98E13022 近藤久丸
98E13037 本間陽平
98E13039 三冨謙介
１．はじめに
私たちは、もともと世界７不思議のひとつ
である、ピラミッドについて興味をもってい
４．研究内容
（１）ピラミッドの構造
・高さ 146 メートル
た。そしてピラミッドには私たちには想像も
・底面は一辺 230 メートルの正方形、傾
つかないほど発展した数学が存在しているこ
斜 52°
とを知り、私たちは、このピラミッドに隠さ
・平均 2.5ｔの石、230 万個使用
れた数学を研究しようと考えた。それととも
内部は主に、王の間、重量軽減の間、通気
に、この芸術的ともいえる規則正しく積まれ
孔、大回廊、女王の間など複雑な構造になっ
た巨石の建造物であるピラミッドを現在の数
ている。いろいろな謎が多いのだが、テーマ
学にどうにか活かすことができないか私たち
とは関係ないので、ここでは考えないものと
なりに問題を考えまとめた。
する。現在では、この途方もない作業を 10
万人がかりで 20 年近くで仕上げたといわれ
３．研究方法
図書館やインタ―ネットで様々な文献に
あたり、その中から必要なものをピックアッ
プし、自分たちの言葉でまとめた。
ている。
（２）ピラミッドに用いられている数学
①ピラミッドの底面が正確な正方形になっ
ている。現在では当たり前のように正方形が
あふれている。紀元前でしかも一辺が 230 メ
２．研究対象
現在、エジプトで発見されているピラミッ
ートルにも及ぶ広さの正方形を最大全長の
1/14000 以下の誤差で仕上げているのである。
ドは全部で 79 基ある。大きさや形は様々で
②底面の一辺の長さと高さの半分との比の
あるが、有名なものではマスタバといわれる
値がおおよそ、πになっている。構造を見た
正面から見ると台形の形のものや、階段ピラ
だけではわかりにくいのだが、四つの辺の長
ミッドというわれる文字通り階段状のものが
さと高さとの比の値が 2πなのである。現在
ある。その中でも特に興味深いものは、ギザ
では円周率、πは約 B.C200 にアルキメデス
の大ピラミッドである。このピラミッドは
によって 3.14 という値を見出したというわ
B.C2550 年頃、クフ王の墓として造られたと
れている。すなわち、アルキメデスが発見す
考えられている。この大ピラミッドの中にこ
るよりはるか昔になんらかの方法でπを見出
そ、発展した数学的な考え方が隠されている
したのである。
のである。これからは、このギザの大ピラミ
ッドを中心に考えていくことにする。
③傾斜の角度がそれぞれ、51.49°、
51.50°、
51.51°、51.51°という角度になっている。
これらの角度は先ほどの高さと底辺の長さに
も関係しているが、黄金分割という、古来最
も理想的とされてきた比例法が使われている
のである。
る。
円盤の加工が完璧ならば、この場合のπは
以上のようにギザの大ピラミッドは、4500
正しい円周率になるから、底辺の長さは 140
年以上前に我々が想像もできないほど精密に
×3､1416＝439､824 キュービットになる。こ
造られたのである。そして、そこには様々な
こから、高さと底辺の長さの比の値が２πと
数学的な測量方法が隠されていたのである。
なることが分かる。この考えを元にするとπ
の値が分かっていなくてもよさそうに感じて
しまうが、当時のエジプトでは円の面積の求
（３）隠された数学的測量方 法に迫る
①底面の正方形の謎
め方に、πは使われていたのである。
直径 9 ケットのまるい土地の面積を求める
大ピラミッドの底面の測量方法には様々な
とき、直径 9 ケットの 1/9、すなはち 1 ケッ
見解がある。その中で最も有力な考え方は、
トを引いた値を二乗しているのである。つま
『縄張り師』によるものである。
り、(9−９×1/９) ２ である。これを一般化し
縄に等間隔で結び目を作り、同数の結び目
て考えると、半径をｒとして
（2ｒ−2ｒ×1/９) ２
を取り正三角形を作る。次に底辺の真ん中に
きた結び目に斜辺の片方をもってくると直角
である。
