教科:数学 科目:数学Ⅱ 学習指導要領 (1) ,hﾇh蠅 i,ヽ 宙4 韭 ろ 倅 鵁,ﾈ しヽ 謁ﾘ/ ろな 式 i IZｨ / +x. ｨﾘx, ﾈ id yﾘ ,f id ﾉ ﾘ)9乂xﾕｨｧy￨ﾘ5 85 ｸ6 Jﾙ5z2 1.展開,因数分解の公式を活用できる○ 顋ﾉd ﾏh ﾉZｩ ﾈ淑 H IZｨ +Rﾈ+ｸ.ｨ.x/ w ,ﾈﾇh蠅 ,ﾈﾏh *(,H 例1(1)の式を展開せよoまた,(2)∼(5)の式を因数分解せよo ｷ ? ﾘ ,ﾉ5x､ｨ." (1)(X+y+2)3(2)27X3+64(3)X3-125y3 (4)8X3-12X2+6X-1(5)X3-y3-23-3xyz -ﾈ+ﾒﾉ 韭 ﾈ ﾉd ." Zｩ H ,ﾈ賈 Xﾇh螽, (*(,Iyﾘ +Rﾈｬ (*(,Hﾇh螽/ +x. ,f , 例2(a+2b)7を展開せよo 2.二項定理を活用できるo 例1(1+2a-3b)7の展開式におけるa2b3の係数を求めよo 例2(亮+1)5の展由式醸ける定数項を求めよo 例3次の等式が成り立つことを証明せよo nco-辛+幸一..--+(-1)n掌一手 1 例4101100の下位5桁を求めよ○ 例52951を900で割ったときの余りを求めよ0 3.整式の除法,割り算の基本等式を活用でき るo 例12X2-X-1で割ると,商が4X+5,余りが-2X+1 である整式Aを求めよo 例2X4+3X3+2X2-1を整式Bで割ると,商がX2+1, 余りが-3ズー2であるo整式月を求めよ0 4.分数式の四則計算ができるo 例1次の計算をせよo X+lxl (1)而こす-手こす(2)X24.4-X_2十xi2 111 (3)(X+1)(X+3)+(X+3)(X+5)+(X+5)(X+7) (4)ゼ±些±旦ゼ型 ∫+3∬+4 (5)芸を一誌至芸≡;.芸≡芸 例2次の式を簡単にせよo 1 `1)去(2)1-妄 教科:数学 科目:数学Ⅱ 学習指導要領 (1) 宙42 しヽ 俾 俾 )W99俾 ろ 舒馮ｹ4 しヽ ろ 剽 な 式 iW99俾 ｸ 冖 ｩ .( x. ﾈ 洩 ﾈ.越x,(+ H,ﾉ ,f ﾉ ﾘ)9乂xﾕｨｧy￨ﾘ5 85 ｸ6 Jﾙ5z2 5.恒等式の性質を理解し利用する○ ,h/ ｸ ﾈ+ｸ.ｨ.x,ﾂ , x/ 例1次の等式が∬についての恒等式となるように,定数α, w *(,H b,C,dの値を係数比較法を用いて定めよ○ ax3+25X2+bx+6-(X+3)(cx+1)(3X+d) 次の等式がXについて.の恒等式となるように,定数a, 冀,Cの値を数値代入法を用いて定めよo X2-13X+13-a(X2-1)+b(X+1)(X-2)+C(X-2)(X-1) 1 例3等式(X.1,(X.2,(X+3,-7fT.諾2.ますが Xについての恒等式となるように,定数a,b,Cの値を 定めよ○ 例4次の等式がX,yについての恒等式となるように,定数 a,b,Cの値を定めよム 6X2+17xy+12y2-1lx-17y-7 -(axp+3y+b)(cx+4y-7) 6.等式の証明ができるo 例1次の等式を証明せよ○ (1)a5-b5-(a-b)(a4+a3b+a2b2+ab3+b4) (2)(a-b)2+(b-C)2+(C-a)2 -顎a+b+C)2-可ab+bc+ca) 例2a+b+C-0のとき,等式が成り立つことを証明せよo (1)a2+2b2-C2+3ab+bc-0 (2)a3+b3+C3--耳a+b)(b+C)(C+a) 例3%-圭子のとき,等式篇-競器が 成り立つことを証明せよ0 7.比例式を条件とするときの式の値が求められるo 例1宇-y芸2-雪ヱ(≒o)のとき,Xy'yZ'ZX x2+y2+Z2 の値を求めよo 例2-ijiヱ土旦a+bのとき,この式の値を求めよo a=b=C 教科:数学 科目:数学Ⅱ 学習指導要領 (1) Vヽ ろ な 式 ﾘ)9乂xﾕｨｧy￨ﾘ5 85 ｸ6 Jﾙ5z2 8.不等式の証明ができる○ レヽ 剽 ろ ﾉ 次の不等式を証明せよoまた,等号が成り立つのは 凾ﾇのようなときかo 1)X2-6xy+10y2≧4Jト-4 2)(a2+b2)(X2+y2)≧(ax+by)2 3)a≧0,b≧0のとき5J百十3JT≧耶 4)a≧0,b≧0のときJ訂+JF≦将了町 例2次の不等式を証明せよo (1)a2十b2+C2≧ab+bc+ca (2)a4+b4+C4≧abc(a+b+C) (3)X20,y≧0のときlfx.1王,≧瑞 (4)X≧0,y≧0,2≧0のとき lfx.1苦,.1三Z≧1.雲荒 9.絶対値の性質を利用して不等式の証明ができるo 例1次の不等式を証明せよo (1)Ia+bl≦laL+lbI (2)lal-lbl≦la+!bl (3)la+b+cl≦laI+Fbi+lcl 10.相乗平均.相加平均の大小関係を利用して不等式の証明 や式の最小.最大の問題が解けるo 例1α,古か正の数のとき,不等式が成り立つことを証明せよ また,等号が成り立つのはどのようなときれ (1)a.2+ 品≧6(2)(a.i)(b.‡)≧18 例2X>0のとき,X+xl+62の最小値を求めよo 例3X,0,y,0のとき,(3X.2y,(主音)の最′順を 求めよo 例4X2.2X.