重要な数学公式と定理 公式と定理について 2 項定理 自然対数と e e の関数の微分 微分に関する公式 I 微分に関する公式 II 微分に関する公式 III 合成関数の微分 テーラー展開 I テーラー展開 II テーラー展開 III テーラー展開 IV テーラー展開 V テーラー展開 VI オイラーの関係式 ロピタルの定理 I ロピタルの定理 II 重要な数学公式と定理 Typeset by Akio Namba using Powerdot. – 1 / 18 公式と定理について 重要な数学公式と定理 公式と定理について 2 項定理 自然対数と e e の関数の微分 微分に関する公式 I 微分に関する公式 II 微分に関する公式 III 合成関数の微分 テーラー展開 I テーラー展開 II テーラー展開 III テーラー展開 IV テーラー展開 V テーラー展開 VI オイラーの関係式 ロピタルの定理 I ロピタルの定理 II 証明を覚えることは重要ではない。 重要なのは，これらの公式や定理を (高校までで習う 2 次方程式の解の公式や微分の公式のように) 使えるよう になることである． Typeset by Akio Namba using Powerdot. – 2 / 18 2 項定理 重要な数学公式と定理 公式と定理について 2 項定理 自然対数と e e の関数の微分 微分に関する公式 I 微分に関する公式 II 微分に関する公式 III 合成関数の微分 テーラー展開 I テーラー展開 II テーラー展開 III テーラー展開 IV テーラー展開 V テーラー展開 VI オイラーの関係式 ロピタルの定理 I ロピタルの定理 II pa bqn ¸n nC k a b k n k k 0 が成立する．ただし nC x 2 項定理と呼ぶ． n! である．この関係を x!pn xq! 例えば，n 2, 3 とすれば， pa pa bq2 bq3 a2 a3 2ab b2 3a2 b 3ab2 b3 となることが確認できる． Typeset by Akio Namba using Powerdot. – 3 / 18 自然対数と e 重要な数学公式と定理 公式と定理について 2 項定理 自然対数と e e の関数の微分 微分に関する公式 I 微分に関する公式 II 微分に関する公式 III 合成関数の微分 テーラー展開 I テーラー展開 II テーラー展開 III テーラー展開 IV テーラー展開 V テーラー展開 VI オイラーの関係式 ロピタルの定理 I ロピタルの定理 II e lim x Ñ8 1 1 x x で定義される e を自然対数の底と呼ぶ． e は e 2.71828 という値を取る． e を底に持つ対数を自然対数と呼ぶ．自然対数を表す場合 には e を省略して loge x log x のように書くことができる． Typeset by Akio Namba using Powerdot. – 4 / 18 e の関数の微分 重要な数学公式と定理 公式と定理について 2 項定理 自然対数と e e の関数の微分 微分に関する公式 I 微分に関する公式 II 微分に関する公式 III 合成関数の微分 テーラー展開 I テーラー展開 II テーラー展開 III テーラー展開 IV テーラー展開 V テーラー展開 VI オイラーの関係式 ロピタルの定理 I ロピタルの定理 II pe q1 ex, x 1 1 plog xq x という性質がある． Typeset by Akio Namba using Powerdot. – 5 / 18 微分に関する公式 I 重要な数学公式と定理 公式と定理について 2 項定理 自然対数と e e の関数の微分 微分に関する公式 I 微分に関する公式 II 微分に関する公式 III 合成関数の微分 テーラー展開 I テーラー展開 II テーラー展開 III テーラー展開 IV テーラー展開 V テーラー展開 VI オイラーの関係式 ロピタルの定理 I ロピタルの定理 II f p xq, gp xq が微分可能であるとすると，次の関係が成立す る．ただし，a, b は定数で，3 に関しては gp xq 0 とする． 1. 2. 3. ta f p xq bgp xqu1 a f 1p xq bg1p xq t f p xqgp xqu1 f 1p xqgp xq f p xqg1p xq " f p xq *1 f 1p xqgp xq f p xqg1p xq gp x q tgp xqu2 Typeset by Akio Namba using Powerdot. – 6 / 18 微分に関する公式 II 重要な数学公式と定理 公式と定理について 2 項定理 自然対数と e e の関数の微分 微分に関する公式 I 微分に関する公式 II 微分に関する公式 III 合成関数の微分 テーラー展開 I テーラー展開 II テーラー展開 III テーラー展開 IV テーラー展開 V テーラー展開 VI オイラーの関係式 ロピタルの定理 I ロピタルの定理 II (2 の証明) dt f p xqgp xqu dx f p x h qg p x lim Ñ0 h ! f px hlim Ñ0 f 1 p x qg p x q hq f p xqgp xq h f p xq gp x gp x hq f p x q hq h f p xqg1 p xq hq gp