2014/06/10 新谷元嗣、藪友良、高尾庄吾 3 章:ボラティリティ ここでは、条件付き不均一分散のモデルを紹介する。具体的には、ARCH、GARCH、 IGARCH、EGARCH、TGARCH、多変量 GARCH モデルである。 1 分散不均一のモデル 標準的な回帰分析において、「分散は一定」と仮定される。しかし、実際のデータをみ ると分散が一定でないことがある。 ファイル QUARTERLY.XLS では、 1960Q1∼2008Q1 における金利データが含まれる(教 科書 2 章 10 節、3 章 4 節参照)。金利スプレッド(st)を、10 年物の国債金利 r10t−政府証 券金利 tbillt として定義しよう。 genr s = r10 - tbill また、スプレッドの変化を genr ds = s - s(-1) と定義する。 左下図は、スプレッドの動きを示す。通常、長期金利の方が高いため、スプレッドは正 の値をとる。しかし、金利は下がるという予想があれば、長期金利の方が低くなり、スプ レッドは負の値をとる。右下図では、スプレッドの差を描いている。これをみると、1980 年前後で大きなショックが何度も発生していることが分かる。しかし、1985 年以降は小さ なショックしか発生していない。このデータを見る限り、分散一定の仮定は妥当ではない かもしれない。 1 1.1 残差 2 乗の のコレログラ ラム 教科 科書 2 章 10 節では、ボックス=ジェ ェンキンス法 法によって、ARMA(2,1)が A が金利スプレ レッド の有力 力モデルとさ された。AR RMA(2, (1,7)))とし、 lss s c s(-1) s(-22) ma(1) ma((7) と入力 力すると推定 定結果が得ら られる。それ れらをまとめ めると st = 0.280 0 + 0.267st-1 + 0.532st-2 + εt + 0.900εt-1 – 0.162εt-7 (2.73) (2.93) (5.91) (18.04) (−4.99) とな なる。教科書は は RATS で推 推定しており り、推定値は は多少異なる る。ただし、 、係数の大ま まかな 推定値 値、有意性は は同じである る(補足参照 照)。また、 、残差(residu uals)のコレロ ログラムを確 確認す ると、 と、自己相関 AC A と偏自己 己相関 PAC は 0 に近い値 値を取り、修 修正 Q 統計量 量もすべて有 有意と はな ならない。つま まり、残差は はホワイトノ ノイズである る。 こ ここで、残差 2 乗(squared d residuals)の のコレログラ ラムを確認し しよう。Equattion ウィンド ドウの 「Vieew」→「Residual Diagnostics」→「 「Correlogram m Squared Ressiduals」を選 選択する。 そうすると、以 以下の表が表 表示される。 。これをみる ると、AC と PAC は大き きな値をとり り、修 正 Q 統計量は有 有意となって ている。つま り、残差 2 乗には系列相 乗 相関がある。 。以下では、 、より 厳密に LM 検定によって、調 調べてみよう う。 2 1.2 LM 検定 マクラウド=リ リーの LM 検定を用いて 検 て、ARCH/GA ARCH 効果の の存在を調べ べよう。Equ uation ウィ ィンドウの「V View」→「R Residual Diaggnostics」→「Heterosked dasticity Testts」を選択す する。 Sp pecification ボックスの Test type:で で ARCH を選択する。L を選 LM 検定は、 、残差 2 乗を を、残 差2乗 乗のラグで回 回帰し、 その の係数が有意 意に 0 と異な なるかを調べる る。このため め、Number of o lags で何期 期分のラグを を説明変数と として含める るかを指定す する。ここで では 4 としよ よう。 OK K を押すと、 、検定結果が が表示される る。 3 残差 2 乗のラグは、2 期前と 4 期前で有意に 0 と異なる。また、TR2 は 18.89 と高い値と なり、有意水準 1%で帰無仮説α1 = α2 =α3= α4 = 0 は棄却される(対応する p 値は 0.008) 。 小標本では、χ2 検定ではなく、F 検定を行う方がよいため、帰無仮説α1 = α2 =α3= α4 = 0 とした F 値を求めると、 5.11 と高い値となり、 やはり有意水準 1%で帰無仮説α1 = α2 =α3= α4 = 0 は棄却される(対応する p 値は 0.0006)。以上から、ARCH/GARCH 効果が存在 するといえる。 1.3 ARCH/GARCH モデルの推定 平均のモデルは ARMA(2, 1)とし、誤差項は ARCH(2)としよう1。 