第 1 章環と体 1.1 1.1.1 環、可換環定義定義 1.1 集合 R の中に２種類の二項演算 +、· が定義され、∀a、∀b、∀c ∈ R に対し、次の法則が成り立つときに、 R を環という。 (I) (R, +) はアーベル群である。すなわち、（和の結合則） (i) (a + b) + c = a + (b + c), (ii) a+b=b+a (iii) a ∈ R に対し、a + 0 = a となる元 0 ∈ R が存在する（このような元 0 を零元と呼ぶ。）。 (iv) a ∈ R と、(iii) の 0 に対し、a + x = 0 を満たす元 x が存在する。この元 x を −a と表す。（和の交換則） (II) (i) 積の結合則 (ab)c = a(bc) が成り立つ。 (III) 分配則 a · (b + c) = a · b + a · c がなりたつ。以後、混乱のおそれがないときは、積の記号 · を省略する。定義 1.2 環 R に関し、さらに、 (II) (ii) 任意の a, b ∈ R に対し、ab = ba (積の交換則) が成り立つとき、R を可換環という。また、R で定義された積において、すべての a ∈ R に対し、a1 = 1a = a を満たすような元 1 が存在することがある。このような元が存在するとき、それを単位元と呼ぶ。定義よりただちに導くことのできる命題を証明しておく。命題 1.3 (i) R の零元は一意に定まる。 (ii) a ∈ R に対し、−a は一意に定まる。 (iii) R に単位元が存在するとき、それは一意に定まる。（証明） (i) 0、0′ ∈ R を、任意の a ∈ R に対し、a + 0 = a、a + 0′ = a を満たす元とすると、0′ = 0 + 0′ = 0 だから、 0 = 0′ がいえる。 (ii)、(iii) は練習問題。（証明終） 3 問: 命題 1.3 (ii)、(iii) を示せ。 1.1.2 環の例例: 整数の集合 Z = {0, ±1, ±2, · · · , } は、通常の和、積に関して、可換環である。Z の零元は 0、単位元は 1 である。例: 複素数係数の多項式の集合  n  ∑ C[x] := aj xj  j=0 は、f (x) = m ∑ i ai x 、g(x) = i=0 n ∑   n ∈ N, aj ∈ C (j = 0, · · · , n)  bj xj ∈ C[x] の和、積を、 j=0 ∑ max(m,n) f (x) + g(x) = (aj + bj )xj ( ただし、次数より大きい部分の係数は、形式的に 0 とする。) j=0 f (x) · g(x) = m+n ∑ c j xj ただし j=1 cj = j ∑ ak bk−j k=0 で定義する、つまり、通常の多項式の和と積を演算とすると可換環になる。C[x] の零元は 0、単位元は 1 である。（例終）例: Mat (n, n; C) を複素数を成分とする n × n 行列のなす集合とする。Mat(n, n, C) 上に通常の行列の和、積を定義する   0 ··· 0  . ..   . と、これは、環になるが、可換環ではない。Mat(n, n; C) の零元は、零行列 On,n :=  .  で、単位元は、単  . 0 ··· 0   1 O   .   である。（例終） .. 位行列 En :=   O 1 以後、この講義では、特に断らないかぎり、R は単位元 1 を持つ可換環とする。 1.2 1.2.1 部分環とイデアル部分環定義 1.4 R の空でない部分集合 S が R と同じ和、積を演算とする環であるとき、S を R の部分環という。以下の命題は、「群論入門」で部分群の条件と同値な命題を求めたときと全く同様に導くことができる。命題 1.5 S を R の空でない部分集合とするとき、 S が部分環 ⇐⇒ ∀a, ∀b ∈ R に対し a − b ∈ S ab ∈ S （証明） ⇒ は明らかなので、⇐ を示す。S が和に関してアーベル群になるのは、部分群の証明のときと同様。よって、 4