1.縦の計算
（１.整式の加減 ３.展開）
二次式あるいは三次式を加減乗除する問題、3 乗やら 4 乗がやたらに出てき
て、計算間違いで苦い想いをした人が多いであろう。
これは、降べきの整理と、係数だけの縦の計算を使えば、圧倒的にミスが
減少する。
①降べきとは
3X2Y3―２X4Y＋X5－Y5－４X3Y2＋XY4
を
X5－２X4Y－４X3Y2＋３X2Y3＋XY4－Y5 と言うように
一般的には X の次数の高いものから、低い物の順に並べ直す事である。
良く見ると、X の次数は５・４・３・２・１と減って行くに従って Y の次
数は逆に０・１・２・３・４と増えて行くことに気がつく。
これを「X は左から、Y は右から降べき」と覚えよう。このように整理され
た形で見る習慣がついていれば、この式は、X・Y の５次式で
1－２－４＋３＋１－１ 「X５」と係数だけで表現できる。
「X5」は先頭の項が X５であることの覚書、これをふまえると
縦の計算ができる。
②縦の計算 はじめに難しい方から
(3X3－２X２Y＋XY2－２Y3)×(２X2＋３XY－Y2) などという奴
前の括弧内が（３－２＋１－２）で表わされ後ろは(２＋３－１)だ
これを縦の掛け算の形で計算する
３ －２ ＋１ －２
「X３」
２ ＋３ －１
「X２」
６ －４ ＋２ －４
＋９ －６ ＋３ －６
－３ ＋２ －１ ＋２
６ ＋５ －７ ＋１ －７ ＋２
「X５」
普通に知っている掛け算は、掛ける数を後ろの列に合わせるが、前の列に
合わせて書くことが違うし、繰り上がりをせず、一桁ずつ符号をつけて書く
ことが相違点だが、むしろ繰り上がりのない分普通の掛け算より楽であろう。
最後に文字式に戻す時に X５を先頭に左から、Y５を先頭に右から文字を書き加
えれば、
６X５＋５X4Y－７X3Y2＋X2Y3－７XY4＋２Y5 と書けばよい。
わずらわしい次数の表記から開放され、圧倒的にミスが減る。
もっとも計算の結果、3－２＋０－４ などのように途中に０が出てきたとき
３X３－２X2Y ０XY２－４Y3 とせず、３X３－２X2Y －４Y3 とやるのは
１X と書いてはいけないのと同じ理由だ。
また、掛ける式が ３X２－４Y２ であれば（３ －４）ではなく、
あるはずの０XY を考えて（３
＋０
－４）とやるのが大事なコツだ。
さて、易しい方とは何だろう、それは
A＝3X２－４X＋５
B=２X２＋３X－１ のとき、
２A(A－B) を求めよ。 なんて問題、掛け算と引き算があるが、括弧の中
を優先すると、次のように書ける。
A
＝
3 －４ ＋５
―B
＝ －２ －３ ＋１
A－B
＝ ＋１ －７ ＋６
×２A
＝
６ －８ ＋10
６ －42 ＋36
－８ ＋56－48
＋10－70＋60
２A(A―B)＝ ６－５０＋９２－118＋６０
なので
4
3
2
2
＝６X －５０X Y＋９２X Y －１１８XY3＋６０Y4 とやる
早くて正確でしょう。日頃から降べきに整理する習慣をつけよう。
私の方法では、解の公式を使う場面が多いから
５X２－３XY＋Y2－５X＋４Y－２ などという式は
(５)X２＋(－３Y－５)X＋（Y2＋４Y－２） と整理するのが習慣になっている
二次式の係数５に括弧をつける必要は無いが、A、B、C を決めるのには、こ
の方がよい。
2
2．単項式の乗法
(－２X３Y2)３(－XY３)２÷(－３X2Y2) というやつ
＋－の符号と、係数の数字、それぞれの文字 という具合に整理しなければな
らないのだが、一度整理したはずの符号を掛け算の途中でもう一度掛けてしまっ
たり、プレッシャーのためにミスが続出する問題だ。
① 手順
符号の処理は最初にやり、後は手を触れない。係数の数字は分数で計算、
文字は、各文字ごとに②の方法で計算
符号の処理、＋を掛けても符号は変わらない、－を掛けると符号が変わり
－で割っても符号がかわる。よって、掛け算・割り算に関わらず、－が何個あ
るかが符号の決め手。この問題の場合、最初の（ ）は３乗だから３個、次の
（ ）は２乗で２個、割っている（ ）にも一つあり合計６個、偶数なので＋
係数の数字は、掛け算は分数の分子、割り算は分母に次数の個数だけ書く
2⋅2⋅2 8
=
もちろん約分できればこのときにする
3
3
② 指数の計算は
X２×X3＝X5 なので，「掛け算は＋」（かけざんはぷらす）
X７÷X3＝X4 なので、「割り算はー」（わりざんはまいなす）
(X３)２ ＝X６ なので、「( )は×」 （かっこはかける）
1
X3÷X5＝X－２＝ 2 なので、特に「－乗は分母」
（まいなすじょうはぶんぼ）
X
と覚える。すると
X については ３×３＋１×２－２＝９ で９乗
Y については ２×３＋３×２－２＝10 で 10 乗
計算表記はこんな具合
(－２X３Y2)３(－XY３)２÷(－３X2Y2)
＝＋
＝
2 ⋅ 2 ⋅ 2 3×3+ 2− 2 2×3+ 3×2− 2
X
Y
3
8 9 10
X Y
3
3
４．パスカルの三角形
（A+B）の累乗を、１．の降べきの順に整理し係数だけ書いた物がパスカルの
三角形だ。これは(２X－３Y)７ なんて計算に役に立つ。
まず覚え方、基本の（A+B）を１乗 (A＋B)１＝
１ ＋１ で表わす
すると
(A+B)１
１＋１
２
(A+B)
１＋２＋１
３
(A+B)
１＋３＋３＋１
４
(A+B)
１＋４＋６＋４＋１
５
(A+B)
１＋５＋10＋10＋５＋１
６
(A+B)
１＋６＋15＋20＋15＋６＋１
(A+B)７
１＋７＋21＋35＋35＋21＋7＋１
８
(A+B)
両サイドを１として、途中の数字は全て直ぐ上の数字の左右の合計になっている。
これは、数Ⅱで学ぶ、二項定理の係数ｎCｒによるのだが、ここでは、そこまで
考える必要は無いだろう。8 乗については自分で試すと良い。ページ末に解答し
ておく。
また(A－B)ｎについては、数字は同じで符号が先頭から＋－＋－＋－…と
交互になるといわれている。
(A－B)7＝A7－７A6B＋２１A5B2－３５A4B3＋３５A3B4－２１A2B5＋7AB6―B7 だ
これを踏まえて、この問題は A＝２X、B=３Y なので
７
A の項は X は X7 だが、係数は 2７＝128 が加わる。
21A5B2 の項は ２１×２５×３２X５Y2 だ。
全ての項にこれをやると
A７ ＝
２ ７X7 ＝
１２８X7
－７A6B ＝
－７・２６・３X6Y ＝
―1344X6Y
＋２１A5B2 ＝
２１・２５・３２X5Y2 ＝
＋6048X５Y2
－３５A4B3 ＝ －３５・２４・３３X４Y3 ＝ ―15120X4Y3
＋３５A3B4 ＝ ＋３５・２３・３４X3Y4 ＝ ＋22680X3Y4
－２１A2B5 ＝ －２１・２２・３５X2Y5 ＝ ―20412X2Y5
＋７AB6 ＝
＋７・２・３６XY6 ＝
＋10206XY6
―B７ ＝
―３７Y7 ＝
―2187Y7
と計算し、これらを横に並べて解答する。用紙の都合上このように表記したが、
実際の計算もこの書き方のほうが良いようだ。
８乗解答（１＋８＋２８＋５６＋７０＋５６＋２８＋８＋１）
4
５．因数分解
5 ポイント 8 パターン
因数分解は塊の数で考えよ
因数分解は塊の数
因数分解最大の武器は、解の公式だが、共通因数を無視すると言う弱点がある。
解の公式は ２Ｘ２－４Ｘ＋８＝０ のように共通因数があっても、それを無視
して答えてしまう特徴があるので、因数分解を４つのパターンで把握しておく必
要がある。ここで一緒に解説しておこう。
ポイント１ とにかく最初に共通因数を考える。
共通因数で括ると言う事は、共通部分を先に書き、（
）を用意し、残っ
た部分を書き込むと言う事だ。
例えば 6ａ２Ｘ３Ｙ－４ａ３Ｘ２Ｙ４ を解く場合、多くの生徒はいきなり答え
を書こうとし悩む。 大事なのは急所の素因数分解を書く事。
与式＝2・3・ａａＸＸＸＹ－２・２ａａａＸＸＹＹＹＹ とすることである
数字は２・３と２３で意味が異なるので、×を表す中点を入れたが、文字は書