‡-xi2.2は,X-ア口のとき, 最′順イ口をとるoただし,X,0とするo 教科:数学 科目:数学Ⅱ 学習指導要領 (1) 8ﾘ(鴿_ｹ/h しヽ 宙4 ろ しヽ H/ Z i 兒 i i H,ﾈ賈 ﾉ ﾘ)9乂xﾕｨｧy￨ﾘ5 85 ｸ6 Jﾙ5z2 ll.複素数の加法,減法,乗法の計算ができる○負の平方根 H,i? 鴿_ｹ/h H-ﾈ,Xｦy*8+x. Xﾇh螽/ ろ な 式 俾 ﾈ ,ﾈ顥} ﾉKｹ¥ｨｷ 8ｶ +x. / ,f の定義を理解し,負の平方根の計算ができるようになる○ yﾘ +RﾉZ -ﾈ+ﾒﾉ? 例1次の計算をせよo 鴿_ｹ/b ,hﾅy H,ﾈｭhﾅx, " *(,Iyﾘ +x. (1)(4+5i)-(3-2i)(2)(2+i)2 ,h ｲ (3)J-=27√=TF(4)(2+√二百)(3-√二百) 12.共役複素数の和,積の性質を利用して複素数の減法計算 ができ,さらに複雑な式の計算を工夫できるo 例1次の計算をせよ○ ･1)32≡……(2)業苦一丁完(3)誌宗 (4)(2+i)3+(2-i)3(5)(JF+i)4+(J5--i)4 (6)(i-i)(i+i)i3(W.i2.i3..-...i50 例2X=二1±∠聖,y=二ヒ逆であるとき, 22 (1)X+y(2)xy(3)X2+y2 (4)X3+y3+X2y+xy2 13.複素数の相当条件を理解し,問題解法に利用できる○ 例1等式を満たす実数X,yの値を,それぞれ求めよo (3+2i)X+2(I-i)y-17-2i 例213吉芋が(1)実数(2)鵬数となるように, 実数∬の値を定めよo 例32乗すると6iになるような複素数2-X+yiを求めよ. ただし,(X,yは実数) 14.係数が実数である二次方程式を複素数の範囲で解けるo 例1次の2次方程式を解け○ (1)3X2+5X-2-0(2)2X(3-X)-2X十3 (3)去X2-与X.圭o (4)(J3--1)X2+2X+(JBL十1)-0 教科:数学 科目:数学Ⅱ 学習指導要領 (1) Vヽ ﾉ ﾘ)9乂xﾕｨｧy￨ﾘ5 85 ｸ6 Jﾙ5z2 15.係数に虚数を含む二次方程式の問題が解けるo 剽 Xの方程式(i+1)X2+(A+i)X+ki+1-0が実数解を ろ い ろ 凾烽ﾂとき,実数kの値を求めよ..i2--1とする0 16.二次方程式の判別式を理解し応用できるo な 式 剽 2次方程式の解の種類を判別せよokは定数とするo (1)X2-3X+1-0(2)4X2-12X+9-0 (3)-13X2+12X-3-0(4)X2-(k-3)X+k2+4-0 (5).X2-(k-2)X.考+5-0 17.2次方程式の解と係数の関係を問題解法に利用できるo 例12次方程式2X2+8X-3-0の2つの解を.α.βとする. (1)α2β+αβ2(2)耳3-α)(3-β) (3)α3+β3(4)α4+β4 (5)去.与(6)豊十号 例22次方程式X2-(k-1)X+A-0の2つの解の比が 2:3となるとき,定数kの値を求めよo 例3Xの2次方程式X2-2kx+k-0(kは定数)が異なる 2つの解α,α2をもつとき,αの値を求めよ0 18.2次方程式?解と2次式の因数分解の関係を理解し利用 するo 例1次の式を,複素数の範囲で因数分解せよo (1)J3Lx2-2JTx+Jg(2)X4-81 (3)X4+2X2+49 19.2次方程式の解から2次方程式を作成できるo 例1二ユ±∠聖二ヒ塾を2つの解とする2次方程 22 式を1つ作れb 例2和が3,積が3である2数を求めよo 例32次方程式X2-2X+3-0の2つの解をα,βとする とき,α+与,β亮を解とする2次方程式を1-- 教科:数学 科目:′数学Ⅱ 学習指導要領 (1) 宙42 i しヽ ろ I.謁ﾘ,hﾘ(鴿_ｹ/h ﾉ ﾘ)9乂xﾕｨｧy￨ﾘ5 85 ｸ6 Jﾙ5z2 例42次方程式X2+Px+q-0の解をα,βとするとき, 数α2,β2を解とする2次方程式の1つが 儿2-4X+36-0であるという○ しヽ な 式 ろ 凾ｱのとき,実数の定数?,qの値を求めよo 0.2次方程式の実数解の符号とその同値関係式を理解し利 用できるo解の存在範囲の問題ができるo 例12次方程式X2-(a-10)X+a+14-0が次のような解 をもつように,定数αの値の範囲を定めよ○ (1)異なる2つの正の解(2)異符号の解 例22次方程式∬2-2か+♪十2-0が次の条件を満たす解 をもつように,定数クの値の範囲を定めよo (1)2つの解がともに1より大きいo (2)1つの解は3より大きく,他の解は3より小さい0 21.剰余の定理を理解し問題の解答に応用できるo 因数定理について理解し,簡単な高次方程式 凭 韭 を,因数定理などを用いて求めることo 浮ﾓ(,XｨH. 式の解の種類の判別及び解と係数の関係につ 凭 いて理解することo ) c5さYuﾘ.鑓+ ｒﾕ bﾓYuﾘ. 韭 ｶ ｶ'ふ h*ｲﾉ. ｘ/ ﾓ ,ﾈ,h*ｲﾅ F ﾕさ8,XｨH. ﾆ(,ﾉ&ﾈ/ ,XｨH. ｘ/ . cEふ9uﾘ.