1 2次の行列式 逆行列があるかないかは、基本変形により調べることができるが、た とえば行列の成分に文字がある場合は、基本変形は容易でない。この章 で定義する行列式が逆行列があるための判定条件をあたえる。 はじめに逆行列はいつもあるわけではない.逆行列の存在条件は既に 定理 1 により,与えてある.この節ではその内の条件 (iii) が役立つ. n 次ベクトル x に関する方程式 Ax = b において,b = 0 の場合を同次方程式 といい,b 6= 0 の場合を非同次方程 式という.x = 0 は同次方程式 Ax = 0 の解である.これを同次方程式の自明な解という. 同次方程式が x 6= 0 で ある解をもつとき,その解を非自明な解という. 定理 1 n 次ベクトル x に関する同次方程式 Ax = 0 の解が自明な解 x = 0 のみであることは,A が逆行列をもつ必要十分条件である. 証明 既に証明はすんでいるが,必要性は簡単に証明できる.A−1 が 存在するとする.x が Ax = 0 を満たすとすると,A−1 を両辺にかけて A−1 (Ax) = A−1 0. A−1 (Ax) = (A−1 A)x = Ex = x, A−1 0 = 0 であるから,x = 0 を得る. 十分性の証明が長くなるのである(第3章 を復習). 終. 系 1 Ax = 0 をみたす x 6= 0 があれば,A−1 は存在しない. " # 2 −1 例 1 A= の場合,方程式 Ax = 0 は −6 3 ( 2x1 −x2 = 0 −6x1 +3x2 = 0 x1 = 1, x2 = 2 は確かに解である.ゆえに Ax = 0 が零でない解 (x1 , x2 ) = (1, 2) をもつから,A−1 は存在しない. 1 数 a が逆数をもつ必要十分条件は a 6= 0 である。それでは2次正方行 列の場合、これに対応する条件はなんであろうか。逆行列を求めるため には行列方程式 AX = E をといてみればよいのであるから、そのために " # a b A := c d を係数行列とする一般的な方程式 ( ax + by = p cx + dy = q (1) をまず解いてみよう。y を消去するために (1) × d − (2) × b を計算する。 また x を消去するために (1) × c − (2) × a を計算する。その結果 ( (da − bc)x = dp − bq (cb − ad)y = cp − aq. (2) × −1 と掛け算の交換法則により ( (ad − bc)x = pd − bq (ad − bc)y = aq − pc. と書き換えると、左辺の係数は同じになる。 定義 1 上の2次正方行列 A に対して det(A) := ad − bc と定義し、A の 行列式という。det(A) の代わりに |A| とも書く。また次のような書き方 もする: ¯ ¯ ¯ a b ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = ad − bc ¯ c d ¯ このように定義すると、上のように計算してできた方程式の左辺の係数 ばかりでなく、右辺の係数も行列式であらわされる: ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a b ¯ ¯ p b ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = ¯ ¯ ¯x ¯ ¯ q d ¯ ¯ c d ¯ ¯ ¯ a b ¯ ¯ ¯ c d 2 ¯ ¯ ¯ ¯ a p ¯ ¯ ¯y = ¯ ¯ ¯ c q ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 定理 2 A を上のような2次正方行列とする。 (i) det(A) 6= 0 ならば、A は可逆行列で # " 1 d −b A−1 = det(A) −c a であり、連立方程式 の解は次の唯一組である。 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x = ¯¯ ¯ ¯ ¯ ( ax + by = p cx + dy = q ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ y = ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ p b ¯¯ ¯ q d ¯ ¯ a b ¯¯ ¯ c d ¯ ¯ a p ¯¯ ¯ c q ¯ ¯ a b ¯¯ ¯ c d ¯ (2) (ii) det(A) = 0 ならば、 ( ax + by = 0 cx + dy = 0 (3) は非自明解をもち,A は可逆ではない。 定理 2 で与えられた解の公式は(2次の)クラーメル(またはクラメー ル)1 の公式という。この公式は一般の次数の場合に後で拡張する。 定理13の証明まず A の可逆性を調べてみよう。