かなくても良い。このように書いてみると、両項に共通なのが２ａａＸＸＹであ
ることが判明する。これを（
）の外に出して、残りを（
）の中に書くと
教えると、納得が早い。
与式＝２ａ２Ｘ２Ｙ(３Ｘ－２ａＹ３) と計算できる。
ただし、共通因数の抜出には有名な問題が有り、陥りやすい。
それは、Ａ－Ｘ と Ｘ－Ａ が仲間であると気付きにくい事。
Ａ－Ｘ はー１でくくると、－(－Ａ＋Ｘ)＝－(Ｘ－Ａ) である
２Ｘ＋２Ａ＝２(Ｘ＋Ａ) は気付いても、上の式が盲点でＡＸ－Ｘ－Ａ＋１
などと言うのが、因数分解しづらい。答え(Ａ－１)(Ｘ－１) である。
ポイント２
共通因数で括り終わったら、次は項数で判断する番だ。
その１
項数が２個の場合。 累乗公式で解く。聞き慣れない公式だ。
２
２
Ａ －Ｂ ＝(Ａ＋Ｂ)(Ａ－Ｂ)
Ａ３＋Ｂ３＝(Ａ＋Ｂ)(Ａ２－ＡＢ＋Ｂ２)
Ａ３－Ｂ３＝(Ａ－Ｂ)(Ａ２＋ＡＢ＋Ｂ２)
Ａｎ＋Ｂｎ＝(Ａ＋Ｂ
Ａ＋Ｂ)(Ａ
Ａ＋Ｂ Ａｎ－１－Ａｎ－２Ｂ＋Ａｎ－３Ｂ２―・・・・・Ｂｎ－１)
これは 次の形で使う場合が多い
Ｘｎ＋１＝(Ｘ＋１)(Ｘｎ－１－Ｘｎ－２＋Ｘｎ―３－Ｘｎ－４＋・・・・＋Ｘ－１)
Ｘｎ―１＝(Ｘ―１)(Ｘｎ－１＋Ｘｎ－２＋Ｘｎ―３＋Ｘｎ－４＋・・・・＋Ｘ＋１)
和の公式は最初の（
）の中が＋で、後の（
）は＋－＋－が交互に
差の公式は最初の（
）の中がーで、後の（
）は全て＋、係数は皆１
5
になる。私はこれを「累乗公式
累乗公式」と呼ぶ。
（一般的ではないが、重要だと思う）
累乗公式
こういう見方をすると、実は、和と差の積の公式・３乗公式も、
全て累乗公式の一部である事が分かる。
この問題は、共通因数と併合して出題される事が多い
例えば、54Ｘ5－１６Ｘ２Ｙ６ などと言う問題。
共通因数２Ｘ２に気付かないと、手も足も出ない問題。それに気付けば
与式＝２Ｘ２(２７Ｘ３－８Ｙ６) となり、
(
)の中の左項は 3Ｘの３乗、右項は２Ｙ２の３乗である。よって
与式＝２Ｘ２{(３Ｘ)３－(２Ｙ２)３}
＝２Ｘ２(３X－２Y2){(３Ｘ)２＋(３Ｘ)(２Ｙ２)＋(２Ｙ２)２}
と出来るようになる。
＝２Ｘ２(３X－２Y2)(９Ｘ２＋６ＸＹ２＋４Ｙ４)
最初からそういう風に教えてくれればいいのにね。
その２
項数が３個の場合、二次式だから、当然解の公式で答えを出す。
二次方程式を解く時に、公式を使って解く場合と因数分解で解く場合がある。
3Ｘ２＋４Ｘ－４＝０ は
たすきがけを使って
(３Ｘ－２)(Ｘ＋２)＝０ から
2
Ｘ＋２＝０よりＸ＝－２
３Ｘ－２＝０より Ｘ＝ 、
3
− 2 ± 4 + 12 − 2 + 4 − 2 − 4 2
=
,
= ,−2 と同じ答えが出る
3
3
3
3
(３Ｘ－２)のＸの係数３は分数の分母、２の符号は移項したので、当然逆にな
る。このことを考えると、お経「分母はＸに付き＋－取り替える
分母はＸに付き＋－取り替える」を使えば
分母はＸに付き＋－取り替える
−2 4
解が
,
と出れば、因数(５Ｘ＋２)と(３Ｘ－４) となるので
5 3
１５Ｘ２－１４Ｘ－８＝(５Ｘ＋２)(３Ｘ－４)
と因数分解できる。
解の公式でもＸ＝
これは文字式を含む因数分解でも同じ。例えば
2Y − 3 − Y − 2
解が X =
,
であれば
2
3
(２Ｘ－２Ｙ＋３)(３Ｘ＋Ｙ＋２) と因数分解できるのである。
この例題の場合、元の式は ６Ｘ２－４ＸＹ－２Ｙ２＋１３Ｘ－Ｙ＋６ だ
これを解の公式で解くのだから、(
)Ｘ２＋(
)Ｘ＋(
)と言う枠を
用意して整理をする。こうなる
6
(６)Ｘ２＋(－４Ｙ＋１３)Ｘ＋(－２Ｙ２－Ｙ＋６)
符号はいじらない方が良い。
Ａ＝６ Ｂ＝－４Ｙ＋１３ Ｃ＝－２Ｙ２－Ｙ＋６
Ｘ＝
4Y − 13 ±
(4Y − 13)2 − 4 • 6 • (− 2Y 2 − Y + 6 )
2•6
を代入すると
になる。√の中の計算が大
変そうだ。必ず二乗の形になるので、別の場所にメモして計算する。
（うっかり、イコールを使わないこと）
(4Y－１３)２－４・６・(－２Y２－Y＋６)
＝16Y２－104Y＋１６９＋４８Y２＋２４Y－１４４
何かすごそうに見える。でも大丈夫。整理すると
やっぱり凄い。イヤイヤ
＝６４Y２－８０Y＋２５
最初と最後の係数を考えると ６４Y２＝(８Y)２ ２５＝５２だ
＝(８Y－５)２
のはず。ちょっと展開すれば確認簡単。
因数分解できる以上、必ずルートの中身は二乗になっている。
だから、答えはこのように分離できる。
4Y − 13 + 8Y − 5 4Y − 13 − 8Y + 5
X ＝
,
12
12
12Y − 18 − 4Y − 8
,
＝
前者は６で後者は４で約分できる
12
12
2Y − 3 − Y − 2
,
となり、最初に示した解になる
＝
2
3
因数分解できる問題であれば、必ずルートは外れるので、使える方法だ。
3 項目なら、解の公式だ。
その３
項数が４個の場合、これは、二組ずつ二つに分けて共通因数を考える
と、共通因数が出て来る。
Ｘ3＋９Ｘ2＋２７Ｘ＋２７ と言うのは、
厳密に言えば三乗展開公式の逆なのだが、４項目あるので、外二つと、中二つを
組み合わせてみる。すると
Ｘ3＋２７
＋９Ｘ2＋２７Ｘ
＝Ｘ3＋３3
＋９Ｘ(Ｘ＋３)
2
＝(Ｘ＋３)(Ｘ ―３Ｘ＋９)＋(Ｘ＋３)(９Ｘ)
＝(Ｘ＋３)(Ｘ2＋６Ｘ＋９)
＝(Ｘ＋３)(Ｘ＋３)2＝(Ｘ＋３)3
と判るという訳だ。
7
二つずつ組み合わせたどちらかが、累乗公式で、共通因数が見えてくるのは、よ
くあるパターンだ。
その４項数が５個以上の場合、この場合は５次式では無くて、
変数がＸとＹなど二種類以上の場合だが、これは前述した通り、解の公式で解く
しかない。＝ポイント 4、また、それが一番。
ポイント３ 項目が３つなのに解の公式に当てはめると
Ｄ＜０になってしまう場合。
これは、Ｘ4＋Ｘ2＋１ のように、全部偶数上になっている時。複二次式と言
う。これは真ん中の数が急所
Ｘ4＋２Ｘ2＋１ だったら (Ｘ2＋１)2 と因数分解できるのになぁと思えば解
決。
Ｘ4＋Ｘ2＋１＝(Ｘ2＋１)2 －Ｘ2
あれ、これは和と差の積だ。」と考えて
2
2
2
＝(Ｘ ＋１－Ｘ)(Ｘ ＋１＋Ｘ)＝(Ｘ －Ｘ＋１)(Ｘ2＋Ｘ＋１) とやる。
全部偶数上になっている時。複二次式と言う。
ポイント 4
最大の武器は解の公式
「２Ｘ２－２Ｙ２＋３ＸＹ＋Ｘ＋７Ｙ－３
を因数分解せよ。」と言う問題。
教科書に出ている類似問題は、Ｘだけの式（２Ｘ２＋Ｘ－３）
またはＹだけの式（－２Ｙ２＋７Ｙ－３）の部分が、何かの二乗になっている形
で紹介されているが、この問題はそうではない。
因数分解を解の公式で解き慣れていると、この問題は、次のように整理する。
（２）Ｘ２＋（３Ｙ＋１）Ｘ―（２Ｙ２－７Ｙ＋３）
だ（＝０）
係数を見ると
Ａ＝２、Ｂ＝３Ｙ＋１、Ｃ＝－（２Ｙ２－７Ｙ＋３）
なので
Ｄ＝Ｂ２－４ＡＣ＝(３Ｙ＋１)2＋４・２・(２Ｙ２－７Ｙ＋３)
＝９Ｙ2＋６Ｙ＋１＋１６Ｙ2－５６Ｙ＋２４
＝２５Ｙ2―５０Ｙ＋２５
と自動的に計算していく。
8
＝(５Ｙ―５)2
因数分解の法則
解は
√Ｄ＝整数
Ｘ＝
＝
＝
なので、必ず二乗の形になっている。すると
、
、
、－２Ｙ＋１
(２Ｘ－Ｙ＋３)(Ｘ＋２Ｙ－１)
なので、因数は
と因数分解できるのだ。
ここで、解の分母は X の係数、分子の符号を替えると、因数が出来る
「分母は X に付け、±取り替える」と覚える
難しい因数分解が、自動的にできる事にばかり、目が行きがちだが、
解の公式の真価は、Ｄの計算をしただけで因数分解できるか出来ないかが判る事。
Ｄの計算をしただけで因数分解できるか出来ないかが判る事。
ポイント５ ３乗３種の因数分解
パターン２その 3 の４項目の特殊形。3 乗で作られた問題は、対称式の手法
で考えないと解けない。
2 元の対称式は、X2＋Y2 、X3＋Y3・・・を X＋Y と XY の値で置き換えて
行く手法だね。
使う文字が 3 元の場合、X＋Y＋Z と XY＋YZ＋ZX、XYZ で 全てを表して
