平成１７年度新潟市立総合教育センター情報教育専門員実践研究 第 2 学年 B 組 選択数学 学習指導案 平 成 17 年 １ ２ 月 ６ 日 (火 )第 ５ 校 時 指導者 １ 単元名「条件変更による発展問題」 ２ 単元の目標 (1) 教諭 今井 岳 数学の目標 ① 証明することの意義としくみについて理解する。 ② 平行線と角の関係や三角形の合同条件を根拠にした証明の進め方や図形の性質の 調べ方について理解する。 (2) 情報教育の目標 ① 各種ソフトウェア（図形処理ソフトウェア、表計算ソフトウェア）を課題解決に 利用することができる。 ３ 単元の評価規準 (1) 数学の評価規準 関心・意欲・態度 見方・考え方 表現・処理 知識・理解 観察・操作や実験を通 予想したことの 推論の道筋を言 図形の用語、性質、 して図形の性質を見いだ 一般性を保証す 葉で表現したり、 それらの意味を理解し し、確かめようとする。 るときに演繹的 数 学 的 な 用 語 、記 ている。 数学的に考察すること な推論を用いて 号を用いて簡潔 平行線の性質、三角 のよさに気付き、それら 考察することが に表現したりで 形の合同などを調べる を意欲的に問題の解決に できる。 きる。 ときの証明の意義と方 活用しようとする。 (2) 法を理解している。 情報教育の評価規準 単元の評価規準 判 断 基 準 Ａ Ｂ Ｃ トリミングや図 図形処理ソフト 図形処理ソフト 理 ソ フ ト ウ ェ ア 、表 計 算 ソ フ の 拡 大・縮 小 を 上 手 ウ ェ ア で 作 成 し た ウェアを操作でき 各 種 ソ フ ト ウ ェ ア（ 図 形 処 ト ウ ェ ア ）を 課 題 解 決 に 利 用 に 利 用 で き た 。 図 を 、表 計 算 ソ フ ト る 。 することができる。 ウェアに貼り付け ることができる。 ４ 単元と生徒 (1)単 元 に つ い て ① 数学において 指導要領の目標と内容に、「平面図形の性質を三角形の合同条件などを基にして 確かめ、論理的に考察する能力を養う。」とある。特に、この単元を通して、アの 「 証 明 の 意 義 と 方 法 に つ い て 理 解 」す る と と も に 、証 明 に つ い て 習 熟 を は か り た い 。 しかし、数学が苦手な生徒にとって証明は非常に理解しにくく、ともすると非常 につまらない単元であるともいえる。 そこで、課題解決に至るまでの思考を助けるために、図形処理ソフトウェアを利 用することにした。コンピュータの利用の仕方によっては一方的な教え込みになる ことも考えられる。例えば、図形の性質をアニメーション等を使って説明するソフ トがあげられる。生徒はコンピュータのアニメーションを見ることで、「その性質 はまちがいない」という知識を植え付けられてしまう。 この単元では、図形処理ソフトウェアを用いることで、新たな発見や気付きを促 し 、発 見 し た こ と を 証 明 す る こ と で 、図 形 の 証 明 の 仕 方 に つ い て 習 熟 を は か り た い 。 自分で発見した性質だからこそ、自分で証明する必要性が実感できるはずである。 さらに条件を変更しながら、もとの課題を発展的に利用することで、思考を深めて いきたいと考えている。 ② 情報において 生徒は図形処理ソフトウェアを数学の課題解決のための道具として利用する。図 形処理ソフトウェアから得た情報を活用しながら、数学の課題を解決していく。 そして、課題解決の過程を表計算ソフトウェアに分かりやすくまとめる。図形処 理ソフトウェアと表計算ソフトウェアの特性を使い分けることで、情報手段を適切 に利用する力を身に付けさせたい。 表現力という観点からは、日本語ワードプロセッサのほうが優れているが、数枚 のワークシートを簡単に切り替えることができる表計算ソフトウェアを用いるこ とにした。それにより、記入された思考の過程を振り返りながら、単元を進めてい く。 そして、課題の条件を変更し、徐々に一般化しながら上記の活動を繰り返し行っ ていくことで各種ソフトウェアを課題解決に利用するための実践力を身につけさ せたいと考える。 (2)生 徒 に つ い て ① 数学において ４ 月 に 実 施 し た NRT 検 査 で 、 「 図 形 」領 域 で は 全 国 比 と極めて正答 率 が 低 か っ た 。