det(A) 6= 0 とする. このとき x, y が方程式 ( ax + by = 0 (4) cx + dy = 0 の解であるとすると,|A|x = 0, |A|y = 0 を満たすから,x = y = 0 であ る.従って定理 1 により,A は正則である.同じ定理により,方程式 (1) は唯一組の解をもつ.解の候補は (2) だけであり,これが解になる. 次に A−1 を計算する.そのために " # x1 x2 X := y1 y2 1 Cramer 3 とおき、行列方程式 AX = E を解いてみる。 両辺の第1列、第2列をそ れぞれとりだすと ( ( ax1 + by1 = 1 ax2 + by2 = 0 cx1 + dy1 = 0 cx2 + dy2 = 1 この二つの方程式は前のように次の方程式に変形される ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a b ¯ ¯ 1 b ¯ ¯ a b ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x1 = ¯ ¯ ¯ ¯ x2 = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ c d 0 d c d ¯ ¯ a b ¯ ¯ ¯ c d ¯ ¯ ¯ ¯ a 1 ¯ ¯ ¯ y1 = ¯ ¯ ¯ c 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a b ¯ ¯ ¯ c d ¯ ¯ 0 b ¯ ¯ ¯ 1 d ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a 0 ¯ ¯ ¯ y2 = ¯ ¯ ¯ c 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 右辺の行列式を計算してつぎの等式を得る。 |A|x1 = d |A|x2 = −b |A|y1 = −c |A|y2 = a したがって det(A) 6= 0 ならば、解 x1 , x2 , y1 , y2 が一意的にきまり、定理 のように A−1 = X が決まる。 det(A) = ad − bc = 0 とする.このとき (3) は次のような非自明解をも つ.a = c = 0 ならば,x = 1, y = 0 は非自明解である.a 6= 0 とする.こ のとき x = −b, y = a は非自明解である.c 6= 0 の場合は,x = d, y = −c は非自明解である.従って定理 1 により,det(A) = 0 ならば,A は正則 ではない. " # 3 4 例2 A= とする.det(A) = 3 × 6 − 4 × 5 = −2 6= 0 であるか 5 6 ら,A−1 が存在し, " # " # 1 6 −4 −3 2 = A−1 = −2 −5 3 5/2 3/2 行列式は次の性質をもつ。 定理 3 (i) 列が同じならば,行列式は零である. ¯ ¯ ¯ a a ¯ ¯ ¯ ¯ ¯=0 ¯ c c ¯ 4 列を入れ替えると行列式の符号がかわる: ¯ ¯ ¯ ¯ b a ¯ ¯ a b ¯ ¯ ¯ = − ¯ ¯ ¯ ¯ d c ¯ ¯ c d ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ (ii) ある列を定数倍(k 倍)すると、行列式も定数倍(k 倍)される: ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ka b ¯ ¯ a b ¯ ¯ a kb ¯ ¯ a b ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = k¯ ¯, ¯ ¯ = k¯ ¯ ¯ kc d ¯ ¯ c d ¯ ¯ c kd ¯ ¯ c d ¯ (iii) ある列が和に分解すると、行列式も和に分解する(列に関する分配 法則) : ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a + a0 b ¯ ¯ a b ¯ ¯ a0 b ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯=¯ ¯+¯ ¯ ¯ c + c0 d ¯ ¯ c d ¯ ¯ c0 d ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a b + b0 ¯ ¯ a b ¯ ¯ a b 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯=¯ ¯+¯ ¯ 0 0 ¯ c d+d ¯ ¯ c d ¯ ¯ c d ¯ (iv) 行についても同じ性質が成り立つ。 問 1 上の定理を証明せよ。 2 3次の行列式 3次の正方行列 a1 a2 a3 A := b1 b2 b3 c1 c2 c3 を係数行列とする連立方程式 a1 x + a2 y + a3 z = p b1 x + b2 y + b3 z = q c x+c y+c z = r 1 2 3 (5) を解いてみる。