いくのだが、やることは、2 元の時と同じで、とりあえず、基本形 X+Y+Z を二
乗して、余分な所を XY＋YZ＋ZX、X+Y+Z、XYZ で置き換えて行くものだ
X2＋Y2＋Z2＝(X+Y+Z)2－2(XY＋YZ＋ZX)
は、すぐ判ると思う。
3
3
3
X ＋Y ＋Z の場合は累乗公式の考え方を使って、考えると
X3＋Y3＋Z3＝(X＋Y＋Z)(X2＋Y2＋Z2－XY－YZ－ZX)＋3XYZ
と言う形になる。この最後の項を左辺に移項すると
X3＋Y3＋Z3―3XYZ＝
＝(X＋
＋Y＋
＋Z)(X2＋Y2＋Z2－XY－
－YZ－
－ZX)
となり、右辺は因数分解の形だ。これを３乗３種の公式
３乗３種の公式と名付けたい。
３乗３種の公式
しかし、今までの例を見ると、この形は 3 種類そのものの形では出題されず
例えば
X3＋Y3＋6XY－８
を因数分解せよなどと出題される
X、Y 二つしか無いから、因数定理で答えが出そうな気がするが、それはもう
9
大変な時間が掛かる X+Y＝2 を発見しなければならないからだ。
しかし、ここで言う 3 乗 3 種の形だと見ると －８＝(－2)3 だから、
3 乗 3 種の公式の、Z＝－2 の場合だと気づくと
X3＋Y3＋6XY－８＝(X+Y－2)(X2＋Y2－XY＋2X＋2Y)
と因数分解する。勿論、二次の因数は、解の公式の D を使って、これ以上因数分
解できない事は、確認しておく必要がある。
これら、５パターン、全９種類の分類で、因数分解は必ず解ける。
さて、説明が長くなったが、問題を解いてみよう。
例 1） 3Ｘ2＋5ＸＹ－2Ｙ2－Ｘ＋5Ｙ－2
これは共通因数、特になく、項数 6 つだから、解の公式の出番
（ ）X2＋（
）X＋(
)の形に整理すると
A＝3
B＝5Y―1
C＝―2Y2＋5Y－2
B2＝ 25Y2―10Y＋1
―4AC＝+24Y2―60Y＋24
49Y2－70Y＋25＝(7Y－5)2
よって √D＝7Y－5
X=
「分母は X に付け、±取り替える」の原理により
（X＋
＋2Y－
－1）
）(3X－
－Y＋
＋2) となる
例 2）
は項数 4 だからポイント
ポイント 2 のその 3
（ａ２ｂ＋ａｃ）－（ａｂ2＋ｂｃ）
と考え、共通因数を探す
すると
a(ab＋ｃ)－ｂ(ab＋ｃ)
ほらね、共通因数で括った残りが共通因数に成るでしょう
答え (ａ―ｂ
ａ―ｂ)(ab＋ｃ
＋ｃ)
ａ―ｂ
＋ｃ
10
どの組み合わせでも、必ず共通因数が見つかるよ。問題だから、解けるように作
られているのだ。
例 3）
は項目が多いね。であれば解の公式
輪かんの順で、ａｂｃの立場は同じ、ａ＝Ｘと考えよう
（ ）ａ2＋（
）ａ＋（
）を作る
２
2
2
2
2
(b+c)ａ ＋(ｂ ＋ｃ ＋2bc)ａ＋(ｂ ｃ＋ｂｃ )
おや、これは共通因数があるね
(ｂ＋ｃ)ａ２＋(b+c)2ａ＋bc（b+c）
なので
２
(b+c)｛ａ ＋(ｂ＋ｃ)ａ＋ｂｃ｝
おやこれも解の公式借りるまでも無い
(b+c)(a+b)(a+c)
となった。輪かんの順になっているね
答え(ａ＋ｂ
が良いでしょう
答え ａ＋ｂ)(ｂ＋ｃ
ａ＋ｂ ｂ＋ｃ)(ｃ＋ａ
ｂ＋ｃ ｃ＋ａ)
ｃ＋ａ
例 4） (Ｘ＋1)(Ｘ＋2)(Ｘ＋3)(Ｘ＋4)＋1
これは数字に意図があるので、外同士、中同士を掛ける
(Ｘ＋1)(Ｘ＋2)(Ｘ＋3)(Ｘ＋4)＋1
＝(Ｘ2＋5Ｘ＋4)(Ｘ2＋5Ｘ＋6)＋1
Ｘ2＋5Ｘ が共通だね、＝Ｗ と置き換えると
(Ｗ＋4)(Ｗ＋6)＋1＝Ｗ2＋10Ｗ＋25
＝（Ｗ＋５）2
ここで元に戻して
(Ｘ2＋5Ｘ＋5)2
が更に因数分解できるか考えると
解の公式手法で
Ｄ＝25－20＝5
となり、√が取れないのでこれ以上因数分解出来ないと判る。
答え (Ｘ
Ｘ2＋5Ｘ＋
Ｘ＋5)
Ｘ＋ 2
例 5）Ｘ4＋3Ｘ2＋4
４と３が逆なら簡単なのに。
これは式が偶数乗で出来ているのでポイント
ポイント 3、複二次式
、複二次式だなと判る。
、複二次式
2
2
4
2
定数 4 が出て来るのは
(Ｘ ＋2) ＝Ｘ ＋4Ｘ ＋4 なので
2
2
2
与式＝(Ｘ ＋2) －Ｘ
＝(Ｘ2＋2＋Ｘ)(Ｘ2＋2－Ｘ)
＝(Ｘ2＋Ｘ＋2)(Ｘ2－Ｘ＋2)
11
解の公式のＤはどちらもーになるので
これ以上の分解は出来ない
答え (Ｘ
Ｘ2＋Ｘ＋2)(Ｘ
＋Ｘ＋ Ｘ2－Ｘ＋2)
－Ｘ＋
因数分解は、5
因数分解は、 ポイント 8 パターンで必ず解けるので
解の公式を使う手法をマスターしよう
12
６．循環小数
黒ぽっちを付ける、変な少数として覚えているだろう。
2
= ０．２８５７１４２８５７１４２８５７１４・・・・・
7
・
・
＝０．２８５７１４ と言うやつ
分数から少数にするのは、実際に分子÷分母を縦の計算をして、同じあまり
が出てきたら、以降繰り返しだから、繰り返しの両端の数字の上に黒丸を付け
ればよい。
・
・
大変なのは ２．０３７２ を分数に直せと言うやつ。
教科書では、１００倍して両式を引き算して・・・とやるから難解。
繰り返しは９９９９と覚える。
・ ・
・
・
23
3458
０．３５４８＝
だ。
０．２３＝
99
9999
2
285714
の場合
のはずだが、これは約分をしていないからだ。
7
999999
約分のコツは素因数分解を参照されたい。
しかし、これは、繰り返しの数字が小数点の隣から始まる時しか使えない
でも覚えやすい。「使えないなら使えるように工夫しよう」と言うのが熊先
生流だ。
・
・
２．０３７２の場合、繰り返している部分と、そうでない部分が混在し
なおかつ小数第二位からの繰り返しだ。「おまけを足し算」と覚える。
・
・
・
・
２．０３７２＝２＋０．０３７２
さらに
1
10
372
19980 + 372 20352 3392
＝2+
＝
=
＝
となる
9990
9990
9990
1665
結構大変だと言われるが、もともと面倒な問題なのだ。
ただし、□の部分。ちょっと工夫あり。それは 0 の付け方。
９９９を分母にするのは、小数点の隣から始まったときと言ったが、そうで
ない場合も、小数点の右の０の数だけ０を補えばいいのだ。つまり
・
・
273
３５．００２７３＝ 35 +
とやる。あとは通分・約分だけ
99900
これだけは練習してもらいたい。
・
・
＝２＋(０．３７２)×
13
７．絶対値
絶対値問題は場合わけ。それも「絶対値の中身が０」になる場所が、転換点。
「右から＋－＋－・・・」と覚えておこう
問題 ｜X－３｜＋｜２X＋５｜ の値を求めよ。 何てやつ
教科書では X＝2 の時、何て具体的数字が与えられているから、＋かーかの判
断は簡単。そう教科書は判らせるために作ってある。
この場合、数値は何でも良いので、決められない→当然場合わけ。
ではどうする お経「絶対値の中身＝０」とあった。とりあえず
X－３＝０ → X＝３ これは簡単。
5
２X＋５＝０ → X＝－
＝－２.５
2
数直線を考えれば、この２点で３つの範囲に分けられる。
① ３≦X では
両方とも＋ 与式＝X－３＋２X＋５
② －２.５＜X＜３ では 3 より左の X－３だけー よって
与式＝－X＋３＋２X＋５
③ X≦－２.５ では 両方ともー 与式＝－X＋３－２X－５
とやって、後は項別に整理するだけ。
－の場所に入ったら、全ての項の＋とーを変えるだけ。
これはー１を掛けた事になる。簡単でしょう。
絶対値の中身が二次式三次式になっても「右から＋－＋－」を使えば同じこと
例えば ｜X２－X－６｜ は
X２－X－６＝０ を解けば、解の公式で X=３，－２．右から＋だから
① ３≦X
の時(＋) 与式＝ X２－X－６
②－２＜X＜３
の時(－) 与式＝―X２＋X＋６
③ X≦－２
の時(＋) 与式＝ X２－X－６
とやればよい。
等号がついている所といない所があって、気になるだろうが、＝の付く場所は
両方の転換点で、どちらの式に値を入れても同じ値になるので、どちらの式に＝
をつけても良いのだ。しかし、両方につけると、重複していると言う理由で、減
