講義のスライズのプリンター版

正規表現と
の定理
渕野 昌
神戸大学大学院 システム情報学研究科
情報基礎特論 年前期講義
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渕野 昌 正規表現と の定理 正規表現と有限オートマトン
空でない記号の有限集合 アルファベット
記号の有限列の全体をあらわす.
に対し, £ で
定理 . をアルファベットとするとき,
は同値である
£
に対して次
ある正規表現 に対し,
ある非決定的有限オートマトン に対し,
£ は
£ を受理する となる.
£ £
は にマッチする
の
となる.
ある 決定的 有限オートマトン
に対し,
£
¼
£
¼
は を受理する となる.
¼
上の定理の証明は,特に, を満たすような が与えられたと
き,それに対応する を作り, から ¼ を作るアルゴリズムを
与えるものとなっている.
この応用として, がある.
渕野 昌 正規表現と の定理 正規表現と有限オートマトン
空でない記号の有限集合 アルファベット
記号の有限列の全体をあらわす.
に対し, £ で
定理 . をアルファベットとするとき,
は同値である
£
に対して次
ある正規表現 に対し,
ある非決定的有限オートマトン に対し,
£ は
£ を受理する となる.
£ £
は にマッチする
の
となる.
ある 決定的 有限オートマトン
に対し,
£
¼
£
¼
は を受理する となる.
¼
£ の部分集合を 言語 とよぶ
の要素を 語 とよぶ.
この言葉の使い方は後出の論理での 言語 とは異る!.
£
£ は上の定理の " "
言語 を満たすとき,正規言語 正則言語
のどれか,またはすべて
# ## とよばれる.
渕野 昌 正規表現と の定理 有限構造としての語
をアルファベットとして,
として,有限構造 文字列構造
$ %%%" & ¼ ½
£
とするとき.
を
¾
& 上の通常の大小関係,
のこととする. ただし は数 $ %%%" は $ %%%" & 上の & 変数関係で,
となるものとする.
¾ を とよぶ
この構造の 述語論理の意味での 言語 ことにする.
述語論理の
する.
文 に対し,£ £
例 . とする. を とすると,£ £ £ £ である.
と
渕野 昌 正規表現と の定理 有限構造としての語
をアルファベットとして,
として,有限構造 文字列構造
$ %%%" & ¼ ½
£
とするとき.
を
¾
& 上の通常の大小関係,
のこととする. ただし は数 $ %%%" は $ %%%" & 上の & 変数関係で,
となるものとする.
¾ を とよぶ
この構造の 述語論理の意味での 言語 ことにする.
述語論理の
する.
文 に対し,£ £
演習問題 . とする.このとき,£ なるような '文 を求めよ.
と
£
と
渕野 昌 正規表現と の定理 正規言語と述語論理
定理 の定理 の一部. をアルファベットとし
て を述語論理の '文とするとき, £ は正規言語である.
(% の構成に関する帰納法による.
として,£ は £ の形で表わせない.
命題 ).
(%
各自然数 に対し,
に対応する文字列構造を
個
とあらわすことにする.
£ は偶数 である.
*
'+,- の定理を応用すると,任意の自然数 に対し
十分に大きな をとると すべての ¼ " ¼¼ に対し,
が成り立つ,ことが示せる.
¦
このことから,任意の '論理式 に対して £ が £ と一
¼
¼¼
致しないことがわかる.
渕野 昌 正規表現と の定理 正規言語と述語論理
定理
)% と命題 .% から
命題論理の文 により £ と表わせる言語の全体
正規言語の全体
である.実は次が成り立つ
£ が述語
定理 言語 £
論理の文 によって と表わせるのは, が '
な言語であるちょうどそのときである.
アルファベット
体であるとは,
に対する が な言語の全
" すべての に対し,
は 集合の ブール演算に関して閉じている
" ¼ なら ¼ ¼ ¼ ¼ を満たすような最小の族となっていることである.
をある に対する な言語の全体として, るとき, は な言語 である,という.
とな
正規言語と な 階の論理
渕野 昌 正規表現と の定理 述語論理を以下のようにして拡張する
新しい ) 階の な 変数記号 " "%%% を用意しておく.
'論理式の生成規則に次の規則を加える
が '項で が ) 階の な変数記号なら, は論
理式である.
が論理式で が
な変数記号なら, " も論理
式である.
'構造 で, な変数記号は の部分集合と解
釈する.
¼ %%%" ½ を '項として を な変数記号とす
るとき, " ¼ %%%" ½ として,
/ ¼ %%%" ½ 0 ¼ %%%" ½ とする.
ある に対し, とする.
の定理
渕野 昌 正規表現と の定理 £ が正規言語となるのは,
言語 £ な ) 階論理の '文 で, £ となるものがある丁度そのときである.
定理
(%
£ なら は正規言語となることの証明は の構成に関する帰納法で示せる.
ある決定性有限オートマトン に対し, £ となっている
として,¼ "%%%" が の内部状態のすべてで, ¼ が初期状態 が停止状態とする.
な2階算術の '文 を とする.
ただし, はこの文を " ¼ ½ で解釈したとき,
"%%%" は $ %%%" & の分割で, を の上で走らせ
たとき なら, のヘッドが 番目の記号に移動したと
きの内部状態は で, $" & である
を表現するものとする.
このとき, £ である.
参考文献等
渕野 昌 正規表現と の定理 1'* (" 2# " 3 *4
5 6
74 89 &::9" &98;&<8%
有限モデルを用いた 問題へのアプローチも可能である.
理論コンピュータ科学の人類への貢献度に関する認識は文化圏で
大きく異る.たとえば,
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