y, z を消去して x だけの方程式を導こう。(2),(3) 式を y, z について解くと考える。 ( b2 y + b3 z = q − b1 x (6) c2 y + c3 z = r − c1 x 5 と変形して,前節と同様に計算すると ¯ ¯ ¯ b b ¯ ¯ 2 3 ¯ ¯ ¯y ¯ c2 c3 ¯ ¯ ¯ ¯ q−b x b ¯ ¯ 1 3 ¯ = ¯ ¯ ¯ r − c1 x c 3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ b b ¯ ¯ b q−b x ¯ 2 3 ¯ ¯ 2 1 ¯ ¯z = ¯ ¯ c2 c3 ¯ ¯ c2 r − c3 x ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ (7) (7) の第1式右辺の行列式は次のように変形できる. ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ q−b x b ¯ ¯ q b ¯ ¯ −b x b ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 3 3 1 3 ¯ ¯ ¯ = ¯ ¯+¯ ¯ ¯ r − c1 x c 3 ¯ ¯ r c3 ¯ ¯ −c1 x c3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ q b ¯ ¯ b b ¯ ¯ ¯ 1 3 ¯ 3 ¯ = ¯ ¯ − x¯ ¯ ¯ r c3 ¯ ¯ a3 c 3 ¯ したがって ¯ ¯ ¯ ¯ q b ¯ b b ¯ ¯ ¯ 2 3 ¯ 3 ¯y = ¯ ¯ ¯ r c3 ¯ c2 c3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ b b ¯ ¯ ¯ 1 3 ¯ ¯ ¯ ¯ − x¯ ¯ c1 c3 ¯ ¯ を得るから,移項して ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ q b ¯ b b ¯ ¯ b b ¯ ¯ ¯ 1 3 ¯ ¯ 2 3 ¯ 3 x¯ ¯y = ¯ ¯+¯ ¯ r c3 ¯ c1 c3 ¯ ¯ c2 c3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 同様に (7) の第2式を変形して ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ b b ¯ ¯ b b ¯ ¯ q b ¯ 1 2 ¯ ¯ 2 3 ¯ ¯ 2 −¯ ¯x + ¯ ¯z = −¯ ¯ c1 c2 ¯ ¯ c2 c3 ¯ ¯ r c2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 以上により,(5) の第1式とあわせて,x, y, z が (5) を満たすとき,次の 連立の式が成り立つ. a1 x +a2 y +a3 z = p ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ b b ¯ ¯ b b ¯ ¯ q b ¯ ¯ 3 ¯ ¯¯ 1 3 ¯¯ x + ¯¯ 2 3 ¯¯ y = ¯ ¯ ¯ c1 c3 ¯ ¯ c2 c3 ¯ ¯ r c3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ b b ¯ ¯ b b ¯ ¯ q b ¯ ¯ 1 2 ¯ ¯ 2 3 ¯ ¯ 2 ¯ +¯ ¯z = −¯ ¯ − ¯¯ c1 c2 ¯¯ x ¯ c2 c3 ¯ ¯ r c2 ¯ 6 第2、第3式の y, z の係数が同じであることに着目すると、次のように して y, z を消去できる。すなわち ¯ ¯ ¯ b b ¯ ¯ 2 3 ¯ (1) × ¯ ¯ − (2) × a2 − (3) × a3 ¯ c2 c3 ¯ により ¯ ¯ b ¯ 2 a1 ¯ ¯ c2 ¯ ¯ ¯ = p¯ ¯ ( b3 c3 b2 c2 ¯ ¯ ¯ ¯ b ¯ ¯ 1 ¯ − a2 ¯ ¯ ¯ c1 ¯ ¯ ¯ b3 ¯¯ ¯ ¯ − a2 ¯ ¯ c3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ b ¯ ¯ 1 ¯ + a3 ¯ ¯ ¯ c1 ¯ ¯ ¯ q q b3 ¯¯ ¯ ¯ + a3 ¯ ¯ r r c3 ¯ b3 c3 ¯) ¯ ¯ ¯ x ¯ ¯ b2 ¯¯ ¯ c2 ¯ b2 c2 定義 2 3次の正方行列 A の行列式 det(A) を上の式の x の係数により定 義する。