点されるので、私は＋の時に＝をつけ、交互に付けない付けるとやる習慣にして
いる。結局＋は付けるーはつけないということ。
絶対値問題は、絶対値記号さえ外れてしまえば、単純な問題なので、美味しい
かも知れない。
14
８．有理化
分母に√があった場合、適当な数字や式を分子分母に掛けて、分母のルートを
無くしましょうというやつ。
1
2
=
2
2
などというのは、結構有名。分母にあるのが√２だけだから、
√は２個掛ければ二乗で取れるので、√２を分子分母に掛けることに気づく。
2
教科書でも
などと言うのは出てくる。
「和と差の積の公式」と言うのが
5− 3
有って、(A+B)(A－B)＝A2－B2 だから二つ同時に二乗になるからだ。
与式の場合 5 − 3 で差の方が与えられているから、残りの和の方( 5 + 3 )を分
子分母に掛ける事になる。すると
2
5− 3
=
(
(
2 5+ 3
5− 3
)(
)
5+ 3
)
=
(
) (
)
2 5+ 3
2 5+ 3
=
= 5+ 3
5−3
2
と言う計算になる。もっともこれだって、入試問題では
2
と与えてわなを仕掛ける。何がワナか判るかな？
3+ 5
うっかり 3 − 5 を分子分母に掛ける何てやるでしょう。そうすると分母も分
子もマイナスの値になって、最終的にー÷―で元に戻るのだけれど、頭が真っ白
で緊張している時には、ミスるものなのだ。もちろんこれは 5 − 3 を掛けるの
だね。大―小を掛けるのがいいのだ。
入試問題といえば、上のような問題は出来て当たり前の問題。問題として意識
して出題されるなら、項が 3 つ、それもひとつは整数。こんな問題。
4
などと言うやつ。和と差の積でしか解けないから(それで良いのだが)
3− 7 +2
7 + 3 を掛けちゃったりする。２を忘れている。それでは√が取れるどころか
7 、 3 に加えて、 21 まで出現し大変なことになる。
少し落ち着いて 7 と 3 を一まとめと考え( 3 ― 7 ―２)を掛ければ、３と 7
15
は消えて、希望が出てくる。しかしこんな形だ。
4
3− 7 +2
=
＝
(
4 3− 7 −2
(
3− 7 +2
(
)(
4 3− 7 −2
6 − 2 21
)
3− 7 −2
)
=
(
4 3− 7 −2
) (
3− 7
)
2
) = 4(
−4
3− 7 −2
)
3 − 2 21 + 7 − 4
となり
2 で約分し、もう一度 3 + 21 を掛けていくのである。結構大変。
しかし、こんな問題にもコツがある。それは最初に与えられた分母の 2 を
２＝√４ と考えるのである。すると、分母に現れてくる√は３と７と４、
この内３＋４＝７だから、７を異質と考えて
元の分母を
与式＝
＝
(
(
)
3 + 2 − 7 と考え
4 3 +2+ 7
(
3+2− 7
)(
(
4 3+2+ 7
4 3
)
3+2+
) = 3+ 2
(
)
3+2 + 7
(
7 ) ( 3 + 2)
=
4 3+2+ 7
3 + 21
3
2
−7
を掛けるのである。すると
) = 4(
3 +2+ 7
)
3+ 4 3 + 4−7
が最終の答えである。
二度目の有理化が、大変楽になる。
足して同じになるグループわけが急所だ。
２－ 2 ― 3 ＋ 5
が分母だった場合
( 4 － 3 )＋( 5 － 2 )
２を 4 と考えて
と扱うので
分子分母に掛ける式は( 4 － 3 )―( 5 － 2 )＝ 4 ― 3 ― 5 ＋ 2
これが有理化のコツ
16
だ
９．対称式
X３＋Y３ や X２－XY＋Y2 のように、X と Y を入れ替えても、元の式と
同じになる式を、係数だけ抜き出した形が左右対称になるので、対称式という。
この形の式は、どんなに次数が大きくなっても、必ず X＋Y と X×Y＝XY で置
き換えることが出来るので、一見複雑な形の問題が作られる。しかし、必ず段階
を追って出題されるので、コツを覚えれば優しい問題である。
易しそうに見えて難しいのは、X－Y を出すことである。これは入れ替えると
符号が変わるので、対称式ではないが二乗すると X２－２XY＋Y２と言う対称式に
なる。よって一旦二乗の式の値を求めて、平方根を求めるのである。解答を一つ
にしぼる為に、X,Y に条件が付くのが普通でこれに気をつける。
2
2
具体的な例題 X=
Y＝
の時 X２＋Y2 の値を求めよ。
5− 3
5+ 3
と言う奴。X と Y の形が似ている。求める式が対称式。となれば
① X＋Y を出す ② XY を出す ③ X+Y を何乗かして XY で調整
の手順で解く。
4
2
2
最も 1 題だけの出題なら X２＝
＝
、Y=
5 − 2 15 + 3
4 − 15
4 + 15
3
3
とやって通分しても良いが、普通は他にも X ＋Y を出せなどと言うのが付随
しているので、昔からの決まり技に軍配が上がるようだ。
X、Y を有理化してから計算しようとする人が多いが、X＋Y、XY を出す過程
で自然に有理化されるので、そのまま足すのが良い。
手順：X＋Y
お互いの分母が足りないので通分する。
(
2 5+ 3
)
+
(
2 5− 3
( 5 − 3 )( 5 + 3 ) ( 5 + 3 )(
2( 5 + 3 + 5 − 3 )
=2 5
＝
X＋Y＝
)
5+ 3
)
5−3
XY を求める。掛け算するわけだが、分母に X＋Y を求めた時の分母が
出てくるので、そのまま使えば
2× 2
X×Y＝
＝２ となる。以降全ての場面で使うので、
2
X+Y＝２√５ XY＝２ と書き出しておく。
さていよいよ X２＋Y2 に取りかかる。X の次数に着目すると２次だから
① (X＋Y)を二乗してみる。(X＋Y)2＝X２＋Y2＋２XY だ。
これは求めたい X２＋Y2 より２XY 多い。だからその分、調整と考えれば。
17
X２＋Y2＝(X＋Y)2―２XY
となる。
それぞれの値はあらかじめ求めてあるので、代入すれば
( )
2
＝ 2 5 − 2 × 2 ＝２０－４＝１６
となる。
普通は更に X3＋Y3 を求めよと発展していくのだが
同様に考えて (X＋Y)３＝X3＋３X2Y＋３XY2＋Y3
と置いて、
X３＋Y3＝(X+Y)３－３X2Y－３XY２ としたまま考え込んでしま
う生徒がいる。解の公式で困ったように、問題を難しくするのは共通因数である
ことに気付くと、後半部分がー３XY が共通因数であることに気付く。
よって
X３＋Y3＝(X+Y)３－３XY(X+Y) である。
ここまで書くと、X+Y、XY で置き換えられる事に気付き、解答に至る。
X３＋Y3＝４０√５－３×２×２√５
＝２８√５となる。
もう少し慣れてくると３次式は２次式×１次式なので
(X２＋Y2)(X＋Y)＝X3＋X2Y＋XY2＋Y3
＝X3＋Y3＋XY(X+Y) なので
X３＋Y３＝(X２＋Y2)(X＋Y)―XY(X+Y)
＝１６×２√５－２×２√５ より
＝２８√５
とやれるようになる。
さて難問だが X―Y の出し方を書いておこう。この例のように X、Y が個別に
与えられていれば、引けばよいので簡単だが、X+Y＝５、XY＝3 などと与えら
れている場合。定番で次のように解く。(X＜Y などの条件が必ず付く)
① 対称式にするために (X－Y)２を考える。
(X－Y)２＝X２－２XY＋Y2
これと比較するために(X＋Y)２を出す。
(X＋Y)２＝X２＋２XY＋Y2
２XY の部分が違うだけだから、
調整すると
(X－Y)２＝(X＋Y)２－4XY＝２５－１２＝１３ となる
だから
X－Y＝ ± 13
だが、ここで条件が生きて、X－Y はマイナスだから
X－Y＝－ 13
と決定するのである。
この問題は一次式をわざわざ二次式にして解の個数を増やし、もとに戻すので盲
点になる問題である。
18
１０．二重根号
二重根号とは√の中に更に√があるものの、外側の√を外す問題。
完全に√が無くならないといけないと勘違いしている人が多い。
この問題は(A＋B)2＝A2＋２AB＋B２ の公式から派生する。