ができる。その直角を繰り返し使い正確な直
これを整理すると
角の正方形を作ったと考えられるのである。
(16/９×ｒ) ２
②πの謎
大ピラミッドの底辺の長さの平均値は 230､
＝(16/９) ２×ｒ２
になる。
364m と測量されている。しかし、頂上部分
ここで 16/９の二乗を計算すると、なんと
約 10ｍは石材が盗まれているので、当初の高
約 3.１６とπに近似するのである。恐らく、
さは実測できない。しかし、高さを半径とす
この値はつぎのような考えから求められたと
る円周の長さが底辺の長さの和に等しいとい
考えられる。
う関係から逆算して、高さ＝底辺× 2÷ π と
・円に外接する正方形を書く。
して 146,654ｍと計算されている。
・正方形の一辺をそれぞれ三等分する。
底辺の長さの計算にπが入っているのは、
建築現場でピラミッドの底辺のような大きな
長さを正確に測量する方法として、円盤を転
がして測ったことが考えられる。例えば、硬
い石の板を削って、直径が正しく 1 キュウビ
ット（王の指先からひじまでの長さとされて
いる）の円盤を造り、この円盤を適当な回数
だけ転がして距離を測ったと考えてみる。ピ
ラミッドの高さが 280 キュービットと決まっ
ていたとすると、底辺の長さは(280×2× π
÷4) キュービット＝ (140×π)キ ュ ー ビ ッ ト
になる。円盤を 1 回転した時の円周の長さは
πキュービットになるから、底辺の長さは、
この円盤を 140 回転させれば測ることができ
・となりあった辺の三等分点どうしをつなぎ、
八角形を書く。
・この八角形と円が同じ面積であるとして、
以下のように計算する。
ⅰ．この円の直径を 9cm とする。
①正方形 １：１
ⅱ．この八角形の面積は、向かい合った三
②ルート２矩形 1：1.414＝5：7.07
等分線どうしを結んでできる正方形
③ルート３矩形 1：1.732＝5：8.66
を使うと、
④ルート４矩形 1：2 ＝5：10
２
２
3 ×5＋3 ÷2×4＝63
⑤ルート５矩形 1：2.236＝5：11.18
となる。
⑥黄金矩形 1：1.618＝5：8.09
ⅲ．63＝8
2
⑦ヴィネケンの比率 1：1.572＝5：7.85
と考える。
⑧ツェデル ・バウエル 1：1.581＝5：7.905
ⅳ．円の面積の公式は、
(円周率)×(半径)
第 6 の比が、ここにいう黄金率であり、また、
で、半径が 9/2 だからこれより立式
それぞれの差はほとんど僅少であり、実用上
して、
は５：8 として扱っても差し支えない数値で
π× (9/2) =8
２
2
ⅴ．上式より、
あり、最も理想的とする調和率は実に 5 ：8
に要約しうる比であったことを物語っている。
π＝64×4/81＝256/81＝3.16049383
と求められる。
③黄金分割
Ⅰ 黄金比とは
黄金比とは、自然や美術作品の形態美を規
定している各種の比例の中で、古来最も理想
的とされ、その意味で特に黄金の名を冠され
てきた比例法であり、その紀元は遠くエジプ
トの古王国時代あるいはもっと古くまでさか
のぼる。そして中世時代には、この比例は極
Ⅱ 黄金比の証明
ではここで、黄金比の証明の仕方として、
度に神秘化され、神意によって授けられた秘
一例を挙げてみる。
法 で あ る と し て 、 神 秘 比 例 法 （ Divina
まず前提として、黄金比（１：1.618）は
Proportion）と呼ばれていた。
１：（１＋√5）／2 と表せる。
黄金分割という呼称は、もともとユークリ
ッドの幾何学書から出た命題の一つで、黄金
Ａ
分割、ないしその分配による量の比率を黄金
比あるいは黄金率と呼ぶ。
黄金率は、エール大学のジェイ・ハンビッ
Ｂ Ｃ
チ、オーストリア人のツェーデル・バウエル、
カール・ヴィネケンらによって、異なる手段
としたときに、Ａ ：Ｂ＝Ｂ：Ｃになるような
で発表された。
比が黄金比である。その式から
その結果、ギリシアの比例法は、正方形を
Ｂ×Ｂ＝Ａ×Ｃが導ける。
加えて次の①∼⑥の６種類の矩形からハンビ