すなわち ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a a a ¯ ¯ b b ¯ ¯ b b ¯ ¯ b b ¯ ¯ 1 2 3 ¯ ¯ ¯ 2 3 ¯ ¯ 1 3 ¯ ¯ 1 2 ¯ ¯ det(A) = ¯ b1 b2 b3 ¯ := a1 ¯ ¯ ¯ − a2 ¯ ¯ + a3 ¯ ¯ ¯ ¯ c2 c3 ¯ ¯ c1 c3 ¯ ¯ c1 c2 ¯ ¯ c1 c2 c3 ¯ 行列 A の i 行と j 列を除いてできる 2 次正方行列を Aij とおくと, det(A) = a1 |A11 | − a2 |A12 | + a3 |A13 | である. このように行列式を定義すると、x の方程式の右辺は A の第1列の 成分 a1 , b1 , c1 をそれぞれ p, q, r でおきかえた行列の行列式である。した がって ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a a a ¯ ¯ p a a ¯ 2 3 ¯ ¯ 1 2 3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x = (8) ¯ b1 b2 b3 ¯ ¯ q b 2 b3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ c1 c2 c3 ¯ ¯ r c 2 c3 ¯ 3次の行列式についても,定理 3 の性質が成り立つ. まず列に関して次 の計算法則が成り立つ. 定理 4 (i) 行列の一つの列を k 倍すると,行列式も k 倍になる. (ii) 行列式は列に関して分配法則がなりたつ. (iii) 二つの列が同じならば,行列式は零である.二つの列を入れ替え ると,行列式は −1 倍される(行列式の符号が変わる). 7 証明 (i),(ii) は2次行列式の対応する性質をもちいて,3次行列式の定 義式から直接導き出すことができる. (iii) 方程式 (5) の右辺において,p = q = r = 0 の場合,すなわち,同 次方程式 a1 x + a2 y + a3 z = 0 (9) b1 x + b2 y + b3 z = 0 c x+c y+c z = 0 1 2 3 の場合,A の第1列と第2列が同じならば, a1 x + a1 y + a3 z = 0 b1 x + b1 y + b3 z = 0 c x+c z+c z = 0 1 1 3 (10) となる.この場合 x = 1, y = −1, z = 0 は明らかに解である.したがって 式 (8) が x = 1 に対してなりたつ.また p = q = r = 0 であるから,(8) の右辺は零である.ゆえに det(A) = 0 を得る. A の第1列と第3列が同 じ場合も同様である. A の第 j 列(j = 1, 2, 3)を仮に αj とおき,det(A) = |α1 , α2 , α3 | と表 す. このとき |α1 + α2 , α1 + α2 , α3 | は第1列と第2列が同じであるから, 零である.一方 (ii) の分配法則 |α1 + α2 , α1 + α2 , α3 | = |α1 , α1 + α2 , α3 | + |α2 , α1 + α2 , α3 | = |α1 , α1 , α3 | + |α1 , α2 , α3 | + |α2 , α1 , α3 | + |α2 , α2 , α3 | = |α1 , α2 , α3 | + |α2 , α1 , α3 | ゆえに |α1 , α2 , α3 |+|α2 , α1 , α3 | = 0 であるから,|α2 , α1 , α3 | = −|α1 , α2 , α3 |. 同様に第1列と第3列が同じであるとき,行列式が零であるから,第1 列と第3列を入れ替えたとき,行列式は符号が変わる. この列の入れ替 えを繰り返して |α1 , α2 , α3 | = −|α2 , α1 , α3 | = (−1)(−1)|α3 , α1 , α2 | = (−1)(−1)(−1)|α1 , α3 , α2 | = −|α1 , α3 , α2 | を得る. したがって第2列と第3列が同じならば,この式で α3 を α2 に 置き換えて |α1 , α2 , α2 | = −|α1 , α2 , α2 | となるから,|α1 , α2 , α2 | = 0 を得る. 8 補題 1 x, y, z が方程式 (5) の解ならば,(8) 式と,次の式が成り立つ. ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a a a ¯ ¯ a p a ¯ 3 ¯ ¯ 1 2 3 ¯ ¯ 1 ¯ ¯ ¯ ¯ (11) ¯ b1 b2 b3 ¯ y = ¯ b1 q b 3 ¯ , ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ c1 c2 c3 ¯ ¯ c1 r c 3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a a a ¯ ¯ a a p ¯ ¯ 1 2 3 ¯ ¯ 1 2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ b 1 b 2 b 3 ¯ z = ¯ a2 b 2 q ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ c1 c2 c3 ¯ ¯ a3 c 2 r ¯ (12) 証明 (11) 式を示す. 