もっとも私は、この公式は (A＋B)2＝A2＋B２＋２AB の形で覚えようと主張
している。(A－B)２＝A2＋B2－２AB だ。この形は変わらない部分と、違いに分
けられている。この公式が頭に入っていると。
(
A+ B
)
2
= A + B + 2 AB 、
(
A− B
)
2
= A + B − 2 AB
が判かるだろう。
変わらない部分は A＋B で足し算、２数の＋かーにより２√の所が＋かーにな
るが、√の中身は AB で掛け算だ。
だから
5 + 3 − 2 5×3 ＝
(
よって 8 − 2 15 = 5 − 3
5− 3
)
2
と変形できるのである。
と変形できる。これを二重根号を外すと言う。
このままの形で出題されれば簡単だが、実際問題はこの形では出題されない
２√の２を隠す方法に２つある。
① 11 + 6 2 の形、余計な数字を掛けて２を隠すタイプ。
これは、６＝２×３であるから、余計な３を√の中に入れてやる。勿論√か
ら出る数字は２つ揃って２乗になったら出られるのだから、中に入るときは２
乗される。 11 + 6 2 = 11 + 2 2 × 3 × 3 = 11 + 2 18 だ。
掛けて１８足して１１になる数字は９と２だから（大きいものが必ず前）
11 + 6 2 =
(
9+ 2
)
2
= 9 + 2 = 3+ 2
と言う具合に答えを出す。
② 3 + 5 の形√の外に２そのものが無い。隠れている訳ではない。
無ければ無理やり作る。それが熊先流。有理化の手法を使って、分数化し
分子分母に 2 を掛ける。
6+2 5
5+ 1
。まず分子だけ考える。
と二重根
2
2
号が外れる。この場合は最後に有理化する必要がある。もう一度 2 を掛けて
10 + 2
2
と答える。こんな感じ。
19
１１．不等式
不等式の計算は等式と同じように両辺に同じ事をすれば、足しても引いても
掛けても割っても、殆ど同じようなことが出来る。
しかし、マイナスの数字を掛けたり割ったりした時のみ、不等号の向きが変
わる。これが、数学苦手な人のミスを呼ぶ。マイナスを足しても向きが変わる
のなら覚えられるが、掛け算割り算のみの特徴と言うのが覚え難いらしい。
もちろん素直に納得できる人には必要の無い配慮だが、失敗した覚えのある
人は次の手順でマイナスの数で掛けたり割ったりしないように気をつければ
ミスは無くなる。
①不等号の向きをいつも右が大きくなるように入れ替える。
②求める X の係数がマイナスに成らない側に X を集める。
③X の残る方から邪魔な定数を削除する。
④X の係数で割って X のみの範囲にする。
例えてみればこうだ。
①向きを変える。
②③整理
整理の結果
④係数で約分
３X－４≧－２X＋６
－２X＋６≦ ３X－４
＋２X＋４ ＋２X＋４
１０≦ ５X
５
５
答え
今までの習慣で
方向が良い。
20
２
X≧２
≦
X
の場合
整理する項の下に書く
同じものを両辺に
ラインは計算の合図
こうやる
とやりたがる人がいるが数直線で考える以上この
さて、二次不等式にも、この考え方を応用して、大切な要諦。X２の係数を必
ずプラスに変更してから計算するのがコツ。また、X の項が集まった側により
答えの方向が決まる。(左側に集まれば２解の内側。右側なら２解の外)と覚え
る。例えばこうだ。
の場合
－２X２－３X＋５＞－２X－１
２
①向きを変える
－２X－１＜－２X －３X＋５
２
②整理
＋２X ＋３X－５ ＋２X２＋３X－５
結果
２X２＋X－６＜０
左側に集まった（２解の内側）
③解の公式で、２解を出す。A=2 B=1 C=－６
− 1 m 1 − 4 × 2 × (− 6) − 1 m 1 + 48
=
2×2
4
−1− 7 −1+ 7
3
3
,
= −2,
＝
となり ２解がー２と と判った。
4
4
2
2
3
となるのである。
よって 答えは − 2 < X <
2
変形して、 ０≦X２－X－６
と成った場合
X の項が、右側にあり、２解はー２と３であり、不等号にイコールが付い
ているので、答えは２解の外側。
X≦－２ ，３≦X と成るのである。
X=
21
１２．解を持つ条件
①実数解を持つ。②接する。③共有点の個数。④常に正である。などの言葉が
出たら、必ず使う判別式Ｄ。これがどうして、指導要領から削られなければ成ら
ないのか判らない。
二次方程式の解は、ＡＸ２＋ＢＸ＋Ｃ＝０の形にさえ成っていれば、複二次式
− B ± B 2 − 4 AC
を除いて、解の公式で答えが出る。 X =
2A
この事は、頂点のＸ座標
は覚えたはず。
B 2 − 4 AC
−B
を中心に左右対称に、同じ距離
だけ、離
2A
2A
れた処に、Ｘ切片が有ると言うことだ。
当然のこととして、ルートの中身がマイナスか、ゼロか、プラスかによって、
解が無くなったり、重複したり、二つになったりする。
そこでルートの中身であるＢ２－４ＡＣを「決める」と言う英語「Define」の
頭文字をとってＤ＝Ｂ２－４ＡＣ を判別式と呼ぶ。これが何故生徒を惑わせる
ことになるのか判らない。Ｄはまた解の公式に出てくる定数Ａ、Ｂ、Ｃに次ぐ文
字だから、覚えにくい訳が無い。最も係数Ｂが偶数で、倍数公式が使える場合
ＡＸ２＋２ｂＸ＋Ｃ＝０ の場合、判別式もＤＤ＝ｂ２－ＡＣ で良い。
この程度が紛らわしいと言うのなら、倍数公式を使わなければ良い。しかし入
試はかなりな確率で倍数公式だから、相当時間の損を覚悟しなければならない。
さて、冒頭のそれぞれの場合、どのように使うのだろうか。
Ｄには３つの範囲がある
Ⅰ．Ｄ＞０ の場合・・・答えが二つ → ２実数解
Ⅱ．Ｄ＝０ の場合・・・答えが一つ → １重解
Ⅲ．Ｄ＜０ の場合・・・答えが無い → 実数解０
である。
二乗してマイナスになる数は実数の範囲には存在しないから。
①の場合、実数解があるか無いかと聞いているので、ⅠでもⅡでも良い事になる
よって使うのはＤ≧０になる。Ⅰ・Ⅱの合体だ
例えば 「１２Ｘ２－ｋＸ＋３＝０が、実数解を持つｋの範囲を答えよ」など
と出題される。もっとも、解の公式の形であることを隠すために
２Ｘ２＋３＝ｋＸがなどと変形してある場合がある。
二次式→ＡＸ２＋ＢＸ＋Ｃ＝０が反射的にひらめくとよいのだけれどね。
さて、この問題の場合Ｄ＝ｋ２－１４４ だね、
だから ｋ２－１４４≧０ を解くのだけれど、答えはｋ≦－１２、１２≦ｋ
22
だね、しかし、自分が何をやっているのか考えない生徒は、やたらに不等号・
等号を書きたがり、Ｄ≧ｋ２－１４４ なんて書いてみたりして×になる。
これは、意味を考えればわかるはずだ。Ｄが０以上なのであって、ｋ以下はそ
のＤを置き換えただけだ。つまり、＝を使うべき。その値が≧０なのだ。
正しくは
D＝ｋ2－144≧0 でなければいけない。
ミスはこんな所に転がっている。数学はミスらなければ誰でも１００点だ。
②の場合 二つの関数Ｙ＝ｆ（ｘ）とＹ＝ｇ（ｘ）が接するとき。と言う奴。何かこ
んな文字式にすると難しそうだが、接すると言うことは共有点が一つ。つまりⅡ
のパターンと言うことだ。
例えば 「放物線Ｙ＝２Ｘ２－３ と直線Ｙ＝２Ｘ＋ｋ が接するときの、接
点の座標を答えよ」何て奴。普通は最初にｋを求める小問題があって、それを使
って接点の座標なのだが、意地の悪い問題はいきなり接点と来る。
いずれにしても、Ⅱ、Ｄ＝０ だ と言うことは ＡＸ２＋ＢＸ＋Ｃ＝０ を
作らなければ成らない。問題文を見ると 2 つのＹ＝がある。これを利用すれば
２Ｘ２－３＝２Ｘ＋ｋ だね。＝０を作るために、右辺の項を全て右に移項すれ
ば、２Ｘ２－２Ｘ－３―ｋ＝０ だ Ａ＝２、Ｂ＝－３、Ｃ＝－３－ｋ なので
Ｄ＝４＋１２＋４ｋ なのだ。 １６＋４ｋ＝０ 従ってｋ＝－４ となる。
あれ？座標は？ あわて無いあわて無い。ルートの中身が０なのだから当然
−B
2
1
Ｘ＝
＝
=
その時 Ｙ＝２Ｘ－４ （ｋ＝－４だからね）
2A
2×2 2
1
よってＹ＝－３
接点の座標は（ ，－３）となる。こんなもんだ。
2