で ｢ﾂ .f ﾓH,XｨB ｳ9zrｳ(,XｨB つた余りを求めよo 例3整式P(X)をX+1で割ると余りが-2,X2-3X+2で 割ると余りが-3X+7であるというoこのとき,P(X) を(X十1)(X-1)(X-2)で割った余りを求めよo 22.因数定理を理解し問題の解答に応用できるo 例1次の式を因数分解せよo (1)∬3-∬2-10ズー8 (2)2X4-3X3-X2-3X+2 例2X-1+JTiのとき,次の式の値を求めよo P(X)-X4-4X3+2X2+6X-7 例3次の方程式を解けo (i)X3+3X2+4X+4-0 (2)2∬4+5∬3+5∬2-2-0 教科:数学 科目:数学Ⅱ 学習指導要領 (1) ﾒ 4 しヽ ろ +ﾉ 剽 い ﾈ,h冷 ﾉ ﾘ)9乂xﾕｨｧy￨ﾘ5 85 ｸ6 Jﾙ5z2 23.高次方程式を因数分解を利用して解けるo 次の方程式を解けo ろ 1)X3-27(2)34-X2-6-0(3)X4+X2+4-0 24.1の3乗根とその性質を理解し利用できるo な 式 剽 (2) 1の3乗根を求めよ○ 剽 1の3乗根のうち, 虚数であるものの1つをWとする○ (1)W2(2)dV7+a,8(3)(a,+2dI2)2+(2血+a,2)2 (3)忘+去.1の値をそれぞれ求めよ0 25.方程式の解から方程式の係数と他の解を求められるo 例1次方程式X3+X2+ax+b-0,の解のうち,2つが-1 と-3であるとき,定数α,あの値と他の解を求めよo 例2次方程式X3+ax2+bx十10±0の1つの解がX=2+i であるとき,実数の定数α,∂の値と,他の解を求めよ0 26.3次方程式の解と係数の関係を理解し利用できるo 例13次方程式X3-3X十5-0の3つの解をα二β,γとする とき,α2+β2+γ2,(α-1)(β-1)(γ-1),α3+β3+γ3 の値をそれぞれ求めよo 例23次方程式X3-2X2-X十3-0の3つの解をα,β,γと するとき,α+β,β+γ,γ+αを解とする3次方程式を 1つ作れo 1.数直線上の線分の距離,内分点,外分点を求められるo 図 宙4 ,i+ﾉ 形 俐 Ux/ と 丶 Zｨ+x. w 8,ﾉ ,ﾈ見'X.)? 5 ﾈ+ﾒﾈﾜ Uy[ﾙlｨ 檀 ｨ/ +ﾉ 式 例1数直線上の3点A(-2),B(1),C(5)について,線分AB *(,Bﾉ[ﾙlｨ 方 ? ﾂ ,h 8,ﾉ+ﾉ ﾈ/ ﾈ,ﾈ見'Xｭhﾅx, ｲ ﾉZｨ/ > ｭH,ﾈｹyz8/ _ｹ/h x,ﾈﾖﾈ Zｨ+x. Uﾈ+x+ ﾂ ,f ,YUﾈ+Rﾈ+ｲ ,乖駅 を3:2に内分する点をP,3:2に外分する点をQ,2:3 に外分する点をR,線分ABの中点をMとするo (1)線分AB,CAの長さを求めよo +x. (2)点P,Q,R,Mの座標を,それぞれ求めよo (3)点Aは,線分RBをア[=]:イ⊂コに内分し, 線分CQをウ□:エ[=]に外分するo 教科:数学 科目:数学Ⅱ 学習指導要領 (2) 図 形 と 方 程 ﾉ ﾘ)9乂xﾕｨｧy￨ﾘ5 85 6 Jﾙ5z2 2.平面上の2点間の距離を理解し利用できるo 剽 2点A(1,-2),a(-3,4)から等距離にあるX軸上の 剴_Pの座標を求めよo 剽 3点A(8,9),ち(-6,7),C(-8,1)から等距離にあ 凾體_Pの座標を求めよ○ 剽 3点A(4,0),B(0,2),C(α,∂)について,△ABC 式 凾ｪ正三角形であるとき,α,∂の値を求めよ0 3.平面上の線分の内分点,外分点,重心を求められるo 例13点A(5,4),B.(0,-1),C(8,-2)について,線分 ABを2:3に外分する点をP,3:2に外分する点をQ とし,△A虻の重心をGとするo (1)線分PQの中点Mの座標を求めよo (2)点Gの座標を求めよo (3)△PQSの重心が点Gと一致するように,点Sの 座標を定めよo 例23点A(1,2),B(5,4),C(3,6)を頂点とする平行四 辺形の残りの頂点Dの座標を求めよ○ 例34点A(a,b),B(0,0),C(C,0)とP(X,y)があるo Aに関してPと対称な点をQとし,Bに関してQと 対称な点をRとするoCに関してRと対称な点がPと 一致するとき,X,yをa,b,Cを用いて表せ○ 4.直線の方程式と2直線の平行.垂直条件を利用できる○ 例12直線ax+2y-a-0,X+(a+1)y-a-3-0は, 〟-ア口のとき垂直に交わるoまた,α-イ⊂コ のとき,2直線は共有点をも読拒ウ[コのとき, 2直線は一致する○ 例22直線X+y-4-0,2X-y十1-0の交点を通り, 点(-1,2)を通る直線の方程式を求め声 例3kは定数とするo直線(k+3)X-(2k-1)y-8k-3-0 は,kの値に関係なく定点Aを通るoその定点Aの座標 を求めよo 教科:数学 科目:数学Ⅱ 学習指導要領 (2) 宙42 図 形 と 方 程 式 剽 ﾉ_ｹ/h ﾉ ﾘ)9乂xﾕｨｧy￨ﾘ5 85 ｸ6 Jﾙ5z2 5..共線条件.共点条件を理解し利用できる一〇 異なる3点(1,1),(3,4),(〟,α2)が同じ直線上に 凾 剽 るとき,定数αの値を求めよo 3直線5X-2y-3-0,3X+4y+19-0, 兮2X-ay+12-0(a≒0)が1点で交わるとき, 剪關買ｿの値を求めよ○ 剽 異なる3直線2X+y-5.../①,4X+7y-5-②, ax+by-5..