小 問 を 見 て も「 線 対 称 な 図 形 」 「点対称な図形」 「基本的な作図」 「立 体と展開図」など、全国通過率に比べて低い結果であった。したがって、図形の基 礎的な知識に加えて、与えられた問題から課題を発見し解決する力を身につける必 要があると考えられる。 図形学習への苦手意識があるためか、比較的容易な学習課題であっても自分で考 えることを諦めてしまい、ついつい周囲の仲間に頼ってしまう生徒も多い。 そこで、図形学習に対する生徒の学習意欲を喚起・持続させ、課題解決の思考を 助けるために情報機器を効果的に活用し、観察や操作、数学的な活動を通して、図 形の性質を調べる上で基礎となる見方・考え方や基本的性質を明らかにするととも に、論証の意義と推論の進め方について理解させていきたい。 生徒が自ら学び考える主体的な態度を促すためには、まず「学ぼう」とする意欲 を引き出すことが不可欠であると考える。 ② 情報において コンピュータに対する関心は高い。しかし、コンピュータの利用はインターネッ トによる調べ活動が主で、他の日本語ワードプロセッサや表計算ソフトウェアの活 用、ネットワークサーバを介したファイル操作についてはほとんど行ったことがな い。 本単元に入る前に生徒の実態を把握する目的も含めて、①図形処理ソフトウェア を用いて三角形の作図と操作、②コピー＆ペースト③文字の入力、④ネットワーク サーバへの保存を行った。 ①の図形処理ソフトウェアの操作では２４人中６人が、②のコピー＆ペーストで は７人が指示どおりに操作をできなかった。図形処理ソフトウェアの利用は初めて であったが、落ち着いてマウスの操作ができずに不必要にクリックを繰り返した失 敗が多かった。また、作成した図をキーボードで画面コピーし、日本語ワードプロ セッサにペーストさせたが、ペーストの操作自体が初めての生徒も半数いた。貼り 付ける場所の指定ができなかったり、図の移動ができなかった生徒も７名いた。 ③の文字入力は①、②で個別指導を行う必要があったため、時間が足りなくなり ほとんど入力ができなかった。タッチタイピングを行う生徒は数名で、ほとんどは 指１本で入力を行っていた。④のネットワークサーバへの保存は、最終的には全員 が操作を完了することができたが、フォルダの構造についての説明に時間を要した。 したがって、基本的なコンピュータスキルが低く、ソフトウェアを利用するため の基本的な知識からスキルアップを図る必要がある。 ５ 指導の構想 中 学 校 2 年 生 で は 、図 形 に 対 す る 直 観 的 な 見 方 か ら 図 形 の 性 質 の 考 察 に お け る 論 証的方法の理解を深め、論証の過程を表現するための基礎的な能力を養っていく。 そのために、観察、操作や数学的活動を通して、結果が確かめられるような角の問 題を先に学習しておき、角に関連した優しい論証経験をもたせるようにする。 このような経験のうえで、第２章のはじめで操作や実験を通した数学的な活動を 取り入れ、帰納的な推論から演繹的な推論へと導き、証明の意義・必要性を理解さ せたい。その後、証明のしくみを学びながら、証明に必要な根拠となる事柄をまと め、証明の進め方を学習する。証明の記述が目的ではなく、証明の進め方を経験さ せることに重点をおきたい。 図形の性質を調べるとき、従来よく見られたように、問題を与えてその証明をさ せるという指導をできるだけ避けたい。それは、証明の記述はできても「なぜ、そ の証明が必要なのか」ということを感じさせなければ意味がないからである。 まず図形に対する興味・関心をもたせ、さらに図形の性質を発見できるように課 題提示を工夫したい。さらに、その過程の中で証明を取り入れていきたい。また、 証明できた性質の条件が変わったらどうなるかを考えさせることで、課題を発展的 に展開させたい。 そこで、もとになる課題で条件を変更した図を考 える場合、コンピュータを活用することが有効であ ると考えた。今回の課題では、合同な２つの正三角 形を組み合わせた図を原題とし、正三角形であると いう条件はそのままに、2 つの正三角形の大きさや 組み合わさる角度を変更していく。生徒にコンパス や定規を用いて作図させると作図指導にも時間をさ く必要が生じ、証明の習熟という本来のねらいが希 薄になる。