download

Learning Outcomes
• Mahasiswa dapat menyebutkan perbedaan
pengertian non PL dan PL melalui contohcontoh yang diberikan, serta dapat
menyelesaikan masalah-masalah yg ada..
Outline Materi:
• Penerapan Non Linear Programmig
• Contoh kasus..
Contoh Model Non Linier,
Dalam profit analisis terdapat hubungan sebagai berikut:
Keuntungan total = pemasukan total – biaya total
Atau dapat dinyatakan sebagai Z = vp – ct – vcv ; untuk
v = jumlah/kapasitas produksi
p = harga per unit
ct = biaya tetap
cv = biaya variabel
Andaikan harga satu produk (p) tidak lebih dari Rp 5.000,00 dan
hubungan antara jumlah produksi dan harga satuan produk
yang dapat dinyatakan sbb: v = 1500 -24,6p
maka keuntungan total (Z) dapat dinyatakan sebagai berikut:
Z = (1500 –24,6p) p – ct – (1500 - 24,6p) cv atau
Z = 1500p –24,6p2 – ct – 1500 cv + 24,6pcv
Dengan kendala
p ≤ Rp 12.000,00
Penyelesaian Masalah NLP,
•
Secara umum ciri penyelesaian masalah nonlinier
programing adlh menggunakan perinsip calculus.
1. Metode Substitusi
• Metode ini merupakan teknik penyelesaian
nonlinier programming yang paling sederhana.
Penggunaan metode ini terbatas pada model
dengan kendala kesamaan atau bertanda
sama dengan (=). Fungsi kendala kemudian
disubstitusikan ke fungsi tujuan sehingga
hanya ada satu persamaan (nonlinier) yang
harus diselesaikan menggunakan calculus..
Penyelesaian Masalah NLP(2),
Misalnya untuk contoh sebelumnya, setelah v
disubstitusi mk model nonlinier programming sbb.
Maksimumkan Z = 1500p –24,6p2 – ct – 1500 cv + 24,6pcv
Andaikan diketahui ct = Rp 1 juta dan cv = Rp 20.000,00
Substitusikan nilai konstanta, maka
Z = 1500p –24,6p2 – 1.000.000 – 1500 (20.000) + 24,6 p (20.000)
= 493500 p – 24,6 p2 - 76.000.000
∂Z/∂p = 493500 – 49.2 p
0 =1231500 – 49.2 p,p = Rp10030,5 (harga jual/unit).
Penyelesaian Masalah NLP(3),
2.
•
•
Metode Lagrange Multiplier
Metode ini merupakan teknik matematika yang dapat
digunakan menyelesaikan masalah optimalisasi
dengan kendala yang terdiri dari fungsi tujuan yang
nonlinier dan satu atau lebih persamaan kendala yang
nonlinier.
Pada metode ini kendala sebagai pengali dari suatu
Lagrange multiplier,  dikurangkan dari fungsi tujuan.
Contoh,
Andaikan suatu perusahaan memproduksi
barang A (X1) dan barang B(X2). Untuk
memproduksi barang A memerlukan waktu 1
jam kerja dan barang B membutuhkan 2 jam
kerja. Jam kerja per hari adalah 40 jam.
Keuntungan per unit masing-masing jenis
barang adalah 4 juta dan 5 juta Bila jumlah
barang yang diproduksi bertambah maka
keuntungan berkurang dengan hubungan
sebagai berikut:
Contoh,
Barang A: 4 juta – 0,1 X1 dan barang B: 5 juta – 0,2X2
Total kontribusi untuk tiap jenis barang adalah
(4 – 0,1 X1) X1 dan (5 – 0,2X2) X2
Total keuntungan dari kedua jenis barang adalah
Z = 4 X1 – 0,1 (X1)2 + 5 X2 – 0,2 (X2)2
Dengan kendala
•
X1+X2=40(pertidaksamaan  persamaan).
•
Langkah pertama transformasikan fungsi objektif non
linier menjadi fungsi Lagrange kemudian ubah
persamaan kendala menjadi
•
X1 + X2 – 40 = 0, lalu kalikan dengan 
Selanjutnya kurangkan dari fungsi objektif untuk
mendapatkan Lagrange multiplier
L = 4 X1–0,1(X1)2+ 5X2– 0,2(X2)2 – (X1+X2– 40) …(*)
Karena nilai kendala sama dengan 0 maka fungsi
objektif tidak akan terpengaruh.
Turunkan (parsial) fungsi Lagrange terhadap X1, X2 dan 
adalah sebagai berikut:
– 0,2 X1 -  + 4 = 0
– 0,4X2 - 2 + 5 = 0
– X1 –2 X2 + 40 = 0
L/X1 = 4 – 0,2 X1 -  atau
L/X2 = 5 – 0,4 X2 - 2
L/ = – X1 – 2X2 + 40
– 0,2 X1 -  + 4 = 0
– 0,4X2 - 2 + 5 = 0
– X1 – 2 X2 + 40 = 0
Hasil dari SPL tsb adalah X1=18,4, X2=10,8 dan = 0,35.
Disubstitusikan ke persamaan (*) maka diperoleh nilai
L = 70,4 juta.
Catatan: Metode penyelesaian yang dikemukakan di
atas penggunaannya sangat terbatas pada model
permasalahan dengan kendala yang sederhana. Untuk
permasalahan yang lebih kompleks penyelesaian
secara matematis sangat sulit dan tidak praktis.
3. Metode Gradien (steepest ascent method)
Metode ini merupakan penyelesaian pendekatan
dengan membentuk titik-titik secara berurutan menurut
arah dari gradient fungsi. Penyelesaian dari metode
gradient akan diperoleh pada suatu titik dimana vector
dari gradient adalah nol.
Penyelesaian optimal dapat diperoleh bila diketahui
sifat dari fungsi kendala f(X), yaitu apakah concave
atau convex.
Suatu fungsi tak linier disebut concave bila fungsi
tersebut mempunyai suatu titik maksimum,
sebaliknya fungsi dengan suatu titik minimum disebut
convex. Namun pada kenyataannya suatu fungsi tak
linier dapat saja memiliki bagian concave dan convex,
sebagaimana terlihat pada curva di bawah ini.
Fungsi Convex
•
•
Fungsi Concave
Fungsi Concave-convex
Andaikan f(X) adalah maksimum dan misalkan X0
adalah titik awal dan f(Xk) sebagai gradient dari f
pada Xk
Xk+1 = Xk + rk f(Xk) , dimana rk adalah panjang
langkah pada Xk.
Xk+1=Xk+rk f(Xk) ,dimana rk adalah panjang
langkah pada Xk
•
•
•
Panjang langkah rk ditentukan sedemikianrupa
sehingga Xk+1 menghasilkan perbaikan
terbesar pada f atau h(r) = f[Xk + rk f(Xk)].
Karena h(r) merupakan fungsi dengan satu
variable dan unimodal maka dapat ditentukan
optimumnya, yaitu pada saat Xk mendekati
Xk+1.
Atau rk f(Xk) ≈ 0, karena rk ≠ 0, kondisi perlu
f(Xk) = 0 dipenuhi pada Xk.
4.
Separable Programming
•
Teknik penyelesaian lainnya adalah
Seperable programming yang pada
perinsipnya memecah fungsi menjadi
fungsi variabel tunggal. Selanjutnya fungsi
yg terbentuk diselesaikan dgn cara sama
dgn mixed-integer programming..
(lihat contoh Taha, 2003, halaman 741-743).
•

Download Report