--③が1点で交わるとき,3点(2,1), (4,7),(α,a)は,同じ直線上にあるこ､とを示せo 6.線対称を理解し応用できるo 例1直線X+2Jト-3-0をRとするo次のものを求めよo (1)直線Bに関して,点P(0,-2)と対称な点QQ)座標 (2)直線Rに関して,直線m:3X-y-2-0と対称な 直線nの方程式 例2xy平面上に2点A(3,2),B(8,9)があるo点Pが 直線B:y-X-3上を動くとき,AP+PBの最小値 と,そのときの点ーPの座標を求めよ. 7.点と直線の距離の公式を理解し応用できる○ 例12直線5X+4y-20,5X+4y-60間の距離を求めよo 例2点(2,1)から直線kx+y+1-0に下ろした垂線の 長さがJ3-であるとき,定数kの値を求めよo 例3放物線y-X2上の点Pと,直線X-2y-4-0上の 点との距離の最′日直を求めよCまた,そのときの点Pの 座標を求めよ0 8.円の方程式を理解し応用できるo 座標平面上の円を方程式で表し,それを円 凭 と直線の位置関係などの考察に活用することo $ 95 $8,ﾈ､ ふ"ﾃb墜" ｨ苓,ﾉ_ｹ/h ﾂﾓ2墜2コﾂﾓ / ｸ - .h + ｲ 例2次の円の方程式を求めよo (1)X軸とy軸の両方に接し,点A(-4,2)を通るo (2)点A(1,1)を通り,y軸に接し,中心が直線y-2X 上にある○ 例3方程式X2+y2+5X-3y+6-0はどんな図形を表すかo 例4方程式X2+y2+2px+3py十13-0が円を表すとき, 定数♪の値の範囲を求めよ∴ ,h+x. 教科:数学 科目:数学Ⅱ 学習指導要領 (2) 図 ﾘ)9乂xﾕｨｧy￨ﾘ5 85 ｸ6 Jﾙ5z2 9.円と直線関係を理解し応用できるo 剽 形 円X2+y2-50次の直線に共有点はあるれあるとき 凾ﾍその座標を求めよo と 方 程 式 ﾉ 剽 儉(i)y--3X+20 2)y-X+10 3)X-2y+20-0 円(X+4)2+(y-1)2-4と直線y-ax+3が異なる 2点で交わるとき,定数αの値の範囲を求めよo 例3直線y-X+2が円X2+y2-5によって切り取られる 弦の長さを求めよ○ 例4円(X-1)2+(y-2)2-25上の点P(4,6)における接線 の方程式を求めよo 例5点(2,1)を中心とし,直線5X+12y+4-0に按する 円の方程式を求めよo 例6円X2+y2-2X-4y-4-0に接し,傾きが2の直線 の方程式を求めよ○ 例7点P(-5,10)を通り,円X2+y2-25に接する直線 ･の方程式を求めよo 例8点(5,6)から円X2+y2-9に引いた2つの接線の接点 をP,Qとするとき,直線PQの方程式を求めよ0 10二2つの円の位置関係を理解し応用できるo 例1円X2+y2-r2(r>o)-① X2+y2-8X-4y+4-0-②について (1)■円①と円②が内接するとき,定数′の値を求めよo (?)円①と円②が異なる2点で交わるとき,定数Yの値 の範囲を求めよo 例22つの円X2+y2-5-① X2+y2+4X-4yT1-0.-②について (1)2円の共有点の座標を求めよo (2)2円の共有点と点(3,0)を通る円の中心と半径を求めよo 例3円X2+y2-25と直線y-X+1の2つの交点と原点0 を通る円の方程式を求めよ○ 例4′円X2+y2-2kx-4ky+16k-16-0は定数kの値に かかわらず2点を通るoこの2点の座標を求めよo 教科:数学 科目:数学Ⅱ 学習指導要領 (2) 8ｴ X,i￨ﾈ暫 ﾉ ﾘ)9乂xﾕｨｧy￨ﾘ5 85 ｸ6 Jﾙ5z2 例5円Cl:X2+y2-4と円C2:(X-5)2+y2-1の共通 図 形 と 方 程 式 剞ﾚ線の方程式を求めよ0 ll.色々な条件の軌跡の問題を解けるQ 軌跡について理解し,簡単な場合について 凭 軌跡を求めることoまた,簡単な場合につい )5 8,(,ﾉ+ て,不等式の表す領域を求めたり領域を不等 凭 )_ｩZ 式の表す領域を求めたり領域を不等式で表し 防*｣ 決 ッﾃ 墜" ,h+x.倅 ｧ ﾇ鍔 ｲ 8,ﾉ&ﾈ/ ﾃ2 ﾆ 蔦 ,h, h怜 ｷ ﾓ I 5 ,ﾈｴ ,ﾈ 浮ﾓF諜 ,I¥ 嶌+x. 8/ h,ﾉ+ : ﾙ5 X/ ｸ / h*ｲﾉ+ - .f ,h+x.薬 ,ﾈｴ を求めよo 例3放物線C:y-X2と直線Q:y-m(X-1)は異なる 2点A,Bで交わっているo (1)定数mの値の範囲を求めよo (2)mの値が変化するとき,線分ABの中点の軌跡を求めよo 例4mが実数全体を動くとき,次の2直線の交点Pは どんな図形を描くかo mx-y-0-①,X+my一m-2-0-② 12.色々な不等式の表す領域を図示できるo 例1次の不等式の表す領域を図示せよo (1)lx+2^≦6 (2)l叫+ly+lI≦2 (3)(X+y--2)(y-X2)>0 (4)(X2+y2-4)(X2+y2+4X-5)≦0 13.領域の最大.最小問題が解けるo 例lx,yが2つの不等式X2+y2≦10,y≧-2X+5を満 たすとき,X+yの最大値および最小値を求めよ. 