いろいろな 確率の問題の研究 竹腰 彩美 土田 数学班 No,2 亮太 研究動機 私たちの日常生活において確率が関わっている物事は身近なところにも多く見ら れ、それらについて実際に確率の値はどのくらいのものなのか興味を持ったから 研究内容 ① 大学の過去問の、確率分野のものに取り組み、基礎の力をつける。 ② 日常の様々な現象を確率で表せるか Try！ 過去問 取り組んだ過去問は 東北大学 東京工業大学 名古屋大学 2010/2011/2012 年度 2012/2013 年度 2007 年度 理系前期 理系前期 理系前期 2011 年度 東北大 理系前期 医・理学部 ０1,2,3,4 の数字が１つずつ書かれた４枚のカードを引いて、次の手順で 5 桁の整数 を作る。まず 1 枚取り出して現れた数字を１の位とする。取り出した 1 枚を元に戻し、４ 枚のカードをよく混ぜて、再び１枚を取り出して現れた数字を１の位とする。このような 操作を５回繰り返して、５桁の整数をつくる。得られた整数を X とするとき、X にちょうど２ 回現れる数字が 1 種類以上ある確率を求めよ。 まず全事象は４^５ 数字を４種類の文字(○×△□)に置き換え、 数字の組み合わせを考えると、 ○○××□ ○○○×× ××○△□３パターンある！ (ⅰ)○○××□ 30×6×2=460 (ⅱ)○○○×× 10×4×3=120 (ⅲ)××○△□ 60×4=240 －15－ ⅰ～ⅲは互いに背反事象であるから,和をだし全事象で割ると、45/64 過去問についての感想 数字を文字に置き換えると考えやすい 数え漏れ、重複のないようにいかに早く正確にできるかどうかが大切 雷 北陸に住んでいて一年間である人は どのくらいの確立で雷の電撃距離にいることになるのか 順序だてて考えてみた 雷についての感想 これだと５年に１回雷に当たることになる!? どの場所の人口密度も同じものとして考えているので実際は確立に偏りがある。 この実験で出された確率が正しいかわからない。 同時に考えなければいけない現象が１つ以上あったので考え方が分からなかった 正しい値に近づけるためには周りの環境をどのくらい考慮し現実に近づけられる かが大切! ポーカー 取り組んだもの －16－ ・トランプの山札５２枚（ジョーカー０枚）から５枚ひきある１つの役ができる確率 について、全種類（ワンペア～ロイヤルストレートフラッシュ）求めた。 ・トランプの山札５２枚（ジョーカー０枚）から５枚引きワンペアができた時、カー ドを引いた山札からカードを交換してツーペア/スリーカード/フルハウス/フォーカ ードができる確率 ・トランプの山札５２枚（ジョーカー０枚）から５枚引き役がない組み合わせができ た時、カードを引いた山札からカードを交換してワンペアができる確率 紹介したものの解法 求める確率は「トランプの山札５２枚（ジョーカー０枚）から５枚引きワンペアがで きた時、 カードを引いた山札からカードを交換してフルハウスができる確率」 である。 カードの変え方は、ワンペア以外のバラバラの３枚について、事象 A「２枚変えて引 いたカードの１枚はワンペアと同じ数字、もう１枚は残したカードと同じ数字」、事 象 B「３枚変えてそれらがスリーカードになる場合」 、事象 C「３枚変えて引いたカ ードの１枚はワンペアと同じ数字、残り２枚でワンペアの数字以外でワンペアができ る場合」の３通りである（元々あるワンペアを崩さない場合） 。 事象 A についてどちらのカードにおいても数字は１通りに決まり、ワンペアと同じ 数字となるカードについてマークは２通り存在し、もう１枚についてはマークが通り 存在する。全事象は４７枚の山札から２枚カードを引く場合の組み合わせの総数であ るので求める確率は 2×3/47C2 である。 事象 B・C について、事象 B については*「引くカード」はすべてワンぺアとなっているカード の数字以外の数字であるから数字の選び方は 12 通りあり、事象 C については、1 枚はワ ンペアと同じ数字となるので数字の選び方が 1 通りであるが*「残り 2 枚」はワンペアとなる 数字以外の数字であるから数字の選び方が 12 通りある。しかし今 * マークを付けたカー ドについて場合分けが存在する。今 5 枚のカードを引いた山札 47 枚について、すべての 数字が同じ枚数ではいっているわけではない。つまりこの山札からある 1 種の数字のカー ドを引く確率がすべての数字において同様ではないということだ。なおどのように場合分け するかについてだが、「引くカードの数字が捨てていないカードの数字である場合」と「引く カードの数字が捨てたカードの数字である場合」の 2 通りだ。J これらを踏まえ事象 B・C に ついてそれぞれ計算すると事象 B は(9×4+3×1)/47C3、事象 C は 2×(9×4C2+3×3)/47C3 である。事象 B・C はそれぞれ排反事象であることから求める確率はそれぞれの和となる。 ポーカーについての感想 今回求めた確率は答えがあるわけではないので、答え合わせのようなことは難しいが、 実際に試してみることができるので、計算もある程度考えやすかった。 －17－ 誕生日 取り組んだもの ・ある人数の中で同じ誕生日の組が一つでもある確率 「ある人数の人間が全員違う誕生日である確率」の余事象で求めた 感想 確率の計算は求める確率のシチュエーションごとにいろいろな要素が関わっているので、 それらを全て発見し正確に値を判断して計算しなければならないので、今回の研究を通し 改めてそういったことの難しさ、面白さを感じることができた。 －18－
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