図形処理ソフトウェアを活用するメリッ トとして、条件を変更する部分と変更しない部分を 設定し、ある条件の下で図形を変形させることが容 易であること、さらに、もとになる課題から連続し た図を観察することができるため、変化をつかみや すいことがあげられる。 自分で条件を変更した図だからこそ、 「証明してみ よう」という意欲を引き出せるはずである。また、 特殊な図から条件変更により一般化することで、図 に隠されている性質が変化していくところに図形学 習の面白さを見出してくれるであろう。 今回は、自分で条件を変化させた図を繰り返し活 用するため、学習の記録をデジタルポートフォリオ としてまとめていく。その際、図形処理ソフトウェ アと表計算ソフトウェアを使い分け、図形処理ソフトウェアでつくった図をコピー し、表計算ソフトウェアに貼り付け、自分専用のワークシートを作成する。毎時間 の最後には自己評価の記入をさせ、学習内容について記入することはもちろんのこ と、授業を受けての感想を記入させ思考の変化を見ることができるようにしたい。 そして、学習の深まりや授業で感じたこと、思考の過程を振り返ることで、次の学 習へのステップとしたい。 参考文献 ＧＣを活用した図形の指導 飯島康之 編著（明治図書） 今回使用するソフトウェア ６ 図形処理ソフトウェア Geometric Constructor Win（ 愛 知 教 育 大 ） 表計算ソフトウェア Microsoft Excel 指導と評価の計画 時 ○ねらい 評価規準 規準観点 ・主な学習活動 【評価方法】 関 見 表 知 (A)状 況 ○ 観察を通して、合 ・ 合 同 な 三角 形 を 同な三角形の組を見 見いだす。 いだす。 【ポートフォリオ記 ・ <問 題 １ >基 に な る 述 】 問題 ◎ １ 条件を変えても合 ・ 合 同 が 保た れ る 同が保たれる三角形 三 角 形 を 見い だ の組を見いだす。 （そ す。 の２） ・ 合同を説明でき ・ <問 題 ３ >点 Ｃ を 自 る。 由に動かした問題 【ポートフォリオ記 述】 ３ 見いだした三角形 ・ 三 角 形 の合 同 を が合同であることを 証明できる。 証明する。 【ポートフォリオ記 ４ ・ <証 明 問 題 >難 易 度 述】 Ａ∼Ｃ 合 同な 三角 形 を ・ ＯＨＰシートを 左右対称、左右非 利 用 し 、重 ね て み 対称とも全て（２ せ る 。定 義 ・定 理 ０組）見いだす。 一覧表を見させ る。 ・ ・ ３ 組 と も 見 出 す 。・ 図 が 描 か れ た 紙 自分の言葉で説 に等しい長さや 明する。 角を書き込ませ る 。Ｏ Ｈ Ｐ シ ー ト を 利 用 さ せ る 。定 義・定 理 一 覧 表 を 見させる。 ・ ・ 自ら見出す。 ・ 図が描かれた紙 自分の言葉で説 に等しい長さや 明する。 角を書き込ませ る 。Ｏ Ｈ Ｐ シ ー ト を 利 用 さ せ る 。定 義・定 理 一 覧 表 を 見させる。 ・ 難 易 度 Ａ か ら Ｃ ・ 定 義 ・定 理 一 覧 まで全て証明でき 表を参照する。 る。 ・ 等しい長さや角 を書き込ませる。 ○ ◎ ○ ○ ◎ ○ ◎ ○ 状況への手立て ・ ○ ○ ２︵本時︶ 条件を変えても合 ・ 合 同 が 保た れ る 同が保たれる三角形 三 角 形 を 見い だ の組を見いだす。 （そ す。 の１） ・ 合同を説明でき ・ <問 題 ２ >点 Ｃ を 左 る。 右に動かした問題 【ポートフォリオ記 述】 十 分 満 足 で き る 努 力 を 要 す る (C) ７ 本時の学習 (1)本 時 の ね ら い ① 数学において ○ ② 三角形が合同になる理由を「三角形の合同条件」を使って、説明できる。 情報において ○ コンピュータを使って、合同な三角形を見つけることができる。 (2)本 時 の 評 価 規 準 ① 数学において ○ 合 同 が 保 た れ る 三 角 形 を 見 い だ す 。（ 表 現 ・ 処 理 ） ○ 合 同 を 説 明 で き る 。（ 表 現 ・ 処 理 ） ② 情報において ○ 各種ソフトウェア（図形処理ソフトウェア、表計算ソフトウェア）を課題解決 に利用することができる。 (3)本 時 の 指 導 の 構 想 前時の授業の中で、合同な三角形の組が多数存在することを体験している。