B C A D 5 7 3 x (7 − x) AD2 = 52 − (7 − x)2 ··· 1 ⃝ AD2 = 32

3 辺の長さが分かる三角形の面積は必ず求められる。
三角形の面積を求めるにあたって, 三角形の 3 辺の長さが分かっていれば, 面積は必ず求
められるという事実をご紹介いたしましょう。まず, 三角形の高さが三角形の内部にでき
る場合を考えます。下の図で, 3 辺の長さは, 7, 5, 3 である。長さ 7 の部分が底辺になって
いると考えてください。そのときの高さを AD とします。次に DC を x とおきます。する
と BD= 7 − x となります。
A
5
3
(7 − x)
B
x
D
7
C
ここで, 線分 AD は △ABD と △ACD に共通な辺であり, それぞれの三角形に三平方の定
理を用いると,
1
AD2 = 52 − (7 − x)2 · · · ⃝
2
AD2 = 32 − x2 · · · ⃝
1 =⃝
2 であるから,
となり, ⃝
25 − (7 − x)2 = 9 − x2
√
15 3
33
2
⃝
となる。これを解いて x =
, これをに代入して, AD を求めると, AD=
とな
14
14
り, 求める面積は,
√
√
15 3
15 3
1
7×
×
=
14
2
4
1
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次に高さが三角形の外部にできる場合を考えても同様のことがいえることを表してみる。
三角形の 3 辺の長さ, 頂点は, 先と同じにしている。このとき, 底辺は CA で, 高さは点 B
から直線 CA に下ろした垂線で, 線分 BD である。
B
7
5
C
3
A
x
D
このとき, AD=x とすると, CD= 3 + x となる。高さ BD は △BCD と △BAD に共通であ
るから, それぞれに三平方の定理を用いると,
1
BD2 = 72 − (3 + x)2 · · · ⃝
2
BD2 = 52 − x2 · · · ⃝
1 =⃝
2 であるから,
となり, ⃝
49 − (3 + x)2 = 25 − x2
となる。これを解いて x =
√
5 3
5 , これを⃝
2 に代入して, AD を求めると, BD=
となり,
2
2
求める面積は,
√
√
5 3
15 3
1
3×
×
=
2
2
4
と当たり前だが, 先の答えと同じになる。このように 3 辺の長さが分かっていれば, 必ず三
角形の面積が求まることを知っておきましょう。ちょっとした応用問題に使える知識です
ので, 数学で得点アップを目指すのであれば, 覚えておきたい知識と技ですね。ではでは。
ちなみに 3 辺の長さが分かっている場合の公式として有名なのがヘロンの公式というの
がある。興味がある方はぜひ調べてみましょう。
2
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