例2連立不等式2X-3y≧-5,5X-y≦7,X+5y≧-9 の表す領域を.Aとするo点(∫,γ)が領域Aを動くとき X2十y2-6yめ最大値と最小値,およびそのときの X,yの値を求めよ. 14.図形の通過領域の問題が解けるo 例1直線y-2ax+a2-①で,aがすべての実数値を とって変化するとき,直線(Dが通りうる領域を図示せよo R 教科:数学 科目:数学Ⅱ 学習指導要領 (3) 轌 描 宙4 敬 倡y 関敬対 Hｭi 倡y H/ H* ,f ﾘ)9乂xﾕｨｧy￨ﾘ5 85 ｸ6 Jﾙ5z2 1.指数法則や累乗根の性質を利用して,対称式の計算や H,ﾈｦy*2 8,ﾉ yﾘ +x. B ﾉ ytﾉyﾙ 乗法公式に活用できるo Bﾘｦy*8+x. 8ｶ 例1α>0,∂>0とするo次の式を計算せよo 2倡y Hｭi H,h+ｸ,ﾈ4 8 B 轌 Hｭi H,h+ｸ,ﾈ4 8 H,ﾉ< *X, (*(,Iyﾘ (1)(昨+昨)(挿 一身甘)(押+節+秤) (2)(a毒+b一言Xa与+b弓)(aLb-i) 例2α>0で.9〃+9-〟-14のとき,次の式の値を求めよo 数 関 数 1)3〃+3- 〃(2)3〃-3-〟 3)27a+27-a(4)270-27-a 2.指数関数のグラフの特徴を理解しグラフをかけるo し,それらを事象の考察に活用することo 凭 鵁,ﾈｭi H,ﾈ4 8 H/ * (1)y-2X+1 (2)y-(i-)X-1 (3)y-3X-1 3.累乗.累乗根の大小比較ができるo 例1次の各組の数の大小を不等号を用いて表せo 111 I(1)27,47,8官(2)J2-,拷,y6- (3)230,320,1010(4)4,秤,2JT,3JF 141 (5)107,37,9; 4.指数方程式.指数不等式が解けるo 例1次の方程式,連立方程式,不等式を解けo (l)4｣2X+2-32-0 ･2,(≡.-,3=y2=7-6 (3)8∫-3.4ズー3.2∬丁1+8〒0 (4)耳3X+3-X)一列9X+9-X)+6-0 (5)2.4∬-17.2∬+8<0 (6)25ズー3.5ズー10≧0 (7)16X-1<45-∬<8X 教科:数学 科目:数学Ⅱ 学習指導要領 (3) 9 Hｭi B ﾉ ﾘ)9乂xﾕｨｧy￨ﾘ5 85 ｸ6 Jﾙ5z2 5.指数関数の最大値.最小値問題が解ける○ 描 剽 敬 刳ﾖ数y--4-X+a.2-X+2が最大となるXの値と, 関 aは定数とする.0≦X≦1のとき, 凾ｻのときの最大値を求めよo 数 剽 対 敬 関 敬 関数y-6(2'+2-X)-2(4X+4-X‖こついて, X+2-X-tとおくとき,yをtを用いて表せo また,yの最大値を求めよo .対数の性質を用レナて,色々な計算ができるo (ア)対数 凭 鵁,ﾈ / ｬ 対数の意味とその基本的な性質について理解 茶 免 , s##r f s3cB し,簡単な対数の計算をすること○ (イ)対数関数とそのグラフ 茶"中ﾆ s#銚ﾆ s s#T･C#Rﾒ 茶 s3 s#s bｶﾆ s釘 (3)(10g53+log259)(log95-10g325) 例210g23-〟,10g35-あのとき,log210とlog1540を α,古で表せo 例310g,a弓,log,b尋,l暇C-意のとき, ＼ lo■gabcXの値を求めよo 例4910g35の値を求めよ○ 例52X-3y-62(xyz≒0)のとき,1+1-1の値を XyZ 求めよ0 7.aを底とするいろいろな対数関数のグラフとy-logax 対数関数とそのグラフの特徴について理解し ﾈ4 それらを事象の考察に活用することo 凭 8 H,ﾈ見'Xｭhﾅx/ 鵁,ﾈｭi H,ﾈ4 8 yﾘ H/ +Rﾈ4 * 8 H*ｨ* ﾈ+ﾒﾈｭi .薬 G椿ﾆ グラフとの位置関係をいえo ∫-1 (1)y-logs(X-2)(2)y-log3去(3)y-10g3-1｢ 8.複雑な対数方程式や対数不等式が解けるo 例1次の方程式を解け0. (1)log3(ズー2)+10g3(2ズー7)-2 (2)log2(∬2-ズー18)-log2(ズー1)-3 (3)log4(X+2)+logiX-0 (4)(log3X)2-210g3X-3(5)log2X+610g,2-5 s5 ﾂ 教科:数学 科目:数学Ⅱ 学習指導要領 (3) ﾘ)9乂xﾕｨｧy￨ﾘ5 85 ｸ6 Jﾙ5z2 例2次の不等式を解けo 指 敬 ﾉ 1)logo.3(2-〟)≧logo.3(3∬十14) 関 敬 対 数 関 2)log2(ズー2)<1+log与(ズー4) (3)(log2X)2-10g24X>0(4)2-10g与X>(log3X)2 9.対数関数の最大値,最小値の問題が解けるo 例11≦∬≦8のとき,次の関数の最大値と最小値を求めよ○ 関数y-(log2X)2+810g12X+log232 7 敬 剽 1≦X≦5のとき,関数y-210g5X+(10g5X)2の 最大値と最小値を求めよo 例3与≦X≦27のとき,関数y-(log33X)(log3昔)の 最大値と最小値を求めよo 例4X≧2,y≧2,xy-16のとき,(10g2X)(log2y)の 最大値と最小値を求,そのときのX,yの値を求めよ0 10.