a, b) で表す4．f , g 2 C(a, b) のとき， (f + g)(x) := f (x) + g(x) で和 f + g を定義し5，↵ 2 R に対して，(↵f )(x) := ↵f (x) でスカラー倍 ↵f を定義すれば，C(a, b) はベクトル空間になっている．C(a, b) での 0 とは，恒等的に 0 である関数のことである．例 1.6. M (m, n) で，m 行 n 列の行列の全体を表す．行列の和とスカラー倍で M (m, n) はベクトル空間をなす．M (m, n) での 0 とは零行列のことである．定義 1.7. V ：ベクトル空間，W ⇢ V ：V の部分集合． W が V の部分空間であるとは，V での和とスカラー倍によって W がベクトル空間になるときをいう．定理 1.8. V ：ベクトル空間，W ⇢ V ：V の部分集合．このとき， 8 > < (i) 0 2 W, (ii) u, v 2 W =) u + v 2 W, W が V の部分空間 () > : (iii) u 2 W, c 2 R =) cu 2 W. 証明. =) は明らか． (= を示そう．条件 (2) と (3) により，集合 W に和と積を定義することができる．すなわち，W の元を V の元と見て和とスカラー倍をしても，結果が W からはみ出ない6．(1) より，W は零ベクトルを含んでいる．前ページの (1)∼(8) は当然みたされているので，W は V での和とスカラー倍でベクトル空間になっている．すなわち，W は V の部分空間である．例題 1.1. ⇤ A 2 M (m, n) とする．W := {x 2 Rn ; Ax = 0} は Rn の部分空間．解. (1) A0 = 0 ゆえ，0 2 W ． (2) x, y 2 W とする．このとき Ax = Ay = 0 ゆえ A(x + y) = Ax + Ay = 0 + 0 = 0. 4記号の C は continuous の c から来る． 5連続関数の和は連続であることを思い出そう． 6このことを，教科書のように，W は V の和とスカラー倍に関して閉じている，という言い方をする．「はみ出る」というのはあまり上品な言葉ではないので． 2 よって x + y 2 W である． (3) x 2 W ，c 2 R とする．このとき Ax = 0 ゆえ A(cx) = c(Ax) = c0 = 0. ゆえに cx 2 W である．定義 1.9. 例題 1.1 の W のことを，同時形連立 1 次方程式 Ax = 0 の解空間と呼ぶ（部分空間であるので，解集合ではなくて，解空間と呼ぶ）．注意 1.10. 同次形連立 1 次方程式の解空間については，線形写像のところで再び出会うので，記憶にとどめておくこと．例題 1.2. (1) W := (2) W := ⇢ ⇢ 次の W は R3 の部分空間であるかどうか調べよ7． x 2 R3 x 2 R3 2x1 + 3x2 x3 x1 2x2 + 3x3 2x1 + 3x2 x3 x1 2x2 + 3x3 =0 ． =0 =1 ． =2 解. (1) 例題 1.1 の証明を繰り返せばよい（自習）． (2) 0 は明らかに W に属さないので，W は部分空間ではない．例題 1.3. 次の W は R[x]3 の部分空間であるかどうか調べよ． (1) W := {f (x) 2 R[x]3 | f (1) = f ( 1) = 0}． (2) W := {f (x) 2 R[x]3 | f (1) = 1}． (3) W := {f (x) 2 R[x]3 | xf 0 (x) = 2f (x)}．解. R[x]3 での 0 とは，零多項式 f0 (x) のことであることを思い出そう． (1) 部分空間である．実際， (i) 明らかに f0 2 W ． (ii) f (x), g(x) 2 W のとき，f (1) = f ( 1) = 0，g(1) = g( 1) = 0 であるから， f (±1) + g(±1) = 0 + 0 = 0 （複号同順）．ゆえに f (x) + g(x) 2 W である． (iii) f (x) 2 W ，x 2 R のとき，f (±1) = 0 より cf (±1) = 0 であるから，cf (x) 2 W である． 7このような問題では，そうであるときに証明，そうでないときには理由を問われている．結果だけを問われているのではないことに注意． 3 (2) この W は部分空間ではない．実際，f0 (x) 2 / W である． (3) 部分空間である．実際， (i) f00 (x) も恒等的に 0 であるから，xf00 (x) = 2f0 (x)．ゆえに f0 (x) 2 W である． (ii) f (x), g(x) 2 W とすると，xf 0 (x) = 2f (x)，xg 0 (x) = 2g(x) であるから， x(f (x) + g(x))0 = xf 0 (x) + xg 0 (x) = 2f (x) + 2g(x) = 2(f (x) + g(x)). ゆえに f (x) + g(x) 2 W である． (iii) f (x) 2 W ，c 2 R とする．f 0 (x) = 2f (x) であるから， x(cf (x))0 = cxf 0 (x) = c(2f (x)) = 2(cf (x)). ゆえに cf (x) 2 W である．【宿題 1】（10 月 2 日出題：10 月 9 日提出：名前と学生番号の記入を忘れないように） [ 1 ] 次で定義される W は R3 の部分空間であるかどうか調べよ． ⇢ 2x1 3x2 + x3 5 1 (1) W := x 2 R3 ． 3x1 + x2 + 2x3 5 1 ⇢ x21 + x22 2x23 = 0 (2) W := x 2 R3 ． x1 x2 = 0 [ 2 ] 次で定義される W は R[x]3 の部分空間であるかどうか調べよ． (1) W := {f (x) 2 R[x]3 | f (1) 5 0, f (2) = 0}． (2) W := {f (x) 2 R[x]3 | f 00 (x) = 2xf 0 (x)}． 4