方程式 (5) は次のように書き換えても同じである. a2 y + a1 x + a3 z = p b2 y + b1 x + b3 z = q c y+c x+c z =r 2 1 3 (8) 式を導き出した方法により, ¯ ¯ a a a ¯ 2 1 3 ¯ ¯ b2 b1 b3 ¯ ¯ c2 c1 c3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ p a a ¯ 1 3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ y = ¯ q b 1 b3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ r c 1 c3 ¯ が成り立つ. 左辺の行列式において第1列と第2列を入れ替え,右辺の行 列式において第1列と第2列を入れ替えると, ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a p a ¯ ¯ a a a ¯ 3 ¯ ¯ 1 ¯ 1 2 3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ − ¯ b1 b2 b3 ¯ y = − ¯ b1 q b 3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ c1 r c 3 ¯ ¯ c1 c2 c3 ¯ であるから,(11) が成り立つ. 同様に (12) も成り立つ. 特に方程式 (5) の右辺において,p = q = r = 0 の場合,すなわち x, y, z が同次方程式 (9) の解ならば, |A|x = 0, |A|y = 0, |A|z = 0 が成り立つ. 9 (13) 定理 5 det(A) 6= 0 ならば,方程式 (9) の解は x = y = z = 0 のみであ る.したがって係数行列 A は正則行列である.方程式 (5) の解は次のよ うに書ける(クラーメルの公式). ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ p a a ¯ ¯ a p a ¯ ¯ a a p ¯ 2 3 ¯ 3 ¯ ¯ ¯ 1 ¯ 1 2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ q b 2 b3 ¯ ¯ b1 q b 3 ¯ ¯ b1 b2 q ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ r c 2 c3 ¯ ¯ c1 r c 3 ¯ ¯ c1 c2 r ¯ ¯ ¯ y=¯ ¯ ¯ x = ¯¯ ¯ a a a ¯ z=¯ a a a ¯ ¯ a a a 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ b1 b2 b3 ¯ ¯ b1 b2 b3 ¯ ¯ b1 b2 b3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ c1 c2 c3 ¯ ¯ c1 c2 c3 ¯ ¯ c1 c2 c3 ¯ 証明方程式 (9) の解は,(13) を満たす. det(A) 6= 0 ならば,この解は x = y = z = 0 のみであるから,定理 1 により,A は正則である.逆行列 A−1 が存在するから,任意の p, q, r に対して方程式 (5) の解 x, y, z が存 在する.方程式 (5) の解は,(8), (11),(12) を満たすから, 定理の解の公式 を得る. 例3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 次の行列式を計算する: ¯ ¯ ¯ ¯ 2 3 0 ¯¯ ¯ −2 4 ¯ ¯ 1 4 ¯ ¯ ¯ ¯ 1 −2 4 ¯ = 2 × ¯ ¯−3ׯ ¯ ¯ −3 0 ¯ ¯ 5 0 5 −3 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 −2 ¯ ¯ ¯+0ׯ ¯ ¯ 5 −3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = 2 × (0 − (−12)) − 3 × (0 − 20) = 24 + 60 = 84 2.1 3次の行列式の諸性質と正則性条件 前節では 3 次の正方行列に対して,行列式が零でなければ行列は正則 であることを示した. この節ではその逆も成り立つことを示す.