物理計測

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物理計測
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物理計測
§1.計測の
計測の意義
計測の意義
測定値から求められる最も確からしい値を最確値
最確値という．測定回数
n 回，測定値
最確値
計測とは，何らかの情報を抽出し，客観的かつ定量的に表示することである †1 ．
x 1,x 2 ,x3 ,…という測定を行ったとき，最確値 xa は以下のように定義される．
そのために測定（measurement）が行われる．計測（instrumentation）はそのための
xa =
方法論である．
1
n
n
∑x
(4.1)
i
i =1
計測において，ノイズ・誤差は必ず存在する．ゆえに，理論とは異なることを前
提としなければならない．また，先に結果を予測しない計測は科学的に無意味であ
(4.1)式は直接測定を行った場合にのみ成り立ち，相加平均と同じである．
り，結果を予測し，結果を評価して“計測”と言えるのである．
ここで蛇足的に相加平均と相乗平均の関係を考える．相乗平均とは，全測定値の
積のルートをとったものである．測定値全てが正の実数であるとすると，以下の関
係が成り立つ．
x1 + x 2 + x 3 + L + x n
≥
n
§2.測定法
測定法
測定において，その方法は大きく分けて 2 つある．
・直接測定
直接測定：測定量を，計測器を用いて直接測定する方法．ex.ブリッジ回路
直接測定
・間接測定
間接測定：測定量と一定の既知の関係にある量を測定して算出する方法．ex.熱電
間接測定
n
x1 x 2 x 3 L x n
(4.2)
等号が成り立つのは，全ての測定値が等しい値を持つときである．
ある測定値 x i，その最確値 x a ，測定値の真値を x t とすると，以下の量を定義でき
る．
対
間接測定では，直接測定量の誤差が目的量の結果へ影響を及ぼすため，注意が必要
誤差：
誤差 ε = x t − xi
である．
誤差率：
誤差率 ε ' =
x t − xi
× 100%
xt
残差：
残差 v = x a − x i
(4.3)
(4.4)
(4.5)
§3.誤差の種類と対策
誤差の種類と対策
通常，測定において真値はわからないため，誤差と誤差率は求められない．ゆえに，
誤差の種類は，大きく分けて 2 つある．
測定においては残差しか求めることしかできないのである †2 ．
・系統誤差
系統誤差：計器の狂い，近似から生じる誤差
etc…
系統誤差
・偶然誤差
偶然誤差：原因を特定できず，再現性もない．
偶然誤差
→較正不足が原因
→どんなに注意しても含まれる
誤差を減らす工夫としては，適切な校正（calibration）や，同一条件での繰り返しの
§5.誤差
誤差の伝搬
誤差の伝搬
測定量 x1 , x 2 に含まれる誤差を ∆x1 , ∆x 2 とし，目的量 y に含まれる誤差を ∆y とす
測定（その後統計的に処理）などが挙げられる．
る．測定量の和・差・積・商の計算によって，誤差の伝搬の割合が異なってくるの
で注意が必要である．
§4.誤差
誤差
1.和・差
そもそも，測定量の真値（true value）が最初からわかっているならば，測定をす
y + ∆y = (x1 + ∆x1 ) ± (x 2 + ∆x 2 ) = (x1 ± x 2 ) + (∆x1 ± ∆x 2 )
∴ ∆y = ∆x1 ± ∆x 2
る必要はない．なぜならば，測定とは未知である真値を求めるために行うからであ
る．しかし，広い意味で真値とは理論値や予測値のことを指すことが多い．
†1
†2
「けっこう」や「だいたい」といった曖昧な表現は避けるべきである．
レポートなどで誤差という言葉を使っても，それは黙認されることが多い．
(5.1)
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2.積
4
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ある測定における真値を x t とすると，測定値 x は図 6.1 に示すようなガウス分布


∆x   ∆x
∆y 
 = (x1 + ∆x1 )(x 2 + ∆x 2 ) = x1 1 + 1  x 2 1 + 2
y + ∆y = y1 +
x2
x1  
y 



∆x
∆x
∆x ∆x 2
= x1 x 2 1 + 1 + 2 + 1
x
x
x1 x 2
1
2

∆y ∆x1 ∆x 2
∴
=
+
y
x1
x2


∆x
∆x
 ≅ x1 x 2 1 + 1 + 2


x
x2
1






に従う．横軸は測定値で，縦軸はその測定値をとる確率である．つまり，真値付近
の値が得られる確率は高く，真値から離れた値が得られる確率は低くなるというこ




とである．
(5.2)
xt をとる確率の 60%の位置を，xt からの ± のずれとして，σ を用いて表す．σ を母
集団標準偏差（population standard deviation）という．σ は値の“ばらつき”を表し，
xt ± 3 σ の範囲に測定値の約 99.7%が含まれる．
ある値 x をとる確率 P(x)は以下の式で与えられる．
3.商

x 
∆x  ∆x
∆y  (x1 + ∆x1 ) x1  ∆x1  ∆x 2 
 = 1 1 + 1 1 − 2
1 +
1 +
 =
y + ∆y = y1 +
=