対数や指数の大小関係を求められるo 例1次の各組の数の大小を不等号を用いて表せo (1)1.5,10g35(2)2,log49,10g25 (3)logo.53,logo.52,10g32,10g52 ll.常用対数を活用できるo 例110g102-0.3010,10g103-0.4771とするo (1)log105,10g100.006,10g10J72-の各値を求めよo (2)650は何桁の整数か○ ･3)(i)100を小数で表すと,小楯何眺初めて0でない 数字が現れるれlog103-0.4771.とするo (4)3nが10桁の数となる最小の自然数nの値を求めよo (5)3進法で表すと1(氾桁の自然数Nを,10進法で表す と何桁の数になるかo (6)1260はア□桁の整数であるoまた,その最高位の 数はイ[=]で,､-の位の数はウ⊂コであるo ただし,log102-0.3010,10g103-0.4771とするo 教科:数学 科目:数学Ⅱ 学習指導要領 (3) 指 9 Hｭi 宙4 数 H,ﾈ 関 数 B B j Rﾈｬ ,h+ｸ,ﾈｮ馮ｹ4 , ﾉ ﾘ)9乂xﾕｨｧy￨ﾘ5 85 ｸ6 Jﾙ5z2 12.対数の性質を用いて,色々な計算ができるo 例1次の式を簡単にせよ○ ｸ H,ﾈﾇh螽/ , +x. (*(,Iyﾘ ,f (1)iog227.log/364.10g25JT25-.10g2781 ｢ (2)(log29+log83)(10g316+log94) (3)(log53+10g259)(log95-10g325) 対 敬 関 剽 10g23-a,10g35-bq)とき,log210と10g1540を a,bで表せ. 例310g,a-与 ,logxb弓,logp意のとき, 敬 冤ogabcXの値を永めよo 例4910g35の値を求めよo 例52X-3y-62(xyzキ0)のとき,圭i言の値を 求めよ0 13.aを底とするいろいろな対数関数のグラフとy-logax のグラフの位置関係を理解し,グラフがかけるo 例1次の関数q)グラフをかけoまた,関数y-10g3Xの グラフとの位置関係をいえo (1)y-logs(X-2)(2)y-log3去(3)y-log39 X-1 14.複雑な対数方程式や対数不等式が解けるo 例1次の方程式を解けo (1)log3(X-2)+log3(2X-7)-2 (2)log2(X2-X-18)-log2(X-1)-3 (3)log4(X+2)+10g与Xと0 (4)(log3X)2-210g,X-3 (5)log2∬+610g∬2-5 例2次の不等式を解けo (1)logo.3(2-X)≧logo.3(3X+14) (2)log2(X-2)<1+log与(X-4) (3)(log2X)2-10g24X>0 (4)2-10g与X>(10g3X)2 教科:数学 科目:数学Ⅱ 学習指導要領 (4) 角 乂 関 ｧ ,ﾈ･ID ,ﾈｦy*2 / 自Lｨｧ ﾉ ﾘ)9乂xﾕｨｧy￨ﾘ5 85 ｸ6 Jﾙ5z2 1.弧度法で扇形の面積や周の長さを多面的に考察できる○ -ﾈ,Xｦy*8+x. h.乂 7 ﾉUﾈ+Y_ｸ, (*(,Iyﾘ +x. ,f 8ｶ .(ﾌｩ7嬰 48蓼ｧ ｭi B 例1周囲の長さが12cmの扇形の面積が最大となるときの 倅 ｧ ｭi H,h+ｸ,ﾈ4 8 B 扇形の半径と中心角を求め,さらにその面積を求めよ○ 敬 凾ｽだし,中心角はラジアンで解答せよ0 2.三角関数のグラフをかくことができるo 三角関数とそのグラフの特徴について理解 凭 潰6匁X,ﾈ4 8 H/ することo (イ)三角関数の基本的性質 三角関数について,相互関係などの基本 . ,h,鎚鵁,ﾈｭi H,ﾈ4 8 H/ ﾇ潰6問 ﾖ鋳窿"ﾇ壷u 呈覲 ﾇ潰6冶 例2次の関数のグラフをかけoまた,その周期を求めよo ･1)y-2cos(20-W,(2)y-与sin(昔.昔) 3.基本対称式を利用し,対称式や交代式の値を求めるこ 的な性質を理解することo ｨ,X*ｸ. ｲ 例lsine.cose-与とするo次の式の値を求めよ. (1)sinβcosβ,sin3β+cos3♂ (2)i打<C.<2打のとき,sine-cose 4.式の変形を利用して,三角関数を含む方程式や不等式 解を求めることができるo 例10≦e<27Tのとき,次の方程式,不等式を解け. ･1)JFsin(0.号)-1 (2)2cos2β+sin∂-1-0 ･3,与≦cose≦去 ･(4)tanβ≧寺 (5)2cos(2♂.一号)≦-1 (6)2sin2β+5cosβ-4>0 * 教科:数学 科目:数学Ⅱ 学習指導要領 (4) ﾘ)9乂xﾕｨｧy￨ﾘ5 85 ｸ6 Jﾙ5z2 X蓼ｧ ｭi H,ﾈ d .謁ﾒ 蓼ｧ ｭi H,ﾈ d .謁ﾘ/ yﾘ +Rﾈ+ｸ.ｨ/ w *(,B 5.三角関数の最大や最小について考察できるo 角 剽 関 数 ﾉ y-2acose.2-sin20(-号≦e≦号)の最大値を 刄ｿの式で表せo 剽 関数y-4sin20-4cose+1(0≦e<2汀)の最大値と 最小値を求めよoまた,そのときのβの値を求めよ0 6.