数理アルゴリズム 演習課題 5
提出期限: 2015/11/20 09:55
以下の課題を行い，レポートを提出すること．レポートの作成に関しては，Web ペー
ジの「課題」ページ内の項目をしっかりと確認すること． また，レポートの作成にあたっ
て参考にした文献や Web ページはその出典を明示すること．
課題 1
(1) 実対称行列 A = AT の固有値はすべて実数であることを示せ．
(2) λ は A ∈ Cn×n の固有値であることと，det(A − λ I) = 0 は等価であることを示せ．
課題 2
n 個あるページにおいて，ページ j からページ i へジャンプする確率を pi,j とする．た
だし，リンクがあるページへはすべて等しい確率でジャンプするものとする．確率遷移行
列 P = {pi,j } ∈ Rn×n の各列の要素の和が 1，つまり各 j に対して
∑
i
pi,j = 1 とする．
ページランク問題
[
]
αP + (1 − α)veT x = x
のページランクベクトル x は更新式
x(k+1) = αP x(k) + (1 − α)v,
x(0) = 0 もしくは v,
0 < α < 1,
k = 0, 1, 2, . . .
(1)
T
で反復すれば計算することができる．ここで，e = [1, 1, . . . 1] ，v は第 i 要素の値が
vi = 1/n であるベクトル，0 < α < 1 である．
(3-1) 図 1 で示される 6 ページ間のリンクを表現するような確率遷移行列 P を与えよ．
(3-2) 反復式 (1) を用いることで (3-1) で与えた行列 P に関するページランクベクトルを
計算せよ．反復式 (1) の停止条件は
1
∥x(k) ∥2
[
] (k)
T
(k) αP + (1 − α)ve x − x < 10−4
2
とする. ただし，α = 0.85，x(0) = v とする．
1
図 1 6 ページ間のリンク.
(3-3) (3-2) で (1) を用いて計算された各反復での
1
∥x(k) ∥2
[
]
αP + (1 − α)veT x(k) − x(k) 2
の値をグラフに描け．
(3-4) (3-2) で得られたページランクベクトルに基づき，ページ番号を人気順に挙げよ．
2
© Copyright 2024 Paperzz
