代数多様体の Brauer 群とその数論的応用

所属：豊田工業高等専門学校一般学科
研究タイトル：
代数多様体の Brauer 群とその数論的応用
氏名：
植松哲也／UEMATSU
職名：
助教
Tetsuya
E-mail：
uematsu @toyota-ct.ac.jp
学位：
博士(数理科学)
所属学会・協会：
日本数学会
キーワード：
代数多様体，Brauer 群，有理点，代数的サイクル
技術相談
提供可能技術：
・数学一般，とくに代数学に関すること
・工学系数学（線形代数，微積分，微分方程式，複素関数論，ベクトル解析など）
に関する質問・相談
代数多様体の Brauer 群とその数論的応用
1. 研究領域の概要
研究内容：
整数論における古典的な分野の一つとして、 Diophantos 問題、すなわち、与えられた不定方程式に整数解や有
理数解が存在するかどうかを研究する問題がある。例えば、 3 変数方程式 $x^2+y^2=z^2$ の解は、「ピタゴラス
数」としてよく知られているものである。
他方、こうした方程式は、例えば、「直線」ax+by=c や「円」x^2+y^2=1 のように、図形としてとらえることができる。
このように、代数的な多項式からなる(連立)方程式の解集合(=グラフ)として表わされる図形は「代数多様体」と呼
ばれ、その性質を調べる分野を代数幾何学とよぶ。この見方に立てば、元の方程式の「解」は、対応する代数多
様体の「点」に対応するものとなり、方程式を幾何的な視点から捉えることができる。こういった視点で整数論的な
諸問題に取り組む「数論幾何学」と呼ばれる分野が私の専門領域である。
2. 研究内容
その中でも、私は、代数多様体の「Brauer 群」と呼ばれる不変量に興味を持って研究を進めてきた。これは古く
は、体と呼ばれる代数的対象に対して定義され、さまざまな応用を持つことが知られていたものであるが、 1960
年代に、 A. Grothendieck によって、代数多様体に対しても、 Brauer 群というものが導入され、これもまた、代
数多様体の研究において、さまざまな応用を持つことが、その後の研究で明らかになってきている不変量であ
る。Brauer 群の研究において、基本的な問題意識となるのは、
「代数多様体の Brauer 群はどのような群であるのか」
ということであるが、そのほかに、
「Brauer 群を通して、元の方程式に対してどのような整数論的知見が得られるのか」
といった応用にも関心を持っている。ここ数年は$ax^3+by^3+cz^3+dt^3=0$ という方程式で定まる「対角的 3 次曲
面」の Brauer 群の群構造の決定および具体的な生成元の構成・非存在の証明[1]を行い、その結果などを用い
て、重要な不変量である p 進体上の対角的 3 次曲面のゼロサイクルに関する知見を得ることにも成功した[2]。
3. 今後の展望
今後は、有理性問題とよばれる領域への Brauer 群の応用や、関連する不変量である不分岐コホモロジーにも研
究を広げていきたいと考えている。
[1] T. Uematsu, On the Brauer group of diagonal cubic surfaces, Quart. J. of Math., first published online Apr 28, 2013
doi:10.1093/qmath/hat013
[2] T. Uematsu, Zero-cycles on diagonal cubic surfaces, submitted
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