download

(Pendukung Pert 3)
Teori Peluang (Probabilitas)
Istilah-istilah/ notasi dalam peluang.
 Ruang contoh: himpunan semua hasil yg mungkin
dari suatu eksperimen dan biasa dilambangkan
dengan S.
 Eksperimen: proses dimana pengamatan atau
pengukuran dilaksanakan.
 Kejadian sederhana: suatu hasil tunggal dari suatu
eksperimen
 Kejadian majemuk A: kumpulan dari kejadiankejadian tunggal
 Diagram pohon hasil percobaan (eksperimen)
Pelemparan dua keping mata uang
Mata uang I
Mata uang II
Muka = M
Muka = M
Belakang = B
Muka = M
Belakang = B
Belakang = B
Hasil
E1 = MM
E2 = MB
E3 = BM
E4 = BB
1
Dalam bentuk tabel
Kejadian
E1
E2
E3
E4
Mata uang I
Muka
Muka
Belakang
Belakang
Mata uang II
Muka
Belakang
Muka
Belakang
 Ruang contoh diskrit
S = {S1,S2,…,SN}; ruang contoh terhingga
S = {S1,S2,…,Sn,…}; ruang contoh tak terhingga
Diagram Venn dan Operasi Himpunan
B
A
B
A
A B
A B
B
A
A
A'
A B
2
(1) A  B  B  A
(2) A  B  B  A
(3) A  (B  C)  (A  B)  (A  C)
(4) (A  B)  AI  BI
(5) (A  B)  AI  BI
Peluang kejadian:
sekeping mata uang seimbang dilemparkan n kali
maka peluang munculnya M:
P(M) 
#M
#M
; untuk n besar  P(M)  lim
n
n
n 
# M = banyak kalinya M muncul dari n lemparan
 Kaidah-kaidah Peluang
Bila A  S  P(A)  0
P(S)  1
Bila A i  A j   , i  j maka :
n
P(A1  A 2  ...  A n )   P(A i )
i 1
Peluang kejadian komplemen A = Al
P(Al)= 1-P(A) dan P(A)+P(Al)=P(S)=1
3
P(B)  P(A  B)  P(A l  B)
P(A  B)  P(A)  P(B) - P(A  B)
P(A)  P(A  B)  P(A  Bl )
 Penghitungan kejadian
Permutasi = pengaturan r obyek dari n obyek yang
berbeda dengan memperhatikan urutan
n!
n

n(n
1)(n
2)

(n
r

1)

Pr
(n - r)!
dimana n!  n(n - 1)(n - 2) (3)(2)(1)
0! 1
Kombinasi: pemilihan r obyek dari n obyek yang
berbeda tanpa memperhatikan urutan
n
C
r
n
 
r

n!

 r!(n - r)!

 n  nk  n   n 
 
   
  k 1   ,    1
 k 1 
k 0
Contoh soal 1.
Hitunglah
P
n
k
n
dan   untuk
k
a) n = 10, k = 1, 2, 3
4
b) n = 7 , k = 4, 5, 6
Contoh soal 2.
 n   n-k1 
n!
 x 
, k 3  n - k1 - k 2
 k   k  k1! k 2 ! k 3!
 1  2 
Peluang Bersyarat, Kejadian Bebas dan
Kaidah Bayes
 Peluang bersyarat:
P(A  B)
P(A)
P(B/A)  peluang kejadian B dengan syarat peluang A telah diketahui
P(B/A) 
Contoh soal.
A = penderita kanker
B = perokok berat
Diketahui # (A) = 135, # (A ∩ B) = 122
Hitung peluang : P(B/A)
Penyelesaian :
5
# (A)
# (A  B)
, P(A  B) 
N
N
P(A  B) # (A  B/N 122
P(B/A) 


 0,90
P(A)
# (A)/N
135
P(A  B)  P(A). P(B/A) atau P(A  B)  P(B) P(A/B)
P(A) 
Bila A dan B bebas:
P(A  B)  P(A). P(B)
Contoh soal :
Suatu kantong berisi 4 bola merah dan 3 bola hitam
dan kantong kedua berisi 4 bola merah dan 5 bola
hitam. Satu bola diambi dari kantong pertama dan
dimasukan tanpa melihatnya kekantong kedua.
Berapa peluangnya mengambil bola hitam dari
kantong kedua?
Diagram pohonnya:
P(M 1  M 2 )
M
4/9
Kantong 2
4M, 5H
H
5/9
P(M 1  H 2 )
M
4/7
Kantong 1
4M, 3H
H
P(M 1  H 2 )  P(H 1  H 2 ) 
Kantong 2
3M, 6H
38
63
M
3/9
H
6/9
P(H 1  M 2 )
P(H 1  H 2 )
6
H1 = mengambil 1 bola hitam dari kantong 1
H2 = mengambil 1 bola hitam dari kantong 2
M1 = mengambil 1 bola merah dari kantong 1
M2 = mengambil 1 bola merah dari kantong 2
 Kaidah Bayes
El
A
A E
A E
A  (A  E)  (A  E l )
l
P(A)  P(A  E)  P(A  E l )
Diagram Venn untuk kejadian A, E, El
P(E/A) 
P(A  E)
P(A  E)

P(A)
P(A  E)  P(A  El )
P(E/A) 
P(E)P(A/E)
P(E)P(A/E)  P(El )P(A/E l )
7
Diagram pohonnya
P(E  A)
A
E
P(A)
Al
P(El  A)
A
Al
Bentuk umumnya:
B1, B2, …, Bk kejadian sekatan dari ruang contoh
dengan P(Bi) ≠ 0, i = 1,2,…k maka setiap kejadian
A anggota dari ruang contoh
k
k
i 1
i 1
P(A)   P(Bi  A)   P(Bi )P(A/B i )
Bila P(A) ≠ 0 maka kaidah bayes :
P(Br /A) 
P(B r  A)
k
 P(B
i 1
i
 A)

P(Br )P(A/B r )
k
P(B )P(A/B )
i 1
i
i
untuk k=3 ; B1, B2, B3 dan A
8
P(B1/A) 
P(B1 )P(A/B1 )
P(B1 )P(A/B1 )  P(B2 )P(A/B 2 )  P(B3 )P(A/B 3 )
P(B2 /A)  ?
P(B3/A)  ?
Soal tentang peluang total dan kaidah bayes:
Sebuah perusahaan memproduksi suatu barang
yang dihasilkan dari tiga mesin B1, B2, B3. Dari
seluruh produksi, mesin B1 menghasilkan 200 unit,
mesin B2 = 300 unit dan mesin B3 = 100 unit. Bila
diketahui bahwa produksi yang rusak berasal dari
B1 = 5% dari B2 = 2% dan dari B3 = 10% dan
seorang membeli 1 unit secara acak.
Berapakah peluang pembeli tersebut memperoleh
barang yang rusak.
Bila barang yang dibelinya ternyata rusak, berapakah peluangnya berasal dari mesin B1?
9

Download Report