幾何 的確率 幾何的確率 目次 問題１ つぎの確率を考察せよ。 （１）長さａの線分ＡＢ上に２点Ｐ，Ｑを互いに独立にとるとき、 距離ＰＱが長さｂ（＜ａ）以下になる確率。 （ ２ ） ｘ １＋ ｘ ２＋ ｘ ３＝ ａ （ ｘ １＞ ０ ， ｘ ２＞ ０ ， ｘ ３＞ ０ ， ａ ＞ ０ ） の と き 、 長 さ ｘ １ ,ｘ ２ ,ｘ ３ で 三 角 形 を 構 成 す る 確 率 。 （３）無限の平面上に任意の３つの点をとる。この３つの点が 鈍角三角形の頂点となる確率。 - 1 - 幾何 的確率 問題１ （１）の解 ａ Ａ Ｐ Ｑ Ｂ ＡＰをｘ、ＡＱをｙとする。 点Ｐ，Ｑが自由に動き得る範囲は、 ０≦ｘ≦ａ，０≦ｙ≦ａ で、平面で考えると、その面積は、 ａ２ となる。しかし、距離ＰＱがｂ以下という条件があるので、 点Ｐ，Ｑが動き得る範囲は、 ｜ｘ－ｙ｜≦ｂ となり、平面で考えると、その面積は、 ａ ２－ （ ａ － ｂ ） ２＝ ｂ （ ２ ａ － ｂ ） となる。したがって、求める確率は、 ① となる。 y a b x b a - 2 - 幾何 的確率 （２）の解 三 角 形 の 構 成 条 件 ： ｘ １＋ ｘ ２＞ ｘ ３、 ｘ ２＋ ｘ ３＞ ｘ １、 ｘ ３＋ ｘ １＞ ｘ ２ より ｘ ３＜ ａ ／ ２ ， ｘ １＜ ａ ／ ２ ， ｘ ２＜ ａ ／ ２ を得る。なぜなら、 ｘ １＋ ｘ ２＞ ｘ ３ ｘ １＋ ｘ ２＋ ｘ ３＞ ２ ｘ ３ ａ＞２ｘ３ ｘ ３＜ ａ ／ ２ 他も同様。 この範囲は下図の赤い線で囲まれた正三角形の領域になる。したがって、求める 確率は、② となる。 x3 a x 1 +x 2 +x 3 =aの 平 面 x2 a a x1 - 3 - 幾何 的確率 別解 高さがａの正三角形を考える。この正三角形の内部に点Ｐをとり、この点から 各辺に垂線をおろし交点をＡ，Ｂ，Ｃとすると、 ＰＡ＋ＰＢ＋ＰＣ＝③ と な る 。 い ま 、 ｘ １と Ｐ Ａ 、 ｘ ２と Ｐ Ｂ 、 ｘ ３と Ｐ Ｃ を 対 応 さ せ る と 、 三 角 形 の 構 成 条 件 、 ｘ １＋ ｘ ２＞ ｘ ３は 、 Ｐ Ｃ ＜ ａ ／ ２ と な る 。 B A P C なぜなら、 ＰＡ＋ＰＢ＞ＰＣ、 ＰＡ＋ＰＢ＋ＰＣ＞２ＰＣ、 ａ＞２ＰＣ より、明らか。 同 様 に 、 ｘ ２＋ ｘ ３＞ ｘ １は 、 Ｐ Ａ ＜ ａ ／ ２ 、 ｘ ３＋ ｘ １＞ ｘ ２は 、 Ｐ Ｂ ＜ ａ ／ ２ となる。すなわち、高さａの正三角形の内部のうち、 ＰＡ＜ａ／２，ＰＢ＜ａ／２，ＰＣ＜ａ／２ の範囲が三角形を構成する条件に対応する。 この範囲は高さａの正三角形の面積の② になる。 したがって、求める確率は、② となる。 - 4 - 幾何 的確率 （３）の解 ３つの点が一直線上にある確率は、０と仮定する。 三角形の最大の辺をＡＢとする。辺ＡＢ上の三角形のある側に半円ＡＦＢを書く。 ま た 、 Ａ ,Ｂ を 中 心 、 Ａ Ｂ 、 Ｂ Ａ を 半 径 と し て 交 わ る 点 を Ｃ と し 、 弧 Ｂ Ｄ Ｃ 、 弧 Ａ ＥＣを書く。 すると、三角形の頂点がＡＢＤＣＥの外側にはないことは明らか。 そして、頂点が半円ＡＦＢの中にあるときは、④ 、半円の外にある ときは、⑤ となる。 C E D F A B したがって、求める確率＝半円ＡＦＢの面積／ＡＢＤＣＥの面積 ＡＢ＝２ａとすると、 半 円 Ａ Ｆ Ｂ の 面 積 ＝ π ａ ２／ ２ ＡＢＤＣＥの面積＝⑥ ３π 求 め る 確 率 ＝ -----------８π－６√３ ＝０．６３９… - 5 - となる。
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