Ａ＝Ｂ＋Ｃであるから、
ッジは引き出した。
Ｂ×Ｂ＝( Ｂ＋Ｃ)×Ｃである。
ここで、黄金比ｒをｒ＝Ｂ／Ｃとおけば、Ｂ
＝Ｃ×ｒだから、
（Ｃ×ｒ）× （Ｃ×ｒ）
を計算する。
条件(a) 幼成体のウサギのつがいは１ヶ月す
＝（Ｃ×ｒ＋Ｃ）×Ｃ
ると、
となる。式を整理して、両辺をＣ×Ｃで割る
必ず成体になる。
条件(b) 成体のウサギのつがいは 1 ヶ月する
と、
ｒ×ｒ−ｒ−１＝０
と、必ず 1 つがいを産む。
となる。これに解の公式を当てはめると、
条件(c) ウサギは生殖能力を有し、考える期
ｒ＝（１±√５）／２
間において死亡しないものとする。
が得られる。長さの比だから、マイナスの解
を無視すると、それが黄金比である。
(最初の月) 幼生体の 1 つがいがいる。
尚、なぜ最も美しいとされるのかは不明で
(1 ヵ月後) 1 つがいの幼生体は成体となる。
ある。
(2 ヵ月後) 1 つがいの成体は 1 つがいを産む。
(3 ヵ月後) 1 つがいの生態はつがいを産み、
1 つがいの幼成体は成体となる。
Ⅲ 黄金比とフィボナッチ数列
黄金比を語る上で、必ず現れるのがフィボ
(4 ヵ月後) ２つがいの生態は２つがいを産
ナッチ数列という数列である。
み、１つがいの幼成体は成体と
・フィボナッチ数列について
なる。
こ の 数 列 は 、 フ ィ ボ ナ ッ チ(Fibonacci ＝
(５ヵ月後) ３つがいの生態は３つがいを
Leonardo da Pisa，1174？∼1250，Liber
産み、２つがいの幼成体は成体
abaci 〔1202〕を著す)が発見したもので
となる。
① ａ(0)＝１
(６ヵ月後) ５つがいの生態は５つがいを
② ａ(1)＝１
産み、３つがいの幼成体は成体
③ ａ(n)＝ａ( ｎ−2)＋ａ(ｎ−1)
となる。
で定義され、
・・・
1，1，2，3 ，5，8，13、…
0
1
2
3
4
5
幼成体(組） 1
成体( 組)
―
―
1
1
2
3
1
1
2
3
5
1
1
2
3
5
8
のウサギのつがいは幼生体であるが、一定期
6
7
間の後に成長し、生殖能力を持つ生体になる。
5
8
となるものである。
どのような事象の数学モデルとしてフィボ
ナッチ数列が現れるか見てみよう。
期間
総つがい数
雌雄一組のウサギがいたとしよう。まだこ
実際には成体になるまでの期間も、繁殖によ
8
って生まれてくる個体数もまちまちであり、
成体になる以前に死亡する場合や繁殖能力を
持たない遺伝的奇形もあるかもしれないので
個体数の増え方は一様ではないが、概ね繁殖
を繰り返しウサギの個体数は増大してゆく。
そこで、次のような条件を満たすと仮定し
て、個体数の増加の仕方がどのようであるか
8
9
10 11 12 ・・・
13 21 34 55 89 ・・・
13 21 34 55 89 144 ・・・
13 21 34 55 89 144 233 ・・・
ｎ≧２として
(ｎヵ月後の成体のつがい数)
＝( ｎ−１ヵ月後の成体と幼成体のつがい
数)
＝(ｎ−１ヵ月後の総つがい数)
ａ10 ／ａ９ ＝ 55／34＝1.61764705･･･
(ｎヵ月後の幼成体のつがい数)
ａ11 ／ａ10 ＝ 89／55＝1.61818181･･･
＝( ｎ−１ヵ月後の成体のつがい数)
ａ12 ／ａ11 ＝ 144／89＝1.61797752･･･
＝( ｎ−２ヵ月後の総つがい数)
のように、ａ ｎ ＋1 ／ａｎ の値はｎが大きくなる
につれてα＝1.61803398･･･へ漸近的に近づ
∴ ( ｎヵ月後の総つがい数)
いていくことが推測できる。
＝(ｎ−１ヵ月後の総つがい数)
＋(ｎ−２ヵ月後の総つがい数)
( ４) ピ ラ ミ ッ ド に 関 す る 問 題
① ピラミッドの高さを求める。
最初( ０ヵ月後と便宜的に規約) と１ヵ月後
の総つがい数はそれぞれ１であるから、
問題 中学２年の数学の教科書( 教育出版) に
は、「三角形の相似」の章の最初の部分に、
大昔の人( ターレス) が、エジプトにあるピラ
f(ｎ)＝(ｎヵ月後の総つがい数) とおけば、