平均の式: 誤差項: st= a0 + a1st-1+ a2st-2+εt+b1εt-1 ε t = vt ht 分散の式: ℎ = + + 「Quick」→「Estimate Equation」を選択して、Equation Estimation ウィンドウを表示 する(下図)。そして平均の式を ARMA(2,1)としよう。そして、推定法 Method として、 LS ではなく、ARCH-Autoregressive Conditional Heteroskedasticity を選ぶ。 推定法 Method を選択すると、ウィンドウが切り替わり、Specification の画面が表示さ れる(下図)。平均の式(Mean equation)には、先ほど定義した ARMA(2,1)モデルが書 かれている。分散の式(Variance and distribution specification)で、ARCH(2)を選択し よう。具体的には、Order ボックスにおいて、ARCH を 2、GARCH を 0 と指定する (GARCH(1, 1)が推定したいなら、Order ボックスにおいて、GARCH の次数を 0 から 1 に変更すればよい)2。 1 2 ARCH 効果を考慮すると、平均の式で εt-7 は有意ではなくなるため、ここでは ARMA(2,1)としている。 ここでは正規分布を仮定している。t 分布を仮定したいなら、Error distribution において Student’s t を選択する。 4 そして、OK とすると、以下の推定結果が得られる。 平均の式 分散の式 これをまとめると、以下となる。 st = 0.069 + 1.596st-1 − 0.657st-2 + εt − 0.14εt-1 (2.42) (11.48) ht = 0.095 + 0.336 (4.67) (−4.76) εt-12+ (2.22) 0.458εt-22 (4.24) 5 (−1.67) 2. 他 他のモデル ル 2.1 IGARCH と ARCH-M モデル 前節 節の GARCH H モデルの推 推定結果を見 見ると、 st= 0.105+ 1.3466st-1−0.441sst-2+εt −0.082 2εt-1 ℎ = 0.0049 + 0.292 + 0.748ℎ 2 とな なる。ここで、 、εt-1 、ht-1 の係数の和(0 の 0.292 + 0.748 8)はほぼ 1 となっている と る。このため め、係 数の和 和が 1 とする る制約をおい いたうえで、 、モデルを再 再推定しよう う(IGARCH) )。ただし、MA(1) M は有意 意ではないた ため、取り除 除いておこう う。 IG GARCH を推 推定するには は、Variancee and distrib bution speciification の Restriction ns で IGAR RCH を選択 択して OK を押すとよい を い(下図参照) )。 そうすると、以 以下の推定結 結果が表示さ される。ここ こで、係数の の和はちょう うど 1(=0..193290+0.806710)であ あることが確 確認できる。 。IGARCH では、推定す で するパラメー ータが 1 つ減 減っているた ため、(制約 約が正しい いという条件 件のもとで) )通常の GAR ARCH よりも も高い 精度 度の推定がで できる。 6 最後に、もし ARCH-M モデルを推定したいなら、Equation Estimation ウィンドウの右 上に、ARCH-M ボックスで、None と設定されているのを、Variance に変更すればよい(下 図参照)。こうすると、平均の式に、新たに ht が説明変数として追加される。 7 2.2 非対称のモデル 金融市場では、「悪いニュースは良いニュースよりボラティリティに大きな効果を持 つ」といわれる。収益率の下落がボラティリティをより大きく増加させる傾向は、レバ レッジ効果と呼ばれる。ここでは、こうした非対称性を捉えるモデル(TARCH、EGARCH) を推定しよう。 TARCH モデル 教科書 3 章 10 節で確認した、NYSE の収益率を分析する(データは nyse.xls)3。日次 収益率 rt を genr r = 100*log(int100/int100(-1)) と定義する。ここで、平均の式は r c ma(1) 分散の式は TARCH とする。TARCH では、ダミー変数 dt-1 =1 =0 もし εt-1 < 0 もし εt-1 ≥0 を導入し、条件付き分散を ht = α0 + α1εt-12 + λ1d t–1εt-12 + β1ht–1 と定式化する。ここで、λ1>0 であれば、負のショックは、正のショックよりもボラティリ ティを増大させる(レバレッジ効果がある)。 