x q ) h Typeset by Akio Namba using Powerdot. – 7 / 18 微分に関する公式 III 重要な数学公式と定理 公式と定理について 2 項定理 自然対数と e e の関数の微分 微分に関する公式 I 微分に関する公式 II 微分に関する公式 III 合成関数の微分 テーラー展開 I テーラー展開 II テーラー展開 III テーラー展開 IV テーラー展開 V テーラー展開 VI オイラーの関係式 ロピタルの定理 I ロピタルの定理 II (3 の証明) " f p xq * d dx gp xq " f p x hq f p x q * 1 hlim Ñ0 h gp x hq gp xq ! f p x hq f p x q 1 gp x q hlim Ñ0 gp x hqgp xq h gp x hq gp x q ) f p xq f 1 p xqgp xq f p xqg1 p xq tgp xqu2 h Typeset by Akio Namba using Powerdot. – 8 / 18 合成関数の微分 重要な数学公式と定理 公式と定理について 2 項定理 自然対数と e e の関数の微分 微分に関する公式 I 微分に関する公式 II 微分に関する公式 III 合成関数の微分 テーラー展開 I テーラー展開 II テーラー展開 III テーラー展開 IV テーラー展開 V テーラー展開 VI オイラーの関係式 ロピタルの定理 I ロピタルの定理 II y f p xq は x で微分可能，z gpyq は y で微分可能である とする．この時，z gp f p xqq は x で微分可能で dz dx が成立する． (例) z pax g1pyq f 1p xq dz dy dy dx bq2 とする．y ax dz dy 2y 2pax bq, b とすれば z y2 で dy dx a したがって dz dx dz dy dy dx 2apax bq Typeset by Akio Namba using Powerdot. – 9 / 18 テーラー展開 I 重要な数学公式と定理 公式と定理について 2 項定理 自然対数と e e の関数の微分 微分に関する公式 I 微分に関する公式 II 微分に関する公式 III 合成関数の微分 テーラー展開 I テーラー展開 II テーラー展開 III テーラー展開 IV テーラー展開 V テーラー展開 VI オイラーの関係式 ロピタルの定理 I ロピタルの定理 II 関数 f p xq が a, x を含む閉区間で n 回微分可能ならば f p xq f 1 paq f 2 paq f paq p x aq p x aq2 1! 2! f pn1q paq pn 1q! p x aqn1 f pnq pξq p x aqn n! を満たす ξ が a と x の間に存在する．ただし， f n paq は f p xq を n 回微分した関数を x a で評価したものである． この関係はテーラーの定理と呼ばれる． Typeset by Akio Namba using Powerdot. – 10 / 18 テーラー展開 II 重要な数学公式と定理 公式と定理について 2 項定理 自然対数と e e の関数の微分 微分に関する公式 I 微分に関する公式 II 微分に関する公式 III 合成関数の微分 テーラー展開 I テーラー展開 II テーラー展開 III テーラー展開 IV テーラー展開 V テーラー展開 VI オイラーの関係式 ロピタルの定理 I ロピタルの定理 II テーラーの定理で a 0 とおけば， f p xq が 0, x を含む区間 で n 回微分可能ならば f p x q f p0 q f 1 p0q f 2 p0q 2 x x 1! 2! f pn1q p0q n1 f pnq pξq n x x n! pn 1q! を満たす ξ が 0 と x の間に存在するということになる．こ れをマクローリンの定理と呼ぶ． Typeset by Akio Namba using Powerdot. – 11 / 18 テーラー展開 III 重要な数学公式と定理 公式と定理について 2 項定理 自然対数と e e の関数の微分 微分に関する公式 I 微分に関する公式 II 微分に関する公式 III 合成関数の微分 テーラー展開 I テーラー展開 II テーラー展開 III テーラー展開 IV テーラー展開 V テーラー展開 VI オイラーの関係式 ロピタルの定理 I ロピタルの定理 II テーラーの定理より， f p xq が a, x を含む閉区間で何回でも 微分可能ならば f 1 paq f 2 paq f p xq f paq p x aq p x aq2 1! 2! f pnq paq n! p x aqn 8̧ f pnq paq p x aqn n! n0 が成り立つ．このような展開を f p xq の a の周りのテーラー 展開と呼ぶ． Typeset by Akio Namba using Powerdot. – 12 / 18 テーラー展開 IV 重要な数学公式と定理 公式と定理について 2 項定理 自然対数と e e の関数の微分 微分に関する公式 I 微分に関する公式 II 微分に関する公式 III 合成関数の微分 テーラー展開 I テーラー展開 II テーラー展開 III テーラー展開 IV テーラー展開 V テーラー展開 VI オイラーの関係式 ロピタルの定理 I ロピタルの定理 II 特に a 0 とすれば f 1 p0q f 2 p0 q 2 f p xq f p0q x x 1! 