第３章 余剰生産量モデル surplus production model 「水産資源学」 北海道大学水産学部 准教授 松石 隆 1 ３．１ ラッセルの方程式 再生産機能を利用して、適正な漁獲を行おうとする考え 方 Russell, E. S. (1931) Some theoretical considerations on the ‘overfishing’ problem. Journal du Conseil International pour l’Exploration de la Mer, 6, 320. はじめの資源量P1, １年後の資源量P2 P2 = P1 + ( A + G ) − (Y + M ) A:加入量 G：成長量 Y:漁獲量 M：死亡量 ( A + G ) > (Y + M ) P2 > P1 ( A + G ) < (Y + M ) P2 < P1 ( A + G ) = (Y + M ) P2 = P1 2 3.2 シェーファーのモデル ラッセルのモデルを変形し、持続漁獲量を算定 Ye = V = A + G − M V:自然増加量 Ye 持続漁獲量 Vは資源量Pによって異なる P=0ならば 明らかにV=0 これ以上資源が増大できないP∞ がありそこではV=0 P=0とP∞の間に最大自然増加量＝維持漁獲量を得るPがある はず 最大維持漁獲量 Maximum Sustainable Yield / MSY 3 3.2.2 維持漁獲量と資源量 以下関係に基づき、Yeを計算 しPとの関係を図示 P2 − P1 = ∆P ∆P = Ye − Y Ye = ∆P + Y 放物線に当てはめてMSYを 推定 過去にCPUEが270～280ポ ンドだったという情報あり Schaefer, M. B. (1954) Some aspects of the dynamics of populations important to the management of the commercial marine fisheries. Bulletin, Inter-American Tropical Tuna Commission, 1, 27-56. 4 3.2.3 余剰生産モデルの仮定 1. 2. 3. 4. 5. Equilibrium condition: 資源は平衡状態にあり 環境が安定している Single Population: 対象資源は独立した系群 Fishable population constant：年齢組成を無 視できる Constant catchability: 漁獲効率が一定 No time lag: 自然増加量がその瞬間の資源量 によって決まる 5 3.2.4 漁獲が無い場合の個体群の増殖 増殖制限が無い場合 自然増加量の定式化 dP = P ⋅ f (P ) dt 制限の無い増加（ねずみ算式） f (P ) = r dP = rP dt P = P0 e rt 6 3.2.4 漁獲が無い場合の個体群の増殖 増殖制限が有る場合 制限がある場合 P f ( P ) = r 1 − K dP P = rP1 − dt K K P= K − r (t − t 0 ) 1 + − 1e P0 K P= 1 + e a − rt ここで K e a = − 1e rt0 P0 L=K 7 3.2.5 シェーファーのモデル 漁獲がある場合 基本式 dP P = rP1 − − qXP dt K r: 内的自然増加率 P:資源量 K：環境収容量 q：漁獲効率 X:漁獲努力量 漁獲量 Y = qXP 持続漁獲量 dP =0 dt P Ye = qX e P = rP 1 − K このときCPUE uは u = Ye X = qP P =u/q 8 CPUEと努力量Xの関係 P Ye = qX e P = rP 1 − K P qX e = r 1 − K qX e P = 1− r K qX e P = 1− K r qX e P = K 1 − r qX Ye = qX e P = qX e K 1 − e r q2K 2 Xe Ye = qKX e − r Ye q2K u= = qK − Xe Xe r 9 努力量とSYの関係 P Ye = qX e P = rP 1 − K 10 維持漁獲量と資源量・努力量の関係 資源量と維持漁獲量の関係 努力量と維持漁獲量の関係 P Ye = rP 1 − K Ye q2K 2 Xe Ye = qKX e − r Ye P Xe 11 MSY 維持漁獲量の最大値が MSYであるので微分し 2 q K 2 Ye = qKX e − Xe r Ye = MSYの時 dYe q2K = qK − 2 Xe = 0 dX e r X MSY その時の維持漁獲量 MSYは r q K r − MSY = qK r 2q 2q 2 2 rK = 4 r = 2q 12 MSYを満たす平衡資源量 Ye = qX e P Ye P= qX e PMSY ( Ye rK 4 ) K = = = qX e q(r 2q ) 2 MSYのとき r Xe = 2q rK Ye = 4 13 維持漁獲量と資源量・努力量の関係 資源量と維持漁獲量の関係 努力量と維持漁獲量の関係 P Ye = rP 1 − K q2K 2 Xe Ye = qKX e − r rK 4 rK 4 Ye Ye r 2q K 2 P K Xe 14 MSYの求め方 CPUEとＸの関係から回帰直線 q2K 2 Xe Ye = qKX e − r q2K Xe u = qK − r u = a − bX qK = a q2K r = b ( a2 rK qK ) = = = 2 4 4(q K r ) 4b 2 MSY = Ymax X opt r a r 1 = = (qK ) 2 = 2q 2 q K 2b Ymax = a 2 4b X opt = a 2b 15 補足：MEY 持続漁獲高・コスト(\) Maximum Economical Yield MEY 努力量X 16 3.2.6 実例 King 1995 17 3.3 フォックスのモデル シェーファーのモデルでは、自然増加がロジス ティック曲線に従うと仮定 フォックスのモデルではゴンペルツ曲線に従うと 仮定 18 3.3.1 概要 dP = KP (ln L − ln P ) − qXP dt Y = X (qL )e uopt = qL e X opt = K q − (q K ) X u = (qL )e − (q K ) X ln u = ln (qL ) − (q K )X Ymax = KL e ln(CPUE) lnu qL − (q K ) 努力量X 19 3.4 ペラ・トムリンソンモデル dP = HP m − KP dt z dP P = rP 1 − dt K1 Y = HP m − KP = qXP K (1 − m ) X opt = mq 1 K m −1 Popt = mH Ymax K = H mH m m −1 K − K mH 1 m −1 1 m −1 qX + K Y = qX H 1 Y qf + K m −1 u = = q X H 20 21 3.5 r-, K-戦略 r-戦略：rを大きくすること によって資源を維持しよ うとする戦略 環境変動が大きい 餌を見つける能力が高い 餌が豊富にある 成熟が早い サンマ、マイワシ、ニシンな どの浮魚類 dN N = r 1 − N dt K K-戦略：Kを大きくするこ とによって資源を維持し ようとする戦略 環境変動が小さい rが小さい 餌を見つける能力が低い 成熟が遅い カツオ、マグロ、カレイ、ヒラ メ 22 まとめ ラッセルの方程式：資源動態を表す シェーファーのモデル：ロジスティック曲線を用いて MSY等を求めることができる u = a − bX Ymax = a 2 4b , X opt = a 2b フォックスモデル、ペラトムリンソンモデル：シェーファー モデルの拡張 r-戦略：多産、浮魚に多い K-戦略：少産、底魚に多い 23 Vocabulary Surplus Production Model Production Model Recruitment overfishing Growth overfishing Natural Increase MSY/ Maximum Sustainable Yield Equilibrium condition Catchability Intrinsic rate of increase Intrinsic growth rate 24
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