いきなり接点と言われても、まずｋを出すのがポイント。
③の場合はこの項目の最初に書いたとおり。Ⅰ、Ⅱ、Ⅲの場合分けがそのまま答え。
④の場合はＸ２の係数が正か負かによって２パターンある。
それは二次の係数Ａ＞０であれば、関数のグラフは下に凸だから、交点が無い
Ⅲのパターンの場合、Ｙの値が全て正になるのである。逆に二次の係数Ａ＜０だ
と、Ⅲのパターンの場合、関数が上に凸で全てがＸ軸の下になる。つまりＹは全
て負という問題。
例えば 「全ての実数Ｘについて、２Ｘ２－ｋＸ＋１＞０となるｋの範囲」など
という奴。二次の係数２＞０だから、迷わず判別式。
Ｄ＝ｋ２―８ より ｋ２―８＜０ を解いて －２√２＜ｋ＜２√２ である
23
１３．一つの解が＊
これはもうＸ＝＊ を代入するしかない。まさに「解＝Ｘ」そのままだから
例えば、
「２Ｘ２―ａＸ＋１＝０ の一つの解が１の時、もう一つの解を答えよ」
と言う奴。当然Ｘ＝１を代入する。すると３－ａ＝０ だから ａ＝３ だ。
これで求める X が判らない。二次方程式解は二つあるのに。
そう今判ったａを代入すれば ２Ｘ２―３Ｘ＋１＝０ これは解の公式で簡単
に解けなければ困る。Ｘ＝
3± 9 −8
1
= 1,
4
2
だ、１は始めに与えられているから
1
と答えて欲しい。
2
もっとも１.縦の計算のできる人は ２Ｘ２―３Ｘ＋１をＸ－１で割り算して
２－１
１－１）２－３＋１
２－２
－１＋１
－１＋１
０
1
２Ｘ－１＝０より、Ｘ＝ を出しても良い。
2
解＝Ｘなので、とにかく代入だ。次の項もそれと同じ
もう一つの解は
１４．点(２、－３)を通る。
実は座標は何でも構わないのだが、文字で書くとそれだけで難しいと勘違いす
る人がいるのでこう書いた。
座標は本当は(Ｘ,Ｙ)＝(２,－３) と書くよね。しかしこのように書いたら
Ｘ＝２、Ｙ＝－３が見え見えだ、と出題者は考えるから、(Ｘ,Ｙ)を省くのだ。
と言うことは、Ｘ＝２、Ｙ＝－３を代入すればそれだけで答えが出ると言う事。
１５．公約数・公倍数
の考え方
「どちらも割り切れる・・・」という言葉が出てきたら、公約数の問題、たい
ていは最大公約数。しかし、これが、「どちらでも・・・」となったら、公倍
数の問題だ。両方セットで理解するしかない。
最大公約数(ＧＣＭ)、最小公倍数(ＬＣＭ)と言うが、何だかＧの方がＬより大
きく見えて、勘違いする人が多い。素因数分解を必ずするのだが、最大公約数
24
は共通部分の最大なのである。それに対して、公倍数は足りない部分を全て補
うと言うことだ。具体的な例で考えよう。授業で習うときは、二つの数字の公
約数・公倍数しか扱わないので、３つの数字の場合で考えよう。
１０８０、３３６、４５０ の公約数・公倍数を考える。素因数分解すると、
３3２3５ 、３・２４７、３２２・５２だから
共通部分を考えると公約数が出てくる。
GＣＭ＝３×２＝６ だ。１、２、３は公約数(最大ではない)
５については 336 の因数ではない、７は 336 のみだから論外。
足りない部分を補う(最大次数にあわせる)と公倍数になる。
ＬＣＭ＝３３２４５２７＝７５６００ である。
昔からの方法で、３個同時に素因数分解していく書き方があるが、個別に素因
数分解し、上のように比較する方法に勝るものは無い。
１６．整数問題
「～な整数 X、Y を求めよ」と言う整数問題。公式は無い。工夫し考えなけれ
ばならない。多くは時間稼ぎの問題であるから、最初から取り組むべき問題では
ない。しかし、できるべき問題を解いてしまった後、アタックするなら整数問題
がよいだろう。きっかけは、素数の素因数分解である。例で示そう。
「XY－２X＋５Y－１３＝０ である整数 X、Y の組み合わせを答えよ」と言
う問題。
整数＝整数×整数の考え方を使う。
XY があるので(X＋A)(Y＋B)の形に因数分解できそうなことが分かる。
―２X、＋５Y があるので、A=５、B＝－２らしいなと考えられればしめたも
の。(X＋５)(Y－２)＝XY－２X＋５Y－１０ と問題式を比べればー３の違いだ。
XY－２X＋５Y－１３＝(X＋５)(Y－２)－３
だね。見えるかな？
(X＋５)(Y－２)－３＝０ より (X＋５)(Y－２)＝３ を作るのが要。
３は素数なので、１×３か３×１、(－１)×(－３)、(－３)×(－１)しかない。
Ⅹ＋５＝１なら Y－２＝３ → (X,Y)＝(－４，５)
Ⅹ＋５＝３なら Y－２＝１ → (X,Y)＝(－２，３)
Ⅹ＋５=―１なら Y－２=―３ → (X，Y)=(－６，－１)
Ⅹ＋５＝―３なら Y－２＝―１ → (X,Y)＝(－８，１)
と言う具合にやる。最終的に個別に数え上げるために因数分解の形を作ると考え
よう。
整数問題は、新指導要領で領域化されたので、和算の九去数の手法・中国式剰
余定理（ユークリッドの互除法）を、巻末に加筆した。
25
１７．グラフを書く
「グラフを書きなさい」とあれば当然だが、関数の問題は、グラフを書けと書
いていない場合、略図でもよいからグラフさえ書けば答えが見つかる場合が多い。
よって、どんな場合でもすぐにグラフが書けるようにすると良い。
数Ⅰ数Ⅱを通してグラフと言ったら①直線②二次関数③円④三次関数である。
① 直線 Y＝ａＸ＋ｂ これは傾きａ、Ｙ切片ｂと習う。
Ｙ切片とはＹ軸(Ｘ＝０)を通る点のＹ座標がｂであると言うことは分かりや
すい。一方傾きａとはＸ方向に１進んだ時、Ｙ方向にａすすむのであって、
ａが分数である時分かりにくいと言うが
2
−2
Ｙ＝ − X + 2 などと言う場合、ａ＝
なので、Ｘ方向に３進んだ時Ｙ
3
3
方向は２下がる(－２)と解釈するのである。
数Ⅱでは将来(Ｘ，Ｙ，Ｚ)立体空間での拡張を考えて、
直線の式を、ＡＸ＋ＢＹ＋Ｃ＝０ の形を基本形と教える。この式をこの形
に変形すると、２Ｘ＋３Ｙ－6＝０ だ
しかし、グラフを書く時は、ＡＸ＋ＢＹ＝－Ｃ の形に留めて置いた方が良い
２Ｘ＋３Ｙ＝６ を観ると何か感じるだろうか？
私はＹ切片に対してＸ切片と教えている。
この形ならＸ＝０ならＹ＝２、Ｙ＝０ならＸ＝３ はすぐに見えるだろう。
グラフを書く時はＸ切片(３，０)、Ｙ切片(０，２)を取り、２点を定規で結べば
良いのだ。これが直線の描き方。
② 二次関数は、放物線になる、頂点を中心に左右対称に増えていく。
まず、頂点の求め方。平方完成と言う手法を習うだろう
Ｙ＝ＡＸ２＋ＢＸ＋Ｃ＝Ａ(Ｘ－Ｐ)２＋Ｑ と言う形に変形すると
頂点の座標は(Ｐ，Ｑ)となると言うもの。だからこの形の変形は大事。平方完
成と呼ばれる手法である。Ａで括って、Ｘの係数の半分で・・とややこしい。
しかし、解の公式を知っていると±の前までがＰと言えばすぐ分かる。
例えば Ｙ＝３Ｘ２－１２Ｘ＋１ の場合
− B − (− 12 )
Ｐ＝
=
= 2 なので Ｙ＝３(Ｘ－２)２＋Ｑ はすぐ分かる
2A
2×3
Ａはどちらの式にも共通なので変化しないが、こう書くとＱが書いてないじ
ゃないかと言われる。実はＱはもっと簡単だ。
Ｑは頂点のＹ座標。つまりＸ＝Ｐの時のＹの値だから、元の式に今出た２
を代入すればよいのである。Ｑ＝３×２２－１２×２＋１＝－１１ だ
よって頂点は(２，－１１)、平方式は Ｙ＝３(Ｘ－２)２－１１。
26
この問題はＡが分数になると際立つ。
3
1
なんてのをやって見ると良い。平方完成の大変さが判る
Ｙ＝ X 2 − 3 X +
2
2
3
3
3
1
解の公式ならこうだ ２Ａ＝ × 2 = 3 、Ｐ＝ = 1 、Ｑ＝ − 3 + = −1
2
3
2
2
3
2
だから 頂点(１，－１) 平方式 Ｙ＝ ( X − 1) − 1 だ。
2
頂点を決めてもそれだけでグラフが書けるわけではない。
そこで活躍するのが二次の係数Ａだ。これは一次式でも傾き(Ｘ１増えた時の
Ｙの増分)を教えてくれた。二次式でもＹの増分を教えてくれる。
例えばＹ＝２(Ｘ－１)2＋３なら頂点(１，３)を中心に、Ｘが±１増えるたびに
(2,5),(3,11),(4,21),(5,35),……(0,5),(-1,11),(-2,21),(-3,35),…..である。