先と同じように、ARCH の specification ウィンドウを開いて、 Mean equation は r c ma(1) とし、Variance and distribution specification の Order は ARCH を 1、GARCH を 1 とし て、新たに Threshold order に 1 を入力しよう(下図参照)。これで分散式に、d t–1εt-12 が 追加される。 3 このデータは日次であるが、土日に加えて祝日でも観測がされていない(株式市場が閉じていれば株価に値はつかな い)。こうした不規則なデータであれば、データの種類を unstructured/undated としよう。この場合、サンプルサイ ズを 2148 である。 8 ここで、OK を押すと以下の推定結果が得られる(下図)。resid(-1)^2*(resid(-1)<0)、つま り dt-1εt-12 の係数は 0.109 であり、有意水準 1%で帰無仮説(係数=0)が棄却される。つまり、 レバレッジ効果の存在が確認される。 EGARCH モデル EGARCH では、被説明変数は ln(ht)となっており、係数に非負制約をかける必要がな い。 ln( h t ) = α 0 + α 1 | ε t − 1 / h t0−. 51 | + λ 1 ( ε t − 1 / h t0−. 51 ) + β 1 ln( h t − 1 ) 先と同じデータで EGARCH の推定をしてみよう。ARCH の specification 画面を開いて、 Variance and distribution specification の Model を、GARCH/TGARCH を変更して、EGARCH を選択しよう。Order は、ARCH を 1、GARCH を 1、Asymmetric order を 1 と指定する。 9 OK を押すと、推計結果が Equation ウィンドウとして表示される。 推定結果をまとめると、 rt = 0.023 – 0.057εt-1 + εt (1.10) (–2.47) ln(ht) = –0.083 + 0.109|εt-1/ht-10.5|– 0.075 εt-1/ ht-10.5 + 0.979 ln(ht-1) (–6.92) (6.84) (–6.66) (272.42) となり、すべての係数は有意である(平均式の定数項は除く)。また、ht-1 の値を所与 とすると、εt-1 が 1 単位増えると、ln(ht)は 0.034 (=0.109–0.075)単位だけ増加する。これ に対し、εt-1 が 1 単位減少すると、ln(ht)は 0.184 (=0.109+0.075)単位も増加する。これは、 悪いニュースの方が良いニュースより条件付き分散を増大させる効果があることを意 味する。 10 3. 多変量 GARCH 前節までは 1 変量のモデルを学習してきた。しかし、近年では、グローバル化を背景 とし、国際的なボラティリティ・ショックの波及に注目が集まっている。このような分 析では、変数間の相互関係を考慮することが重要となる。 3.1 vech モデル 多変量の GARCH モデルでは複数の条件付き分散・共分散を推定する。2 変数、ラグは 1 期のみの場合を考えると vech モデルは以下のように定式化される(本文の(3.42) − (3.44) 式、補足 3.2 も参照)。 vech(Ht) = C + A vech(εt-1εt-1′) + Bvech(Ht-1) ℎ ℎ ℎ = + ℎ ℎ ℎ + しかし、この定式化はパラメータの数が非常に多くなってしまい、推定は困難になって しまう。そこで、制約を課して、パラメータ数を減らした対角 vech モデルが考案された(行 列 A、B において、対角要素以外を 0 と置いている)。 ℎ ℎ ℎ 0 = + 0 0 0 0 0 + 0 0 0 0 0 0 ℎ ℎ ℎ ここで、データ exratesdaily.xls を用いて、対角化 vech モデルを推定してみよう(教科 書 3 章 11 節参照)。為替レートを Sit とし、その変化率を yit=100*ln(Sit/Sit-1)とする。ここ で、ユーロは y1t、ポンドは y2t、スイス・フランは y3t としよう。前段階として、yit = μi + εit を推定すると、定数項μi は euro pound sf 0.0136 –0.00415 0.0161 (1.08) (–0.36) (1.18) となる。残差 2 乗を用いて、ラグを 5 期まで含めて LM 検定を行うと、帰無仮説は棄却さ れる(ARCH/GARCH 効果を示唆する)。 それでは、GARCH(1,1)として対角 vech モデルを推定しよう。多変量モデルでは、単変 量の方法とは異なり、システム全体を指定する必要がある。まず workfile ウィンドウで、 コントロールキーを押しながらクリックすることで、 y1、y2、y3 を同時に選択する。