本時で は 、前 時 で 考 え た ＜ 問 題 １ ＞ の 図 で 点 C を 左 右 に 動 か し 条 件 を 変 更 し た 図 に つ い て 考 える。最初は合同な三角形を見つけられない生徒が多いと思うが、図形処理ソフトウ ェアを用いることで＜問題１＞の図に簡単に戻すことができる。連続的に条件を変更 したり、元の図と何度も見比べたりすることで、合同な三角形を発見する一助になる と 考 え る 。ま た 、OHP シ ー ト に 三 角 形 を 写 し 取 り 、重 ね 合 わ せ る こ と で 、三 角 形 の 合 同を視覚的に確認させたい。そして、三角形の合同条件を用いて説明することで証明 の意義と方法についての習熟を図りたい。 また、特殊な図から一般の図に条件を変更していくことで、２０種類もあった合同 な三角形が３つに絞られる。そこに意外性や驚きといった感想を抱くであろう。数学 的な価値だけでなく思考の変化をポートフォリオに記録し、数学の授業を通して体験 した新たな発見や感情の動きを振り返ることができるようにしたい。それを次の授業 への意欲としてつなげていきたいと考える。 (4)本 時 の 展 開 と 評 価 展開 導入 展開 指導内容と学習活動 留意点と評価 ・ ・ ・ ログイン時にＯＫをクリックさせる。 電源を投入した状態から開始する。 ○ 前時の振り返り 赤と青で色分けされた図を２０通り準備 ・ ＜問題１＞では合同な三角形が２０組ある し、掲示する。 ことを確認する。 ・ 生徒の作成したワークシートをスクリーン に 映 し 紹 介 す る 。左 右 対 称 、左 右 非 対 称 に 分 類 し て 説 明 す る 。（ 一 斉 ） ・ ワークシートを開く。 （「 授 業 記 録 」フ ォ ル ＜課題２＞ ダ内） 点 Ｃ が 線 分 Ａ Ｂ 上 を 左 右 に 動 い て も 、合 ・ 課 題 を ス ク リ ー ン で 説 明 す る 。 同が保たれる三角形の組み合わせを見つ けよう ・ ・ ・ ＜課題２＞のＧＣデータを開く。 ・ GC の フ ァ イ ル を 開 く 。（「 今 日 の 授 業 」 フ ォルダ内） ＧＣを操作しながら考える。 ・ 点 C の動かし方を説明する。 合 同 な 三 角 形 の 組 ・ 点 Ｃ を 左 右 に 動 か し て 、＜ 課 題 １ ＞ の 図 と ① △ ACE≡ △ DCB 対 比 し た り 、連 続 し て 動 か し な が ら 考 察 さ せ ② △ ACF≡ △ DCG る 。（ 変 わ ら な い も の に 注 目 さ せ る ） ③ △ BCG≡ △ ECF OHP シ ー ト を 用 い て 確 認 を す る 。 ・ 発見した三角形が合同であるか確認させ る 。 OHP シ ー ト を 被 せ 、 三 角 形 を 書 き 写 し て、重ね合わさせる。 ・ 重 な る こ と が 確 認 で き た ら 、図 を ワ ー ク シ ー ト に コ ピ ー 、ペ ー ス ト す る 。証 明 を 考 え さ せる。 ＜問題１＞の中から合同が保たれるもの を見つけることができる。 【ワークシート】 ・ ・合同が保たれる三角形の組を確認する。 合 同 条 件 を 考 え 、合 同 で あ る こ と を 証 明 しよう。 発 見 し た 三 角 形 の 組 を 把 握 し て お く 。上 書 き保存させておく。 ・ 生 徒 の ワ ー ク シ ー ト を 用 い て 、合 同 が 保 た れ る 三 角 形 の 組 を 確 認 す る 。（ 一 斉 ） ・ 赤と青のマジックで色分けし、掲示する。 ・ 見 つ け た 三 角 形 の 組 に つ い て 、証 明 を 考 え る。 ・ 等しい辺、等しい角に注目させる。 ・ 自 分 の 見 つ け た 三 角 形 に つ い て 合 同 条 件 を ・ 合 同 条 件 、正 三 角 形 の 性 質 を 定 義 ・ 定 理 一 考える。 覧表で確認する。 ・ 時 間 が あ れ ば 、 ３ 組 の 三 角 形 全 て に つ い て ・ ② 、③ に つ い て は ① の 証 明 を 使 い 証 明 を 行 合同条件を考える。 う こ と に な る 。個 々 の 作 業 を 見 取 る 中 で 、個 別指導を行う。 合 同 を 証 明 で き る 。