2015 一橋大 問題 3 n を 4 以上の整数とする。正 n 角形の２つの頂点を無作為に選び、それらを通 る直線を l とする。さらに、残りの n − 2 個の頂点から２つの頂点を無作為に 選び、それらを通る直線を m とする。直線 l と m が平行になる確率を求めよ。 解答 n が奇数のとき、l, m の決め方全体は N = nC2 × n−2C2 = n(n − 1)(n − 2)(n − 3) 4 である。l // m となるときは等脚台形となるか ら、（１）対称軸を決め、（２）一方の側で２点 を選び、 （３）他方の側で対称な２点を選べばよ いから、l // m となるのは a=n× n−1 2 C2 = n(n − 1)(n − 3) 4 通り。求める確率は、 a 1 = N n−2 n が偶数のときは、対称軸のタイプは 2 通りある。向かい合う２辺の中点を結ぶ直線 と向かい合う頂点を結ぶ直線の２タイプである。n = 2m とおく。 前者の場合は対称軸の右側に m 個の頂点があるから、平行線の決め方は, mC2 通り c Darumafactory -1- RadicalMath 対称軸の決め方は m 通りあるから、 mC2 ×m= 1 2 m (m − 1) 2 後者の場合は対称軸の右側に m − 1 個の頂点があるから、平行線の決め方は, m−1C2 通り 対称軸の決め方は m 通りあるから、 [m1C2 × m = 1 m(m − 1)(m − 2) 2 以上を合計して、 1 1 2 m (m − 1) + m (m − 1) (m − 2) 2 2 1 = m (m − 1) (m + m − 2) 2 2 = m (m − 1) 1 2 = n (n − 2) 8 l.m の決め方は２通りあるので、結局、 1 2 n (n − 2) 通り 4 よって、求める確率は 1 4 n−2 2 n (n − 2) × = 4 n (n − 1) (n − 2) (n − 3) (n − 1) (n − 3) c Darumafactory -2- RadicalMath
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