仕事 仕事のグラフ（積分を理解するためのグラフ） ｆN dＷ 微 小 仕 事 ｆ S ｍ S２ S１ Ｗ 仕事 ＝ Ｗ ＝ 力 ｆ × 距離 S1 × Ｓ S2 dS Ｓ ΔＳ ＝ S2 - S1 Ｊ Ｎ ｍ ｼﾞｭｰﾙ ニュートン メートル ｄ Ｗ を ， Ｓ １か ら Ｓ ２ま で 積 み 足 す 。 ｄW = ｆｄS W = S2 S1 ｆｄS = ｆ S2 S1 ＝ｆ S 「積み重ねる」の表現より、グラフでのイメージに近い。 ｄS ……ｆはＳの関数ではないから、定数とみなして外に出す。 S2 積 み 足 し て で き る 面 積 が 、 物 体 を 力 ｆ N で Δ Ｓ ｍ (＝ Ｓ １ か ら Ｓ ２ ま で の 距 離 ） 移 動 S1 さ せ た と き の 仕 事 Ｗ Ｊで あ る 。 ＝ ｆ(S2－S1) Ｖ (体 積 )， Ｐ （ 圧 力 ） ， Ｗ （ 仕 事 ） の 関 係 ｆ （ 力 ） × ｄ Ｓ （ 距 離 の 微 小 変 化 ） ＝ ｆ ｄ Ｓ （ 仕 事 の 微 小 変 化 ） ＝ ｄ Ｗ （ ※微 小 仕 事 ） ※ 仕事の微小変化を、微小仕事と表現する。 この場合、積分は、『ｄＷ（微小仕事）を積み足していくこと』と理解すればよい。 単 位 で の 考 察 … … 体 積 (ｍ ３ )× 圧 力 （ Ｎ /ｍ ２ ） ＝ 仕 事 (Ｎ ｍ )＝ ｴﾈﾙｷﾞｰ（ Ｊ ） Ｖ (体 積 )を Ｐ （ 圧 力 ） で 積 分 す る と 、 Ｗ （ 仕 事 ＝ ｴﾈﾙｷﾞｰ） が 求 ま る 。 W＝ Ｐ2 Ｐ1 Ｖ ｄＰ つま り 、 『 ｄ Ｗ （ 微 小 仕 事 ） を Ｓ １か ら Ｓ ２ま で 積 み 足 す 。 』 と 解 釈 す る 。 Ｐ （ 圧 力 ） を Ｖ (体 積 )で 積 分 し て も 、 Ｗ （ 仕 事 ＝ ｴﾈﾙｷﾞｰ） が 求 ま る 。 W＝ - 1 - V2 V1 P ｄV - 2 - 縦軸にＰ（圧力），横軸にＶ（体積）のグラフで考察すると 図 の f(Ｖ )は 曲 線 だ が 、 便 宜 的 に 直 線 で 表 し て い る 。 縦軸にＶ（体積），横軸にＰ（圧力）のグラフでの考察 図 の f(Ｐ )は 曲 線 だ が 、 便 宜 的 に 直 線 で 表 し て い る 。 Ｖ Ｐ dＷ dＷ f(Ｐ ) f(Ｖ ) Ｗ Ｗ P1 V1 Ｖ V2 dP Ｐ P2 dP P2 - P1 V2 - V1 ＝ΔＰ ＝ΔＶ W＝ ＝ ＝ V2 V1 V2 V1 P ｄV ｆ(V)ｄV V1 V2 ＝ nＲＴ ＝ nＲＴ ＝ nＲＴ V1 V ｎ - 3 - ｎ ｆ(Ｐ)ｄＰ Ｐ2 Ｐ1 ＝nＲＴ V２ V１ － nＲＴ ｄＰ Ｐ Ｐ2 Ｐ1 V1 ｎ ２ Ｐ1 V2 V ＝nＲＴ Ｐ2 ＝ １ ｄV V ＶｄＰ Ｐ1 ＝ nＲＴ ｄV V V2 Ｐ2 W＝ V ｎ １ １ ｄＰ Ｐ Ｐ2 ＝ nＲＴ ＝ nＲＴ Ｐ － Ｐ ＝ nＲＴ - 4 - ＰＰ ｎ ｎ ｎ 1 ２ Ｐ２ Ｐ１ ｎ １ 距離Ｓ，速度ｖ，加速度ａのグラフ 力＝ 質量 × 加速度 ｖ ｍ：質量 ｋｇ ｄｖ ｆ＝ｍａ＝ｍ ａ：加速度 ｍ/ｓ2 ｄｔ ｖ： 速度 ｍ/ｓ ｔ： 時間 Ｓ ｓ 距離を時間で微分すると速度が求まる 0 ｔ ｔ ｖ＝ 距離 ＝ 速度 × 時間 Ｓ ＝ ｖ × ｔ ｍ ｓ ｍ /s Ｓ ＝ ｖ ｖ (速 度 )を ｔ （ 時 間 ） で 積 分 す る と 、 移 動 距 離 が 求 ま る 。 ｔ ０ ｄｔ 運動エネルギー ｔ 単 位 で の 考 察 … … 速 度 (ｍ /s)× 時 間 （ ｓ ） ＝ 距 離 (ｍ ) Ｓ＝ ｖ： 速度 ｍ/ｓ ｓ： 距離 ｍ ｔ： 時間 ｓ ｄｓ ｖ ｄｔ ｄ W = ｆｄ S W = S2 S1 ｆｄ S = S2 ｍａｄ S S1 S2 ＝ S1 ｍ 距離，速度，加速度の関係 ＝ 距離を時間で微分すると速度が求まる。 加速度を時間で積分すると速度が求まる。 V2 V1 速度を時間で微分する加速度が求まり、時間で積分すると移動距離が求る。 ＝ｍ 微分 距離 æ 微分 速度 積分 æ 加速度 積分 ｍ ｍ /s ｍ /s - 5 - １ ２ ｄS ｄｔ ｄｖ V2 ｖ ｄｖ V1 ｖ2 ＝ｍ ２ ＝ ２ ｍ ｄｖ ｄS ｄｔ V2 V1 ｍ V2 2 － V 1 2 - 6 -
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