加法定理を理解し,点の回転移動に応用できるo 2倍角の公式を導くことo 凭 5 ﾃ ﾉ5 ﾃB (i 8,h+X,Hﾘh+ させた点をQとするo (1)点Aが原点0に移るような平行移動により,点Pが 点P′に移るとするo点P′を原点0を中心として号 だけ回転させた点Q′の座標を求めよo (2)点Qの座標を求めよ0 7.加法定理を理解し,様々な問題を多面的に考察できる○ 例1sinα-sinβ〒与,cosα.cosβ弓のとき, cos(α+β)の値を求めよo 例2直線y-2X-1と言の角をなす直線の傾きを求めよo 例3号<e<汀,Sine-号のとき, cos26,sin20,tan号の値を求めよ0 8.三角関数の合成を様々な問題の解法に利用できる○ 例10≦e≦打のとき,次の方程式,不等式を解けo (1)cose+J3-sine+1-0(早)cos20+sin20+1>0 例2関数の最大値と最小値と,.そのときのβの値を求めよo ただし,0≦e≦打とするo ･1)y-cose-sine(2)y-sin(C.Lin)-coseb 例30≦e≦号のとき,関数y-Gsinecose+cos20 の最大値と最小値と,そのときのβの値を求めよo 5ﾒ 教科:数学 科目:数学Ⅱ 学習指導要領＼ (5) 微 OyZｨ,ﾈﾖﾈ*b 分 積 分 唳OyZｨﾅy H.); 儖yZｨﾅy ｭi H,ﾈ j ﾉ H,i; , ﾘ)9乂xﾕｨｧy￨ﾘ5 ｭi B (*(,Iyﾘ 数の定数倍,和及び差の導関数を求めるo ∼ 85 ｸ6 Jﾙ5z2 1.微分係数の定義を理解し,関数の極限の問題が解けるo +Rﾈｭb . 例1関数f(X)-X2-Xの曲線y-I(X)上の点A(i,I(i)) ｩ ﾈ,ﾈﾅ ｸ*｢ﾓ ,h, h*ｲﾆh,ﾉ&ﾈ/ ｸ - 例2等式lim更土空士と=3を満たす定数a,bの値を求 ∬ー1ズー1 の ･考 え 剽 凾ﾟよ○ 1imf(a-3h)-I(a)をf′(a)を用いて表せo h→Oh 2.さまざまな関数について,定義にしたがって導関数を 求めることができるoまた,積と累乗の微分公式を使 えるようになるo 例1開削-与を導関数の定義にしたがい微鮒よo 例2((ax+b)2)′-2a(ax+b),((ax+b)31′-3a(ax+b)2 tf(X)g(X))′-f′(X)g(X)+I(X)g′(X)であることを用いて, 次の関数を微分せよo (1)y-(2X+1)2(2)y-(X-l)3(3)y-(-2X+1)3 (4)y-(X+1)(X2-3)(5)y-(4X-3)2(2X+3) 3.導関数の条件から関数を決定できる○ 例1関数f(X)-2X3+3ヂ2-8Xについて,X--2に おける微分係数を求めよo 例22次関数f(X)が次の条件を満たすとき,I(X)を求めよo ∫(1)ニー3,′′(1)ニー1,′′(0)-3 例32次関数f(X)-X2+ax+bが2f(X)-(X+1)f′(X)+6 を満たすとき,定数〃,みの値を求めよo 4.微分の考えを活用し応用問題が解けるo 例1地上から真上に初速度49m/Sで投げ上げられた物体の t秒後の高さhはh-49i-4.9i2(m)で与えられる. この運動について次のものを求めよo (1)1秒後から2秒後までの平均の速さ (2)2秒後の瞬間の速さ 例2半径10cmの球があるo毎秒1cmの割合で球の半径が 大きくなっていくとき,球の体積の5秒後における変化 率を求めよo .h ｲ 教科:数学 科目:数学Ⅱ 学習指導要領 (5) 2 微 剽 分 積 ｭi H,ﾈ咎w ﾉ ﾘ)9乂xﾕｨｧy￨ﾘ5 85 ｸ6 Jﾙ5z2 ; ｭi H/ w *(,Hｭi H,ﾉ&ﾈ,ﾉ ﾘﾋ (ｼ R霈傅ﾂ 5.接線.法線の方程式が色々な条件で求められるo 曲線y-X3上の点(2,8)における接線の方程式 剽 曲線y--X3+Xに接し,傾きが-2の直線の方程式 例3点(2,-2)から,曲線y-ix3-Xに引いた-の 分 の 考 剳羽 ス_ 剽 式 曲#y-ix3-号Xの点(2,-普)における-の 方程式 例52つの放物線y--X2,y-X2-2X+5の共通接線の 方程式 6.3次関数や4次関数,絶対値を含む関数の増減表が作 を調べ,グラフの概形をかくことoまた,微 ｢ﾈ4 8 分の考えを事象の考察に活用することo 凭 鵁,ﾈｭi H,ﾈ･Hﾆ *ｨ* H,ﾈ4 H/ 8 .薬 * ｲ (1)y--X3.6X2-9X.2(2)y-ix3.X2+X.3 例2次の関数の極値を求め,そのグラフの概形をかけo (1)y-3X4-16X3+18X2+5 (2)y-X4-8X3+18X2-ll 例3関数y-lx3-X2Iのグラフをかけo 7.3次関数のグラフの対称性を理解し応用できるo 例1a-は定数とするOf(X)-X3+ax2+ax+1が X-α,β(α<β)で極値をとり,I(α)+I(β)主2 となるとき,定数〃値を求めよ0 8.3次関数について,いろいろな条件で最大値.