その前に 行列式の行に関しても列の場合と同じ性質が成り立つ. まず定理 5 により det(A) 6= 0 ならば,方程式 (13) の解は自明解のみで あるから,その対偶命題として次の系が成り立つ. 系 2 方程式 (13) が非自明な解をもてば,det(A) = 0. 3次行列式の列に関する性質(定理 6)は行に関しても成り立つ. 定理 6 (i) 行列の一つの行を k 倍すると,行列式も k 倍になる. 10 (ii) 行列式は行に関して分配法則がなりたつ. (iii) 二つの行が同じならば,行列式は零である.二つの行を入れ替え ると,行列式は −1 倍される(行列式の符号が変わる). 証明 (i),(ii) は列の場合と同様,2次行列式の対応する性質をもちいて, 3次行列式の定義式から直接導き出すことができる. (iii) 例えば A の1行と2行が同じならば,方程式 (13) は実は ( a1 x + a2 y + a3 z = 0 c1 x + c2 y + c3 z = 0 であるから,非自明な解 x0 , y0 , z0 があり,|A|x0 = 0, |A|y0 = 0, |A|z0 = 0 が成り立つ. ゆえに系 2 により,det(A) = 0 を得る. A の他の行が同じ であるときも,同様に det(A) = 0 を得る. このことと,(ii) を用いて,A の二つの行を入れ替えると符号が変わる事を証明できる. 定理 7 行列式はある列の定数倍を他の列に加えても,値が変わらない. 行についても同じである. 証明 A の第 j 列を αj とおく.たとえば,行列式 |α1 , α2 , α3 | において 第2列に第1列の k 倍を加えると, |α1 , α2 + kα1 , α3 | = |α1 , α2 , α3 | + |α1 , kα1 , α3 | = |α1 , α2 , α3 | + k|α1 , α1 , α3 | = |α1 , α2 , α3 | + k0 = |α1 , α2 , α3 | 定理 7 を用いて,系 2 の逆が成り立つこと示す. 定理 8 det(A) = 0 ならば,方程式 (9) は非自明な解をもつ. 証明 A の第1列の成分がすべて零であるならば,x = 1, y = z = 0 は 方程式 (9) の非自明な解である. A の第1列に零でない成分があるとする.このとき a1 6= 0 としてよい. そうでなく a1 = 0 で,たとえば b1 6= 0 の場合は方程式を書く順序をか えて第1式と第2式を入れ替える. このようにしても方程式の解は変わ 11 らないし,係数行列は行が入れ替わるから,det(A) = 0 ならば,新しい 方程式の係数行列の行列式も零である. 改めて a1 6= 0 とする.方程式 (9) を掃きだし法で解くことを考える. そのために係数行列を基本変形する.A の第2行に第1行の −(b1 /a1 ) を 加えた行列を B とする.その結果 B の (2, 1) 成分は零である.さらに B の第3行に第1行の −(c1 /a1 ) を加えた行列を C とする.その結果 C の (3, 1) 成分は零である. C は次のような形の行列になる. a1 a2 a3 C = 0 b02 b03 0 c02 c03 C を係数行列とする方程式は a1 x +a2 y +a3 z = 0 b02 y +b02 z = 0 c02 y +c03 z = 0 (14) であり,方程式 (9) と同じ解をもつ. 定理 7 により,|C| = |B| = |A| であ る.仮定 |A| = 0 により,|C| = 0 を得る. 行列式の定義より |C| = a1 |C11 | − a2 |C12 | + a3 |C13 |. C12 , C13 は共に第1列が零であるから,|C12 | = |C13 | = 0. したがって ¯ ¯ ¯ b0 b0 ¯ ¯ ¯ a1 ¯ 20 30 ¯ = a1 |C11 | = |C| = 0 ¯ c2 c3 ¯ を得る.a1 6= 0 であるから,|C11 | = 0 である.ゆえに定理 2 により, ( b02 y +b02 z = 0 c02 y +c03 z = 0 は非自明な解をもつ.その解を y = y0 , z = z0 とし, x0 = −(a2 y0 + a3 z0 )/a1 とおくと,a1 x0 + a2 y0 + a3 z0 = 0 である.ゆえに x = x0 , y = y0 , z = z0 は (14) の非自明な解である.したがって方程式 (9) は非自明解 x = x0 , y = y0 , z = z0 をもつ. 定理 5 より,det(A) 6= 0 ならば,A は正則であり,上の定理より, det(A) = 0 ならば,A は正則ではない.したがって次の定理が成り立つ. 12 定理 9 (i) det(A) 6= 0 は A が正則であるための必要十分条件である. (ii) det(A) = 0 は同次方程式 (9) が非自明な解をもつための必要十分 条件である. 13
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