Y 座標は左右対称なので当然同じ、その増え方を見てみると
２、６、１０、１４、・・・と増えていくのに気付く。
では、Ｙ＝－２(Ｘ＋２)2－５ならどうか。頂点(－２，－５)を中心に
増分だけ見ると
－２、－６、－１０、－１４ あれ？－付いただけで、さっきと同じだぞ
じゃあ Ｙ＝３(Ｘ―２)2＋１ では、頂点(２，１) その増分は
３、９、１５、２１、・・・だ、残念同じじゃないや
いやちょっと待て、この数字係数 A で割ったら、みんな同じ
１、３、５、７、・・・じゃないか、この後 ９、１１、１３、・・・
奇数じゃないか。・・・その通り。これが決まり！
Ｙ＝２(Ｘ－３)2－５ のグラフは、次のように点を取って行きながら描く
頂点
(３，－５)
２×１＝ ２
(４，－３)、(２、－３)
－５ ＋２＝－３
２×３＝ ６
(５， ３)、(１， ３)
－３ ＋６＝ ３
２×５＝１０
(６，１３)、(０，１３)
３＋１０＝１３
あとは滑らかな線で結べばよい。
こうすれば、二次関数のグラフも
素早く書くことができる。
頂点と、Ｙの増分である。
１、３、５、７、９・・である
27
③ 円のグラフ これは、中心のみで位置が決まり形はみな同じだから、簡単に
書かなければいけない。中心は次の項目「１８．平行移動」を考えれば理解
できるはず。(Ｘ－３)２＋(Ｙ―２)２＝４２の円は中心(３,２)、半径４である。
(３，２)を中心に上下左右４離れた所
に４つの点を取る。更にその間の角度
４×0.7＝２.８離れた点を４つ取る。
右のように８個の基準点が決められる。
あとは滑らかに結ぶだけ
④ 三次関数
４分割法に勝るものは無い。
関数のグラフは、本来、Ｘ～Ｙの表を作って、０、１、２・・・と代入して
出来た座標の点をグラフ上に記入していく(プロット)のが最も良い。
しかし、代表的な点をいくつか取って、滑らかな線で結ぶのは、全体像が
つかめて、効果的な場合が多い。
数Ⅱでは微分の集大成として、微分係数０の点(極値)を二つ求め、その前後
の関数の増減表を作り、グラフの略図を作ろうと言うもの。一見理にかなっ
ているが、極値を見れば微分係数の正負を調べなくとも、増減は当然。２点
しか取らないので、雑な略図になる。問題解法になどとても使えない。
予備校の手法、４分割を使うと５つの点をプロットできる。また最大値最
小値を考える重要な手がかりになる。紹介しよう。
例えばＹ＝Ｘ3－３Ｘ＋１ の場合、Ｙ‘＝０となる２つのＸを求めて、極値
２箇所を決める。ここまでは教科書どおり
Ｙ‘＝3Ｘ2－３＝０ → Ｘ＝±１ 極値(－１，２)、(１，－２)となり
教科書では、次のような増減表を作る
極大
極小
Ｘ
－１
１
Ｙ‘
＋
０
―
０
＋
Ｙ
３
－１
これだけの情報でグラフを作れと言う。無茶苦茶だ
４分割法はこうだ。５プロットもあれば増減の矢印は不要だ
左点
極大
中点
極小
右点
Ｘ
－２
－１
０
１
２
Ｙ‘
０
中
０
Ｙ
－１
３
１
－１
３
28
中点・左点・右点などと言う言葉が出てきて、何だ？と思うだろう。
しかし、分かってみれば簡単。
中点は、文字通り極大値・極小値の中点。Ｘも足して２で割り、Ｙも足し
て２で割る。必ずこの点を通る。計算してみると良い。極大・中点・極小の
Ｘ座標の間隔は 1 ずつ均等である。
この間隔１が大切
左点は極大値からこの間隔１だけ左の場所、
Ｙ座標は極小値と同じ。
右点は極小値からこの間隔１だけ右の場所、
Ｙ座標は極大値と同じ。
５つの点を滑らかに結び、延長すれば終わり。
ほぼ正確な図が誰でも書ける。
１８．平行移動
数学の手法の中で、
「Ｘ方向に３平行移動した」と言われたら「Ｘ→Ｘ－３」
に置き換えると言うことだ。これはＹにも言える。
Ｙ方向にー２と言われたら「Ｙ→Ｙ＋２」だ。変換理論と言う。
この考え方を使えば、点（2、３）を通る、傾き４の直線 と言うのは
Ｙ＝４Ｘ のグラフを原点(０，０)→(２，３)に平行移動と考え
Ｙ－３＝４(Ｘ－２) カッコを外してＹ＝４Ｘ－５ とやる。
１７．で出てきた平方式も、実は平行移動だ
Ｙ＝ＡＸ2 のグラフを頂点(Ｐ，Ｑ)まで平行移動すれば
(Ｙ－Ｑ)＝Ａ(Ｘ－Ｐ)２ → Ｙ＝Ａ(Ｘ－Ｐ)２＋Ｑ
同じく円も 原点中心の円 Ｘ２＋Ｙ２＝ｒ２ を（Ａ，Ｂ）に平行移動
(Ｘ－Ａ)２＋(Ｙ－Ｂ)２＝ｒ２ が円の一般形になる。
２平行移動はー２、－３平行移動は＋３である。
この手法を知らないと
「Ｙ＝２Ｘ２＋３Ｘ－１ のグラフを、Ｘ方向２、Ｙ方向－１平行移動した関
数を答えよ。」などと言うやつを、平方完成して頂点求め、頂点を平行移動
して、平方式を出し、カッコを外して答えを出す。いやはや大変。
変換理論ではこうだ。 Ｘ→Ｘ－２、Ｙ→Ｙ＋１
Ｙ＋１＝２(Ｘ－２)２＋３(Ｘ－２)－１
カッコを外せば
２
Ｙ＋１＝２Ｘ －８Ｘ＋８＋３Ｘ－６－１
整理して
２
Ｙ＝２Ｘ －５Ｘ
たった２行で終わりだ
29
１９．対称移動
同じ移動でも、対称移動は符号が変わる。Ｘ軸対称の場合、Ｙの符号が変わ
る。Ｙ→ ―Ｙ だ。多くの場合、Ｙ軸対称だから、Ｘ→－Ｘの変換をする。
Ｙ＝３Ｘ２－２Ｘ＋１ をＹ軸対称移動すれば
Ｙ＝３(－Ｘ)２－２(－Ｘ)＋１＝３Ｘ２＋２Ｘ＋１ だ。
原点対称と言うのは、Ｘ軸にもＹ軸にも対称という事だから、ＸもＹも符号を
変えるのである。この問題の例であれば
－Ｙ＝３(－Ｘ)２－２(－Ｘ)＋１
なので
２
Ｙ＝－３Ｘ －２Ｘ－１
である。
平行移動も含めて、移動は「変換」と心がけよう。
２０．最大値・最小値
入試の数学では必ず関数が出題されるのは当然だが、中でも難問が多いのが、最大値・最小値問
題である。
これは、二次関数の頂点を求める手法（平方完成）から派生され、「二乗の残
り」、
「相加相乗平均」、
「三角関数の振幅」
「グラフ問題」の４系統に分類される。
それぞれの複合系などを含めて、９種類の出題パターンがある。
Ａ
二乗の残り、
その１
Y=３Ｘ２－１２Ｘ＋５
頂点
の最小値
頂点が、最小値になるので、P,Q の計算だ。
X２の係数マイナスなら最大値に成る、
P＝
＝
＝２
Y=３(X－２)２－１９
Q=Y(p)＝３・４－１２・３＋５＝－１９
で
X=２
のとき
最小値―１９
なので、
とやる。
これは頂点の座標だから、視覚的に理解できる。平方完成の問題と呼んでも良
いだろう。
この式を二乗の部分
３(Xー2)２
と
その余り
－１９
と考えれば、二乗の
部分の最小値は０であるから、二乗の残りと言う言い方も納得できるであろう。
30
すると次のパターンが理解できよう。
その２
Ｘ２＋Ｙ２－２Ｘ＋４Ｙ＋３
2 つ以上の二乗の残り
の最小値
これは円・楕円の方程式に出る形
X は X で、Y は Y でまとめて平方完成
(X－１)２―１＋(Y＋２)２－４＋３＝(X－１)２＋(Y＋２)２－２
と変形すれば
二乗の余り・・・－２ だから(X,Y)＝(１,－２)の時
とすぐに出る。
最小値―２
更に Z の二乗・・・を含んでいても同じだ。
その３
Ｘ２－２ＸＹ＋２Ｙ２＋２Ｘ－６Ｙ＋６
X,Y 複合形
の最小値
XY の項があると、これを解くには、平方完成より P→Q の解の公式方式に軍
配が上がる。
X２＋(－２Y＋２)X＋(２Y２－６Y＋６)
X について整理すると
と変形
P＝Yー1
Q＝(Yー1)２＋(－２Y＋２)(Yー1)＋２Y2＋２(Yー1)－６Y＋６＝
更に Y について、平方完成すれば
Y＝２
答え(X,Y)＝(１,２)
Ｂ
X=１
→
の時
なので
最小値１
相加相乗平均
本来これは
（
与式＝(X－Y+1)２＋(Y－２)２＋１
)内＝０より、まず、Y だけの式から、Y の値が
二乗の余りの原理を使えば(
決まる。
Y2－４Y＋５
と答えられる。
公式は
≧
と言うものだが、
）の二乗が正である事から説明される。
従って、本来の形は
ａ＞０、ｂ＞０
なら
ａ＋ｂ≧２
とされるべきだ。
実際の問題を解くときもこの形で使われる。
その１
一般形
の最小値。
31
これは X２≧０が隠れ範囲としてあるので、