最小値を 考えることができるo 例1aを正の定数とする03次関数f(X)-X3-2ax2+a2X の0≦X≦1におけ奇最大値M(a)を求めよ○ 例2f(X)-X3-6X2+9Xとするo区間a≦X≦a+1に おける′(〟)の最大値〟(α)を求めよo 例30≦X<2打のとき,関数y-2sinxsin2X-cosx+2 の最大値と最小値,およびそのときのガの値を求めよo 教科1二数学 科目:数学Ⅱ 学習指導要領 (5) 9 Zｨ,ﾈﾖﾈ*b 微 儻9. ﾉ Zｨ,i. ﾘ)9乂xﾕｨｧy￨ﾘ5 Z｢ 85 ｸ6 Jﾙ5z2 9.具体的な事象の考察を微分の考え方を用いることができ 凾駮 分 積 分 剽 半径αの球に内接する円柱の体積の最大値を求めよo また,そのときの円柱の高さを求めよ0 10.定数項や係数が文字の場合の3次方程式の実数解の個 の 剞狽 考 剽 ス_ 剽 ,曲線と直線の共有点を考えることで考察やきるo 方程式2X3-6X+3-0の異なる実数解の個数を求めよo αは実数の定数とするo方程式2∬3-6∬+3-α-0 の異なる実数解の個数を調べよo 例33次方程式X3-3a2X+4a-0が異なる3個の実数解 をもつとき,定数βの値の範囲を求めよ0 ll.導関数と不定積分の関係を理解できるo 不定積分及び定積分の意味について理解し, ｩ ｼ 関数の定数倍,和及び差の不定積分や定積分 を求めることo I ﾇ綴着ｘ*ｩ5 ﾃ . ｩ ﾈ,ﾈﾅ ｸ*ｨ ,ｨ.なﾕ て着ｒ ﾓ ,X* . h*ｲﾈ r r 12.定積分の性質,偶関数.奇関数,(ax+b)n,1/6の 公式など,定積分の公式を利用し計算を工夫できるo 例1定積分の性質をを利用し,次の定積分を求めよo (1)5:(X3-3xJ2-1)dx(2)52_1(3ト1)(i.1)di (3)5:(X.1)2d弓:(X-1)2dx (4)io_2(3X3.X2)dx｣:(3X3.X2)dx(1) 例2偶関数.奇関数,(ax+b)nの定積分の公式を利用し 次の定積分を計算せよo (1)圭2(2X3-ズ2-3X.4)dx (2)5:(3X-1)4dx 例31′6公式を利用し,次の定積分を求めよ○ ･1,5;(X-2'(X-3'dx(2)にJfl(X2-2X-1)dx ｸ - .f 教科:数学 科目:数学Ⅱ 学習指導要領 (5) 宙42冤ｩ 微 . 凾 ﾉ ﾘ)9乂xﾕｨｧy￨ﾘ5 85 ｸ6 Jﾙ5z2 Zｨ/ w *(,I+ﾉ ﾈ.(ｭi H,ﾈ4 8 H,X鈷-ﾈ.｢ 13.定積分の値が定数になることを利用して,積分方程式 解くことができる○ 分 積 分 剽 次の等式を満たす関数f(X)を求めよo (1)I(X)-6X2-X.Slj(i)dt (2)I(X)-臣f(i)di.5こtf(i)dt.1 の 考 ス_ 剽 次の等式を満たす関数′(∫)および定数αの値を求めよ○ (1)_5:I(Ddt-X2-3X-4(2)5:I(i)di-X3-3X 例3関数f(X)-仁2(t2.i-2)diの極値を求めよ0 14.放物線や直線で囲まれた面積を工夫して求めることが た図形の面積を求めることo X*ｸ.薬 例1放物線C:y-X2-4X+3上の点P(0,3),Q(6,15)に おける接線を,､それぞれ2,mとするoこの2つの接線 と放物線で囲まれた図形の面積Sを求めよo 例2次の曲線や直線で囲まれた図形の面積Sを求めよo (1)y-X2-X-1,y-X+2 (2)y-X2-2X,y--X2+X+2 例3αを正の実数とし,.2つの放物線 Cl:y-X2,C2:y-X2-4ax+4aを考えるo (1)ClとC2の両方に接する直線Bの方程式を求めよo (2)2つの放物線C1,C2と直線Rで囲まれた図形の 面積Sを求めよ0 15.絶対値を含む関数や3次関数など様々な関数について, 定積分が計算でき,さらにそれらのグラフで囲まれた 部分の面積を求めることができるこ 例1臣-2Ldxとi2.lx2+X-21dxを求めよo 例2曲線y-X3-2X2-X+2とX軸で囲まれた図形の 面積Sを求めよo 例3曲線y-X3-5X2+2X+6とその曲線上の点(3,-6) における接線で囲まれた図形の面積Sを求めよ○ 教科:数学 科目:数学Ⅱ 学習指導要領 (5) 微 分 ﾉ ﾘ)9乂xﾕｨｧy￨ﾘ5 85 ｸ6 Jﾙ5z2 16.面積の等分問題,相当問題,最大.最小閉居などを 剄H夫して求めることができる○ 積 剽 曲線y-X3-6X2+9Xと直線y-mxで囲まれた2つ の図形の面積が等しくなるような定数mの値を求めよ. ただし,0<m<9とするo 分 剽 放物線y--X(X-2)とX軸で囲まれた図形の面積が, の 剪ｼ線y-axによって2等分されるとき,定数aの値を 考 刹≠ﾟよoただし,0<α<2とするo ス_ 剽 点(1,2)を通る,直線と放物線y-X2で囲まれる図形の 面積をSとするOSの最小値を求め串. 例4aを正の実数とし,点A(?,a.去)と 曲線C:y-ax2およびC上の点P(1,a)を考えるo 曲線Cとy軸,および線分APで囲まれる図形の面積を S(a)とするとき,S(a)の最小値と,そのときのaの値 を求めよo
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