現代の数学への入口としての線形代数とその応用

現代の数学への入口
としての
線形代数とその応用
渕野昌
神戸大学大学院システム情報学研究科
年度前期神戸大学での「線形代数」の講義の補講
年月日於神戸大学鶴甲第キャンパス !"# $
% &'(
復習ベクトル空間
線形代数補講としてで次元列ベクトルの全体をあらわし，
以下の和とスカラー倍の演算と合せて，これを次元ベクトル空間と
呼ぶ．
の要素スカラー培
¾ Ê
すべての
) *
«½
«
と«
½
½
½
!!! である．
に対して，和 " と
¬¾Ê
«¬
,
ただし， ¾
Ê
はすべての成分が
« ) ¬ * «
« ) * «
*
+
*
(
«¬ *
½
½
を考えると，次の基本性質が成立
に対し
) +
) ) * ) ) +
) * ) * +
)
)
¬ +
«+
となるベクトルである．
演習．を満たすようなは存在するなら一意であることを示せ．
すべての « ¾ Ê に対し « となることを上の ∼ から導け．
は
と同一視できる．
復習線型写像
写像すべての
すべての
線形代数補講が線型写像であるとは，
¾Ê
¾Ê
に対し， « ¾ Ê に対し， « « 定理．任意の線型写像に対し，行列で，す
べてのに対しとなるものが一意に存在する．
行列に対し # とする．上の定理は
となるような行列が一意に存在を主張している．
補題． $ 線型写像から行列の対応は，で，
行列から線型写像の対応の逆対応になっている．
行列と行列に対し， Æ である．
Ê である．ただしは次対角行列．
正則 !! 逆行列を持つ行列に対し，である．
線形代数補講アファイン写像
補題．すべての線型写像演習．
写像に対し，がアファイン写像である，とは，線型写像
次元ベクトルが存在して，すべてのし， " となること．
である
に対
前のページでの結果から
補題．がアファイン写像であるある行列
と次元ベクトルが存在して，に対し， " となる．
補題．
をアファイン写像とするとき，
Æ
もアファイン写像で， " " とするとき，
Æ " ただし Æ である．
線形代数補講線形代数から見た微分法
関数がで全微分可能とは，線形代数の言葉を
用いて表現すると関数が点の近傍でアファイン関数
#
" で近似できることである．ただし，は各
を列とする行列，つまり，に対し，
を成分とする行列ではの返す値の成分を返す関数，である．
この見方をすると，合成関数の微分法は，
をそれぞれ全微分可能な関数とすると
き， Æ も全微分可能で，そのでのアファイン近似は，
のでのアファイン近似とのでのアファイン近似の合成
関数になる
こととして理解できることになる．
一般
線形空間
線形代数補講かとするとき，ある種の %空間& に足し算との要素
倍の演算が定義されていて，の要素が指定されており
すべての
¾ と « ¬ ¾ に対し
を
) *
,
) +
) ) * ) ) +
) * ) * +
«¬
*
« ) ¬ * «
« ) * «
*
+
*
(
«¬ ¬ +
) «+
)
が成り立つとき，は上の線型空間であるという．これはベクト
ル空間の概念の一般化になっている．
上の線型空間には，でと全く同様にして，線型独立の概念や
基底，および次元の概念が導入できる．
特にの次元が有限で， !!! がの基底のときには，
の要素
" "
!!! と
«¼
«
を対応させることに
より，とは同一視できる．つまり少なくとも有限次元の空間
に対しては線型空間の概念はベクトル空間の概念の本質的な一般化に
はなっていない
線形空間としての関数空間
½
線形代数補講は無限回微分可能とすると， ½ は
関数の足し算，定数倍により上の線形空間になる，関数 !!! は線形独立になるので， ½ の次元は無限である基底は連続
体サイズになる !!! は基底ではないが， ½ の %稠密な&
'$ ( 部分空間の基底にはなっている．このことを使うとテイラー展開の理
論を線形代数の言葉で整理して表現することができるようになる．
実際には，たとえばここでの「稠密」性をうまく表現するために，関
数の間の距離の概念を導入する必要がある，など，もう少し補足修正
が必要である．
微分作用素 ½ ½ # ¼ は上の意味での線型空間 ½ 上
の線型写像である．これを使うと常微分方程式の理論は，この無限
次元線型空間での連立方程式の理論として見ることができるように
なる．
½ や類似の無限次元の線型空間の解析学は，関数解析とよばれる．
$ 世紀の前半に発達した数学の研究分野である．
線形代数補講ガロアの理論
やのように四則演算がうまく定義されていて，引き算，割り算
もうまく定義できる代数構造は体英語 ) ドイツ語 *
+ と
よばれる．体の部分体を考えると例えばの部分体のの部分体などの加法と乗法により，は上の線型空間と見
ることができる．
高次方程式の解の全体の構造の理論であるガロアの理論では，こ
の線型空間としての部分体上のに方程式の解を付加してそこ
から生成される体，という見方が中心的な役割をはたす．
線形代数からの視点を強調したガロア理論の入門書には，少し古
いが，
, -
がある．
.
/01/22
3 4 5 3 4 6!
線形代数補講ハメル基底
は上の線型空間と見られるから，その基底がとれるこれには
選択公理とよばれる数学原理が用いられるそのような基底一意に
存在するわけではないはハメル基底と呼ばれ集合論的に大変面白
い性質を持つものになることが知られている．
ハメル基底と集合論については，
「数学」7!28 3!0 $ に書い
た「公理系集合論 9 これから学ぶ人のために 9」という記事
や，昔務めていた大学の紀要に書いた「加法的関数の連続性につい
て」中部大学工学部紀要， 7!: $$
にハメル基底に関連する話がある．両方とも
の文章である．
; のため
終

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