数学ⅠAハイレベルコース 第7回 確率 1 あるゲームで A が B に勝つ確率は常に一定で 2 とする。 A 、B がゲームを 3 し、先に 3 ゲーム勝った方を優勝とする。このとき、 3 ゲーム目で優勝が決 まる確率は ア である。 4 ゲーム目までして A が優勝する確率は イ である。また、5 ゲーム目までして A が優勝する確率は ウ で ある。ただし、ゲームでは必ず勝負がつくものとする。 2 5 個の答えの中から 1 個を選ぶ問題が 13 題ある。これを無作為すなわちデ タラメに答えるとき、正解が n 個得られる確率を pn (0 ≦ n ≦13) とする。 このとき、 pn が最大となる n の値を求めよ。 3 かなりの段数のある石段があり、図のように A は下から 2 段目、 B は最下段にいる。 A は毎 8 A 7 1 1 6 回確率 で1 段、確率 で 2 段登り、B は毎回確 B 5 2 2 4 3 2 率 1 で1 段、確率 2 で 2 段登る。2 人は同時に登 1 3 3 り始めた。 (1) A 、B それぞれが 4 回登ったとき、ともに 7 段目にいる確率を求めよ。 (2) 4 回登ったとき、 A が X 段目, B が Y 段目にいるとする。Y - X の 期待値を求めよ. 数学ⅠA ハイレベルコース チェックテスト 第7回 1/3 【解答】 1 3 ゲーム目に優勝が決まるためには、A または B が続けて 3 回勝つことが 条件であるから,求める確率は ( 32 ) + ( 13 ) = 13 3 3 …(ア) また、 4 ゲーム目に A が優勝するには、 3 ゲーム目までに A が 2 勝1 敗で あり、 4 ゲーム目で A が勝つことが条件なので、求める確率は 2 2 1 ´2 = 8 …(イ) 3 C2 3 3 3 27 同様に、5 ゲーム目に A が優勝するには、上と同様に考えると、求める確 率は 2 2 2 1 ´ 2 = 16 …(ウ) 4 C2 3 3 3 81 ( )( ) ( )( ) 2 各問につき正解が得られる確率は 1 であるから 5 n 13 - n 13 - n 13! (0 ≦ n ≦13) pn = 13 Cn 1 4 = ×4 5 5 n !(13 - n)! 513 \ pn +1 ( )( ) = C (1 ) ( 4 ) 5 5 n +1 13 n +1 12 - n = 12 - n 13! × 4 13 (0 ≦ n ≦12) (n + 1)!(12 - n)! 5 よって、 0 ≦ n ≦12 のとき pn +1 = 13 - n pn 4(n + 1) p pn +1> pn Û n +1 > 1 より 13 - n >1 \ n <1.8 pn 4(n + 1) p pn +1< pn Û n +1 <1 より 13 - n <1 \ n >1.8 pn 4(n + 1) \ p1< p2> p3> p4> > p13 ゆえに、 pn が最大になるのは n = 2 のとき 3 A 君が 1 段登る事象を A1 、 2 段登る事象を A2 とし、 B 君が 1 段登る事象 を B1 、 2 段登る事象を B2 とする。 (1) A 君が 4 回登って 7 段目にくるのは、 A1 が 3 回、 A2 が1 回起こるこ とであるから、この確率は 数学ⅠA ハイレベルコース チェックテスト 第7回 2/3 ( )( ) 3 C3 1 1 = 1 2 2 4 B 君が 4 回登って 7 段目にくるのは、 B1 が 1 回、 B2 が 3 回起こるこ とであるから、この確率は 3 1 2 = 32 4 C1 3 3 81 よって、 A 、 B がともに 7 段目にいる確率は 1 ´ 32 = 8 4 81 81 X = 6 、7 、8 、9 、10 であり、 A1 、 A2 の回数は、表のようになる。 4 ( )( ) (2) X 6 7 8 9 A1 4 3 2 1 10 0 0 A2 0 1 2 3 4 したがって、それぞれの確率は次のようになる。 X 確 6 7 8 9 10 率 1 4 6 4 1 16 16 16 16 16 よって、 E ( X ) = 6 ´ 1 + 7 ´ 4 + 8 ´ 6 + 9 ´ 4 +10 ´ 1 = 8 16 16 16 16 16 同様にして、 Y = 4 、5 、6 、7 、8 の確率は Y 確 4 5 6 7 8 8 24 32 16 率 1 81 81 81 81 81 よって、 E (Y ) = 4 ´ 1 + 5 ´ 8 + 6 ´ 24 +7 ´ 32 + 8 ´ 16 = 20 81 81 81 81 81 3 したがって、 E (Y - X ) = E (Y ) - E ( X ) = - 4 3 数学ⅠA ハイレベルコース チェックテスト 第7回 3/3
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