【 ワ ー ク シ ー ト 】 ・ 終末 自己評価の記入 証明の紹介は次回の導入時に行うことを告 げる。 ・ ワークシートの自己評価の欄に記入させ る。 課題１ 線分AB上に、図のように合同な正三角形が並んでい る。 このとき、合同と思われる三角形の組み合わせをす べて見つけよう。 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ ⑪ ⑫ ⑬ ⑭ ⑮ ⑯ ⑰ ⑱ ⑲ ⑳ 今日学習した内容 授業を受けての感想 「情報」に関する 自己評価 A 今日の学習内容を自分 なりに説明できます か？ 意欲をもって取り組み ましたか？ ABCD ABCD B C GC、エクセルを課題 GCで作成した図をエ GCを操作して合同 見易さに配慮してまと 解決に利用すること めた。 クセルに貼り付ける な三角形を見つけ ができましたか。 ことができた。 た。 課題２ 点Cが線分AC上を左右に動いても、 合同が保たれる三角形の組み合わせを見つけよう。 課題２ 追 課題２で見つけた三角形で、 合同条件を考えよう。 OHPシートでの確認 （○ ｏｒ ×） △ と △ （ ） （ ） （ ） OHPシートでの確認 （○ ｏｒ ×） △ と △ （ ） （ ） （ ） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ がそれぞれ等しいので OHPシートでの確認 （○ ｏｒ ×） △ と △ （ ） （ ） （ ） がそれぞれ等しいので OHPシートでの確認 （○ ｏｒ ×） △ と △ （ ） （ ） （ ） ＝ ＝ ＝ がそれぞれ等しいので 今日学習した内容 がそれぞれ等しいので 授業を受けての感想 「情報」に関する 自己評価 ＝ ＝ ＝ A 今日の学習内容を自分 なりに説明できます か？ 意欲をもって取り組み ましたか？ ABCD ABCD B C GC、エクセルを課題 GCで作成した図をエ GCを操作して合同 見易さに配慮してまと 解決に利用すること クセルに貼り付ける な三角形を見つけ めた。 ができましたか。 ことができた。 た。 課題３ 点Cが自由に（上下左右に）動いても、 合同が保たれる三角形の組み合わせを見つけよう。 課題３ 追 課題３で見つけた三角形で、 合同条件を考えよう。 OHPシートでの確認 （○ ｏｒ ×） △ と △ （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） OHPシートでの確認 （○ ｏｒ ×） △ と △ （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ がそれぞれ等しいので 今日学習した内容 がそれぞれ等しいので 授業を受けての感想 「情報」に関する 自己評価 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ A 今日の学習内容を自分 なりに説明できます か？ 意欲をもって取り組み ましたか？ ABCD ABCD B C GC、エクセルを課題 GCで作成した図をエ GCを操作して合同 見易さに配慮してまと 解決に利用すること クセルに貼り付ける な三角形を見つけ めた。 ができましたか。 ことができた。 た。 課題４ Ａ問題∼Ｃ問題の中から問題を選び、 合同な三角形の組を見つけ、 三角形の合同を証明しよう。 OHPシートでの確認 （○ ｏｒ ×） △ と △ （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ がそれぞれ等しいので △ と △ （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ がそれぞれ等しいので 今日学習した内容 授業を受けての感想 「情報」に関する 自己評価 A 今日の学習内容を自分 なりに説明できます か？ 意欲をもって取り組み ましたか？ ABCD ABCD B C GC、エクセルを課題 GCで作成した図をエ GCを操作して合同 見易さに配慮してまと 解決に利用すること クセルに貼り付ける な三角形を見つけ めた。 ができましたか。 ことができた。 た。
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