X≠０なら(
)＞０
なので
相加相乗平均より
の時、つまり
その２
＝
≧２
X=±
のとき、最小値
分母で相加相乗平均
となり
と答える。
（X>0）
の場合の最大値
分数の形で最小・最大は、相加相乗平均でしか解けない。
そこで式の形を見ると。分子の X２≠０に注目し、分子分母をこれで割る。
すると
与式＝
の形になる。
相加相乗平均より
≧２
分子は定数なので、分母だけ考えると
＝４
なので X＝
つまり
X＝２(X>0)の時、分母は最小値４になる。
分母が大きくなるほど、分数の値は小さくなる。従って全体は
X＝２
Ｃ
の時、最大値
と言う解答を得る。
三角関数の振幅
Y＝Sinθ
や
Y＝Cosθは
振動関数なので、その振幅が最大・最小となり、
ほぼ自動的に、最大値・最小値の対象になる。気をつけるべきは、
Sin はθ＝９０°で最大値１、θ＝２７０°で最小値―１
Cos はθ＝０°、３６０°で最大値１、θ＝１８０°で最小値―１
厄介なのは数Ⅰだ。θの範囲が０°≦θ＜１８０°の限定がある。
32
となる事。
この場合、Sin は、θ＝９０°で最大値１は同じだが、最小値はθ＝１８０°で
０
と限定される。
Cos はそのまま、０°と１８０°が最大値・最小値だ。これが問題。
数Ⅱまで履修し、数Ⅰのみで受験する者が引っかかる。要注意
要注意
その１
基本形
２Ｃｏｓ(θ―３０°)－１
の最小値と、最大値。
－１は全くの定数。２は振幅だから、最大最小に影響するのは Cos の部分。
これは
θ―３０°＝０°または３６０°の時、最大値１
この問題の場合、３９０°は範囲外、よってθ＝３０°の時最大値１
θ―３０°＝１８０°の時、つまりθ＝２１０°で最小値―１
よって全体としては振幅の２を掛けて定数―１を足すので
答え
θ＝３０°で最大値１、θ＝２１０°で最小値―３
となる。
２Sinθ＋３Cos(９０°―θ)なんて奴も、変換すればこの形
その２
単振動の合成形
＋Cosθ
の最大値・最小値
一つの式の中に Sin と Cos の両方はいっていると、大変そうだが、Sin
Cos
両方あれば単振動の合成。
与式＝２Sin(θ＋３０°)と成るから、答え
０°で最小値―２
その３
θ＝６０°で最大値２、θ＝２４
は簡単だろう。
二次関数との複合形
２Sin２θ＋２Cosθ＋３
の場合
二次と一次の三角関数は、一次に合わせて統一する。
三角関数最重要公式
Sin２θ＋Cos２θ＝１
は
Sin２θ＝１－Cos２θ、Cos２θ＝１－Sin２θ
Sin２と Cos２
この場合
と変形できるので
はいつでも交換できる。この変換は、よく問題に使われる。
この変換は、よく問題に使われる。
与式＝２(１－Cos２θ)＋２Cosθ＋３
と変形でき
33
Cosθ＝X と置き換えれば
与式＝－２X２＋２X＋５
となって、頂点を持つ二次関数になる。
よし！A＜０だから頂点が最大値になるな・・・・と思ったら、問題作者の術
中にはまった。
Cos を X に置き換えているので、
実はこの問題には「隠れ範囲」がある。(－１≦X≦１)を忘れてはいけない。それ
を押さえて頂点を出せば
P＝
Q=
範囲がある二次関数では、頂点から遠いほうの範囲が、逆の最○値
左端(X=－１)の方が P より遠い。Y(ー1)＝１
やったぁー、X＝ で
最大値
、 X=－１で
なので
最小値１とやると、再びはまっ
た
そう、この問題はθで出題されている。答えもθで答える。
X＝Cosθ＝ より
よって本当の答えは
D
θ＝６０°、X＝Cosθ＝－１
よりθ＝１８０°
θ＝６０°で最大値 、θ＝１８０°で最小値１
となる。
グラフ化問題
「X＋Y の最大値を求めよ。」と言われたら、九分九厘これ。勿論、最小値も同じ
手法で求められる。
必ず条件として「範囲付きの関数」が与えられる。二つの例を示すが、手法として
は同じなので 1 種類として数えた。
34
その 1
「X2＋Y2＝4 の時、X＋Y の最大値・最小値を求めよ。」
前半は円の方程式だ。
X+Y はヒントだから、
そのまままは使わない。
X+Y＝ｋ
と置き、Y＝－X＋ｋ
と変形する。
グラフとして考えれば、この式は、傾きー１の直線が、
Y 切片ｋによって、上下に自由に移動する形だ
よって、右のようなグラフを書いて、上に接する式と
下に接する式を、探せば、答えが判る。傾きー１は、１３５°の事だから、４５°
の交点
（√２、√２）と（－√２、－√２）を代入して答えを求めれば
最大値 2√2
その 2
、最小値―2√2
が容易に求められる。
話が三次式に成ると範囲が必要だ
Y=3X3―4X―1
5X－Y＝ｋ
（0≦X≦2）の時、5X－Y
と置いて、Y＝２X－ｋ
の最大値を求めよ。と言う問題
と置くのは同じだが、Y 切片ｋが、－ｋに
なっている事に注目。
ｋの最大値は、Y 切片の最小値になるのです。
三次関数のグラフは、極値を求めて 4 分割に勝る
ものはありません。やってみましょう。
Y’＝9X2－4＝0
X2 =
→
X＝
ですから、Y＝
に代入して
Y( )＝
≒―2.8、Y(
)＝
≒0.8
35
極大・
中点・
極小・
左点・
右点
を取って
( 、0.8)（ 、―2.8）（0、－1）（ 、－2.8）（ 、0.8）
この５点を通るので前図に成る。
この図の範囲で傾き 2 の直線が下に接する点を探す・・・・難しそうだね
いえいえ、極値を出す為に、微分係数の式が出てるでしょう
9X2－4X＝5
なんです。
解の公式で解いて
では X=1
9X2－4X―2＝0
とでるけれど、
（0≦X≦2）の範囲
のみ
よって、Y=3―4―1＝―２
なり
→X＝
→5X－Y＝5＋2＝4
直線＝Y＝5X－７
と
答え 最大値７
最大値・最小値と言うキーワードが出てきたら、この 4 系統 9 種類に間違いない。
自信を持ってアタックしよう。
この分類は、「隠れ範囲」「使いづらい数値の置き換え」「公式の導入」など、演
算テクニックの宝庫だ。
何度も繰り返し練習しよう。
36
２１．関数の決定
基本形は、一次関数なら Y＝ａX＋ｂ
二次関数なら Y＝AX2＋BX＋C または Y＝A(X－P)２＋Q であり
関数を決定するとは、この定数 A、B、C、P、Q を、ヒントの条件から決定
するという事だ。使われる用語に次のようなものがある。
傾き＝ａ、Y 切片＝ｂ、Ｘ方向１増えるとＹは○増える ○＝ａ
対称の軸がＸ＝２→Ｐ＝２、頂点の座標(２，３)→Ｐ＝２、Ｑ＝３
最大値が４→Ｑ＝４、（３、－１）を通る→Ｘ＝３、Ｙ＝－１を代入。
二次関数の場合、３点の座標が与えられた以外は Y＝A(X－P)２＋Q に代
入するのが最も良い。しかし、この場合最後に Y＝AX2＋BX＋C の形に直
す事を忘れてはいけない。カッコを外せと言うことだ。
３点の座標が与えられたら、Y＝AX2＋BX＋C に代入し、３つの一次式を
作り、連立方程式を解くのだが、３つの場合などやった事が無いと言う。
現実は３つではないのに、やる前から知らないと言って諦める。数学の求め
るものは、目の前に見せられないものを、頭の中でシミュレーションできる能
力だ。やった事が無いと諦める者に、数学は習得できない。やってみれば誰で
もできる。数学が出来るか出来ないかは、やってみるか諦めるかの違いだ。
実際にやってみよう ３点(１，０)、(２，３)、(－１、６)を通る場合。
ＡＸ2＋ＢＸ＋Ｃ＝Ｙ
と書くのが急所
(１、０)→
Ａ ＋Ｂ ＋Ｃ＝０
①
(２、３)→
４Ａ＋２Ｂ ＋Ｃ＝３
②
(－１、６)→
Ａ －Ｂ ＋Ｃ＝６
③
こうして３つ並べてみると、Ｃの係数が全て１なのが判る。考えてみれば当
然だ。元の式ではＣは定数項だからＸに関係ない。加減法を使えば
②－① →
３Ａ ＋Ｂ ＝ ３
④
②－③ →
３Ａ＋３Ｂ ＝―３
⑤
となり普通の連立だ
Ｃの係数は全て１である以上、みな二元連立方程式になる。必ず解ける。
これが関数決定のパターンだ。
37
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