この 状態で右クリックすると、メニューが表示されるので、「Open」→「as System」を選択 する(下図)。 11 そうすると、Make System ウィンドウが表示される(下図)。ここでシステム(連立方 程式モデル)を指定する。ここでは何も変更しないで推定を行う。つまり、変化率の説明 変数として、定数項のみをとるモデルを想定する。 OK をクリックすると、System ウィンドウが表示される(下図)。メニューバーから Estimate を選択する。 12 す すると、Systtem Estima ation ウィン ンドウが表示 示される。こ ここで Estim mate method の メニ ニューから、 、ARCH-Autoregressivee Conditiona al Heteroskedasticity を を選択する。 。 す すると、ウィ ィンドウが切 切り替わり、 、ARCH モデ デルの指定画 画面となる る(下図)。こ ここで、 ARC CH model sp pecification n の Model type から Diagonal D VE ECH を選択 択する4。 K を押すと、 と、System ウィンドウに ウ に推定結果が が表示される る(下図は推 推定結果の一 一部)。 OK 4 ここ こで Diagonal VECH V ではなく、 く、CCC モデル、 、BEKK モデル ルなどを選択する ることもできる。 。 13 yit = μi + εit の μi の推定された値がそれぞれ c(1),c(2),c(3)にあたる。つまり、 y1t =c(1)+ ε1t, y2t =c(2)+ ε2t, y3t =c(3)+ ε3t, となる。また、Variance Equation Coefficients 以下には条件付き分散共分散(vech(Ht) = M + A vech(εt-1εt-1′) + Bvech(Ht-1)) についての係数が表示されている。c(4)から c(9)が切片 C、 c(10)から c(15)が vech(εt-1εt-1′)の係数 A、c(16)から c(21)が vech(Ht-1)の係数 B となってい る5。 h11t = c(4) + c(10)ε1t-12 + c(16) h11t-1 h12t = c(5)+c(11)ε1t-1ε2t-1+ c(17)h12t-1 h13t = c(6)+c(12)ε1t-1ε3t-1+ c(18)h13t-1 h22t = c(7) + c(13)ε2t-12 + c(19) h22t-1 h23t = c(8)+c(14)ε2t-1ε3t-1+ c(20)h23t-1 h33t = c(9) + c(15)ε3t-12 + c(21) h33t-1 ここで推計結果を簡単に表にまとめると、以下のようになる。 h11t h12t h13t h22t h23t h33t C 0.00317 0.00259 0.00331 0.00367 0.00238 0.00409 α1 0.040 0.034 0.038 0.041 0.032 0.037 β1 0.952 0.956 0.955 0.948 0.959 0.955 これらの式は推計後に System ウィンドウのメニューバーから「View」→「Representations」を選択するとわかりや すくまとまる。 5 14 補足: EViews と RATS の違い 教科書と EViews の結果が違っていることに気になる人もいるかもしれない。こうした 違いが生じるのは、教科書では RATS を用いているためである。もちろん、推定方法を完 全に一致させれば、ほぼ同じ結果が得られる。たとえば、3.4 節と同じ結果を得たい場合は、 メニューバーの「Quick」→「Estimate Equation」を選択して Equation Estimation ウィ ンドウを開き、Specification に s c s(-1) s(-2) ma(1) ma(7)と入力し、Options の右上にある Backcast MA terms オフにすればよい(チェックを外す)。 そして OK をおすと、以下の結果が得られる。教科書の 3.4 節と比較してもらえれば、結 果がほぼ同じであると確認できる。 Backcast MA terms をオフにするということは、誤差項の初期値を 0 として最尤法でパ ラメータを推定するということである(教科書で説明された方法である)。これに対して、 Backcast MA terms をオンにしておくと、初期値を 0 と仮定しないで推定ができる。EViews では、デフォルト(初期設定)として Backcast MA terms がオンとなっている。 15
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