(
)
y
x
x
x
x
x
x
x1 
x2
∆
+
2 
2
2
2 
1 
2 


x 
∆x
∆x
∆x ∆x 2  x1  ∆x1 ∆x 2 

1 +
≅
= 1 1 + 1 + 2 − 1
−
x2 
x1
x2
x1 x 2  x 2 
x1
x 2 
∆y ∆x1 ∆x 2
∴
=
−
y
x1
x2
−1




P (x ) =
 (x − x )2 
exp − t 2 
2σ


2πε
1
(6.1)
x の値が真値 xt から離れるほど，exp の肩の値が負の方向に大きくなり，P(x)の値は
小さくなる．つまり，真値から大きく離れた値ほど，それを取る確率が小さくなる
ことを意味する．
(5.3)
母集団標準偏差 σ は以下のようになる．
σ=
§6.誤差
誤差の分布
誤差の分布
偶然誤差（random error）において，大きな誤差は小さな誤差より起きる確率が小
さく，+と-の誤差は同程度であるという性質を持つ．
1
n
n
∑ (x
− x)
2
t
i =1
(6.2)
(6.2)式は，電気回路における実効値 rms（root mean square）と同じ形をしているこ
とがわかる．
統計誤差は無く，偶然誤差のみを含むような測定条件要素を母集団（population）
という．母集団はガウス分布
ガウス分布（Gaussian
distribution）という確率分布に従う †3．
ガウス分布
以上の式において，通常真値 xt は未知であるため，代わりに最確値 x a を用いて計算
することになる．
P(x)
§7.最確値と確率誤差
最確値と確率誤差
ガウス分布からわかるように，真値から非常にかけ離れた値でも，取り得る確率
60%
は 0 ではない，つまり分布が±∞まで続いているのである．x に関して-∞から+∞まで
積分すると，当然ながら値は 1（=100%）となる．ここで，面積が全面積の 1/2 にな
xt - σ
図 6.1
xt
xt + σ
x
ガウス分布
る場合，つまり全測定データの 1/2 が含まれるような x=xt +ε を考える．そこで，以
下の方程式を解く．
∫
xt + ε
xt −ε
†3
ガウス分布を正規分布（normal distribution）と呼ぶこともある．
dx f (x ) =
1 ∞
dx f (x )
2 −∞
∫
(7.1)
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∑x y − n ∑x ∑y
b=
1
∑ x − n (∑ x )
1
すると，以下のような結果が得られる．
i
1
ε = 0.6745σ = 0.6745
n
n
∑ (x
t
− x)
2
(7.2)
i =1
i
2
i
i
2
i
(8.4)
i
ε を確率誤差
確率誤差（probable
error）という．(7.3)式を最確値 x a を用いて表すと，統計的
確率誤差
この場合は直線近似であるが，場合によっては曲線近似の場合もある．曲線近似に
に以下の式のように表される．
ついてはここでは触れないことにする．
1
n(n − 1)
ε = 0.6745σ = 0.6745
n
∑ (x
a
− x)
i =1
2
(7.3)
計測においては，計測値の最確値 xa と確率誤差 ε を以下のように表すことが多い．
x = xa ± ε
(7.4)
§8.最小 2 乗法
測定点がある関数に従っていると仮定して，任意の
関数に合てはめる方法をフィッティング（ fitting）と
y
いう．その中で最も代表的な方法が最小
最小 2 乗法（least
乗法
square method）である．
左のようないくつかの測定点を得たとき，最小 2 乗
x
法により測定点を 1 次関数 y=a+bx で近似する場合を
考える．直線 y=a+bx と i 番目の測定データ(x i,y i)との
図 8.1
測定結果
残差 v i は以下のようになる．
v i = (a + bx i) - y i
(8.1)
残差 v i の 2 乗総和 S（残差 2 乗和）は以下のようになる．
n
S=
∑ (y
− a − bx i )
2
i
i =1
(8.2)
ここで，残差 2 乗和 S を最小にするような a,b の組み合わせを求める．この a,b の
がフィッティング直線の係数となる．そのためには，S の極小値をとる a,b を求め
ればよいから，S の a,b 偏微分を求めて，それが 0 となる a,b を求める．結果的に，
a,b は以下のようになる．
a=
1
n
(∑ y + b∑ y )
i
i
(8.3)

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