正規表現と
の定理
渕野 昌
神戸大学大学院 システム情報学研究科
情報基礎特論 年前期講義
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渕野 昌 正規表現と の定理 正規表現と有限オートマトン
空でない記号の有限集合 アルファベット
記号の有限列の全体をあらわす．
に対し， £ で
定理 ． をアルファベットとするとき，
は同値である
£
に対して次
ある正規表現 に対し，
ある非決定的有限オートマトン に対し，
£ は
£ を受理する となる．
£ £
は にマッチする
の
となる．
ある 決定的 有限オートマトン
に対し，
£
¼
£
¼
は を受理する となる．
¼
上の定理の証明は，特に， を満たすような が与えられたと
き，それに対応する を作り， から ¼ を作るアルゴリズムを
与えるものとなっている．
この応用として， がある．
渕野 昌 正規表現と の定理 正規表現と有限オートマトン
空でない記号の有限集合 アルファベット
記号の有限列の全体をあらわす．
に対し， £ で
定理 ． をアルファベットとするとき，
は同値である
£
に対して次
ある正規表現 に対し，
ある非決定的有限オートマトン に対し，
£ は
£ を受理する となる．
£ £
は にマッチする
の
となる．
ある 決定的 有限オートマトン
に対し，
£
¼
£
¼
は を受理する となる．
¼
£ の部分集合を 言語 とよぶ
の要素を 語 とよぶ．
この言葉の使い方は後出の論理での 言語 とは異る!．
£
£ は上の定理の " "
言語 を満たすとき，正規言語 正則言語
のどれか，またはすべて
# ## とよばれる．
渕野 昌 正規表現と の定理 有限構造としての語
をアルファベットとして，
として，有限構造 文字列構造
$ %%%" & ¼ ½
£
とするとき．
を
¾
& 上の通常の大小関係，
のこととする． ただし は数 $ %%%" は $ %%%" & 上の & 変数関係で，
となるものとする．
¾ を とよぶ
この構造の 述語論理の意味での 言語 ことにする．
述語論理の
する．
文 に対し，£ £
例 ． とする． を とすると，£ £ £ £ である．
と
渕野 昌 正規表現と の定理 有限構造としての語
をアルファベットとして，
として，有限構造 文字列構造
$ %%%" & ¼ ½
£
とするとき．
を
¾
& 上の通常の大小関係，
のこととする． ただし は数 $ %%%" は $ %%%" & 上の & 変数関係で，
となるものとする．
¾ を とよぶ
この構造の 述語論理の意味での 言語 ことにする．
述語論理の
する．
文 に対し，£ £
演習問題 ． とする．このとき，£ なるような '文 を求めよ．
と
£
と
渕野 昌 正規表現と の定理 正規言語と述語論理
定理 の定理 の一部． をアルファベットとし
て を述語論理の '文とするとき， £ は正規言語である．
(% の構成に関する帰納法による．
として，£ は £ の形で表わせない．
命題 )．
(%
各自然数 に対し，
に対応する文字列構造を
個
とあらわすことにする．
£ は偶数 である．
*
'+,- の定理を応用すると，任意の自然数 に対し
十分に大きな をとると すべての ¼ " ¼¼ に対し，
が成り立つ，ことが示せる．
¦
このことから，任意の '論理式 に対して £ が £ と一
¼
¼¼
致しないことがわかる．
渕野 昌 正規表現と の定理 正規言語と述語論理
定理
)% と命題 .% から
命題論理の文 により £ と表わせる言語の全体
正規言語の全体
である．実は次が成り立つ
£ が述語
定理 言語 £
論理の文 によって と表わせるのは， が '
な言語であるちょうどそのときである．
アルファベット
体であるとは，
に対する が な言語の全
" すべての に対し，
は 集合の ブール演算に関して閉じている
" ¼ なら ¼ ¼ ¼ ¼ を満たすような最小の族となっていることである．
をある に対する な言語の全体として， るとき， は な言語 である，という．
とな
正規言語と な 階の論理
渕野 昌 正規表現と の定理 述語論理を以下のようにして拡張する
新しい ) 階の な 変数記号 " "%%% を用意しておく．
'論理式の生成規則に次の規則を加える
が '項で が ) 階の な変数記号なら， は論
理式である．
が論理式で が
な変数記号なら， " も論理
式である．
'構造 で， な変数記号は の部分集合と解
釈する．
¼ %%%" ½ を '項として を な変数記号とす
るとき， " ¼ %%%" ½ として，
/ ¼ %%%" ½ 0 ¼ %%%" ½ とする．
ある に対し， とする．
の定理
渕野 昌 正規表現と の定理 £ が正規言語となるのは，
言語 £ な ) 階論理の '文 で， £ となるものがある丁度そのときである．
定理
(%
£ なら は正規言語となることの証明は の構成に関する帰納法で示せる．
ある決定性有限オートマトン に対し， £ となっている
として，¼ "%%%" が の内部状態のすべてで， ¼ が初期状態 が停止状態とする．
な２階算術の '文 を とする．
ただし， はこの文を " ¼ ½ で解釈したとき，
"%%%" は $ %%%" & の分割で， を の上で走らせ
たとき なら， のヘッドが 番目の記号に移動したと
きの内部状態は で， $" & である
を表現するものとする．
このとき， £ である．
参考文献等
渕野 昌 正規表現と の定理 1'* (" 2# " 3 *4
5 6
74 89 &::9" &98;&<8%
有限モデルを用いた 問題へのアプローチも可能である．
理論コンピュータ科学の人類への貢献度に関する認識は文化圏で
大きく異る．たとえば，
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