2! f pnq p0q n n! x 8̧ f pnq p0q xn n! n0 が成り立つ．このように a 0 の周りでのテーラー展開 をマクローリン展開と呼ぶ． Typeset by Akio Namba using Powerdot. – 13 / 18 テーラー展開 V 重要な数学公式と定理 公式と定理について 2 項定理 自然対数と e e の関数の微分 微分に関する公式 I 微分に関する公式 II 微分に関する公式 III 合成関数の微分 テーラー展開 I テーラー展開 II テーラー展開 III テーラー展開 IV テーラー展開 V テーラー展開 VI オイラーの関係式 ロピタルの定理 I ロピタルの定理 II (例 1) e0 開は 1 と pexq1 ex を用いると，ex のマクローリン展 ex e0 1 e0 x 1! x x2 2! e0 2 x 2! e0 n x n! xn n! 8̧ xn n! n 0 Typeset by Akio Namba using Powerdot. – 14 / 18 テーラー展開 VI 重要な数学公式と定理 公式と定理について 2 項定理 自然対数と e e の関数の微分 微分に関する公式 I 微分に関する公式 II 微分に関する公式 III 合成関数の微分 テーラー展開 I テーラー展開 II テーラー展開 III テーラー展開 IV テーラー展開 V テーラー展開 VI オイラーの関係式 ロピタルの定理 I ロピタルの定理 II (例 1) sin 0 0, cos 0 1 および psin xq1 pcos xq1 sin x を用いると cos 0 x sin x sin 0 1! x3 x5 x 3! 5! cos x, sin 0 x2 cos 0 x3 2! 3! 8̧ 2n 1 x p1qn p2n 1q! 2n 1 x p1qn p2n 1q! n0 同様に cos x 1 8̧ x2 2! x4 4! 2n x p1qn p2nq! 2n x p1qn p2nq! n0 Typeset by Akio Namba using Powerdot. – 15 / 18 オイラーの関係式 重要な数学公式と定理 公式と定理について 2 項定理 自然対数と e e の関数の微分 微分に関する公式 I 微分に関する公式 II 微分に関する公式 III 合成関数の微分 テーラー展開 I テーラー展開 II テーラー展開 III テーラー展開 IV テーラー展開 V テーラー展開 VI オイラーの関係式 ロピタルの定理 I ロピタルの定理 II e のマクローリン展開において， x を ix (ただし i で置き換えると x ? 1) n x3 x4 x5 nx i 3! 4! i 5! i n! e 1 ix 2 4 3 5 x x x x 1 2! 4! i x 3! 5! cos x i sin x ix eix cos x x2 2! i sin x をオイラーの関係式という． Typeset by Akio Namba using Powerdot. – 16 / 18 ロピタルの定理 I 重要な数学公式と定理 公式と定理について 2 項定理 自然対数と e e の関数の微分 微分に関する公式 I 微分に関する公式 II 微分に関する公式 III 合成関数の微分 テーラー展開 I テーラー展開 II テーラー展開 III テーラー展開 IV テーラー展開 V テーラー展開 VI オイラーの関係式 ロピタルの定理 I ロピタルの定理 II lim f p xq lim gp xq 0 かつ x a の近くで f p xq, gp xq はと Ña Ña もに微分可能で g1 p xq 0 のとき， x x f p xq lim xÑa gp xq f 1 p xq lim xÑa g1 p xq が成り立つ． この定理はロピタルの定理と呼ばれる． この定理の条件において， 「lim f p xq lim gp xq 0」を Ña Ña 「lim f p xq lim gp xq 8」と置き換えても構わない．また， x Ña x Ña 「 x Ñ a」のかわりに「 x Ñ 8」または「 x Ñ 8」と置き 換えても構わない． x x Typeset by Akio Namba using Powerdot. – 17 / 18 ロピタルの定理 II 重要な数学公式と定理 公式と定理について 2 項定理 自然対数と e e の関数の微分 微分に関する公式 I 微分に関する公式 II 微分に関する公式 III 合成関数の微分 テーラー展開 I テーラー展開 II テーラー展開 III テーラー展開 IV テーラー展開 V テーラー展開 VI オイラーの関係式 ロピタルの定理 I ロピタルの定理 II (例) x lim xÑ8 e x sin x lim xÑ0 x 1 lim xÑ8 e x 0 cos x lim xÑ0 1 1 Typeset by Akio Namba using Powerdot. – 18 / 18
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