ミッドの高さを、棒を使って三角形の相似か
ら、
f(０)＝f(１)＝１であり、
(棒の影の長さ)：(ピラミッドの影の長さ)
f(ｎ)＝f(ｎ−１) ＋f(ｎ−２) （ｎ≧２）
＝( 棒の長さ)：(ピラミッドの高さ)
これはフィボナッチ数列である。
として求めたと書いてある。
・フィボナッチ数列と黄金比の関係
黄金比は
しかし、ピラミッドは建物や木などとは違っ
て、影を( 頂点の)真下から測ることなどでき
1：(√５＋１) ／２＝(√５-１) ／２：１
フィボナッチ数列の特性方程式を考える
ない。
では、実際はどうやってピラミッドの高さ
と(ここでは割愛する)その根には、
を求めたのであろうか？ 私たちの解答を以
α＝( １＋√５)／２
下に示す。
β＝ ( １ − √ ５ ) ／ ２ ＝ − ( √ ５ − １ ) ／ ２
＝−１／α
には黄金比の数が現れている。
{ａｎ};1，1，2，3 ，5，8，13，21，34，55，
89,144･･･
の前項と次項をそれぞれ分母と分子にする比
を考えれば、
(解答 1) ピラミッドは北半球にあるとする。
ａ２／ａ１ ＝ １／１＝１
春分の日( または秋分の日)に午前 10 時と、
ａ３ ／ａ２ ＝ ２／１＝２
午後 2 時の 2 回、ピラミッドの影の長さを測
ａ４ ／ａ３ ＝ ３／２＝1.5
定する。
ａ５ ／ａ４ ＝ ５／３＝1.66666666･･･
ピラミッドの中心を点 A 、午前 10 時のと
ａ６ ／ａ５ ＝ ８／５＝1.6
きの影の先端を点 B 、午後 2 時のときの影の
ａ７ ／ａ６ ＝ 13／８＝1.625
先端を点 C とする。1 時間で太陽は、15 度移
ａ８ ／ａ７ ＝ 21／13＝1.61538461･･･
動するので、4 時間では 60 度。入射角が等し
ａ９／ａ８＝ 34／21＝1.61904761･･･
いので AB ＝AC となる。
△ABC において、∠BAC＝60 度、AB=AC
で あ る か ら 、 △ABC は 正 三 角 形 と な る 。
７．終わりに
AB=AC=BC、BC が求める影の長さとなる。
私たちは興味があってピラミッドや古代エ
(棒の影の長さ)：(ピラミッドの影の長さ)
ジプトについて調べてきた。今回の研究では
＝( 棒の長さ)：(ピラミッドの高さ)
ピラミッドの構造について様々な数学的測量
直接測定できないピラミッドの影の長さを
方法が使われていることがわかった。つまり、
上記の方法で求め、相似の関係を使って、ピ
ピラミッドには私たちが普段使っている円周
ラミッドの高さを求めたことが予想される。
率や黄金比が存在していた。
しかし、この方法では特別な比にしか測定で
きないので不便である。
私たちが研究してきた中で、やはり一番困
ったのがどうやってピラミッドは作られたの
か、ということだった。これは私たちが、普
段から議論していることである。それと同時
に UFO やムー大陸、火星の話もでてきたの
である。これらは私たちにはどうやって調べ
るのかもわからず、少ない情報を使って想像
の中で議論していることである。そのくらい
私たちは神秘に関することが好きなのである。
私たちはこの研究を経て、未知なるものへの
あくなき挑戦を誓ったのである。
(解答 2) ピラミッドの高さと棒の長さ( 高さ)
ここで取り上げたピラミッドに関すること
の比が分かればいいので、必ずしも直接真下
はその中のほんの一部である。かつ、ここに
からの距離が分からなくてもいいと思う。
代表されるように、ピラミッドから派生して
2 つの時刻における影のてっぺんの間隔を
いる数字は、数学においては無視できないく
それぞれ測定すれば、その比が分かるのでは
らい多く使われているのである。
ないだろうか。
ピラミッドの高さ＝(棒の長さ／a) ×b
図
８．参考文献
・中 田 紀 夫 ピ ラ ミ ッ ド で 数 学 し よ う 黎
明書房 1992
・高津道昭 ピラミッドはなぜつくられたか
新潮選書 1992
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