Matakuliah Tahun Versi : H0134 / Sistem Pengaturan Dasar : 2005 : <<versi/revisi>> Pertemuan 23-24 Model Persamaan Ruang Keadaan 1 Learning Outcomes Pada akhir pertemuan ini, diharapkan mahasiswa akan mampu : • mengembangkan analisis sistem pengaturan dalam model persamaan Ruang Keadaan (state space) 2 Outline Materi • • • • • • • • • • • Model Ruang Keadaan: Konsep state State space Definisi , model persamaan state variable state space persamaan keadaan matrix transisi keadaan Hubungan Fungsi alih dengan pers. ruang keadaan persamaan output controllability observability 3 • Model Persamaan Ruang Keadaan ( State Space Model ) – Teori kontrol modern diperlukan karena kecenderungan sistem yang makin kompleks yang mungkin mempunyai multiple input dan multiple output. – Sistem kontrol modern dengan model ruang keadaan menggunakan pendekatan wawasan waktu ( time domain ) berbeda dengan sistem kontrol konvensional yang menggunakan wawasan frekuensi. – State dari suatu sistem dinamik adalah himpunan variabelvariabel yang paling kecil ( disebut variabel keadaan / state variable ) dimana pengetahuan tentang variabel ini pada t = t0 bersama dengan pengetahuan tentang input pada t 0 secara lengkap akan menentukan kelakuan dari sistem untuk t t0. – State variable menentukan state / keadaan dari sistem dinamik. Jika paling sedikit diperlukan n variabel x1, x2 , ……..xn untuk menggambarkan secara lengkap kelakuan dari sistem dinamik maka n variabel diatas adalah himpunan variabel keadaan. 4 – State vector adalah vektor yang n buah komponenkomponennya merupakan n buah variabel keadaan. – State space adalah ruang berdimensi n yang sumbu koordinatnya terdiri dari sumbu x1, sumbu x2, …….., sumbu xn. – Persamaan Ruang Keadaan x( t ) A( t )x( t ) B( t )u( t ) y( t ) C( t )x( t ) D( t )u( t ) A(t) : state matrix. B(t) : input matrix. C(t) : output matrix. D(t) : direct transmission matrix. 5 – Diagram Blok sistem dengan ruang keadaan D(t) u(t) B(t) X(t) + X(t) dt + + C(t) + y(t) A(t) – Pada sistem mekanik berikut akan diturunkan persamaan keadaan dan persamaan outputnya. u(t) adalah gaya luar yang merupakan input pada sistem dan y(t) adalah output yang merupakan perpindahan dari massa m dari titik setimbang ketika tidak ada gaya luar 6 Pada sistem mekanik berikut merupakan sistem orde 2 akan diturunkan persamaan keadaan dan persamaan outputnya. u(t) adalah gaya luar yang merupakan input pada sistem dan y(t) adalah output yaitu perpindahan posisi dari massa m dari titik setimbang ketika tidak ada gaya luar y(t) K m y b y ky u u(t) M B 7 Dari persamaan (1) , (2) dan (3) : x1 x2 1 1 ( ky b y ) u m m k b 1 x1 x2 u m m m x2 x2 Persamaan output y x1 Dalam bentuk matriks persamaan adalah : 0 1 x 1 k b x m 2 m x y 0 1 1 x2 x1 x 2 0 1 u m 8 Persamaan diatas merupakan persa-maan keadaan dan persamaan output dari sistem mekanik dan mempunyai bentuk standar : x( t ) A( t )x( t ) B( t )u( t ) dengan matrik D = 0 y( t ) C( t )x( t ) D( t )u( t ) 9 • Fungsi Alih terhadap Persamaan Ruang Keadaan Persamaan keadaan dan output sistem dinyatakan sbb : x Ax Bu y Cx Du Jika pada persamaan di atas dilakukan transformasi Laplace dengan kondisi awal x(0) adalah nol, maka : SX = AX + BU Y = CX + DU ( sI – A ) X = B.U masukkan persamaan ini ke persamaan untuk Y, 10 Y = C( sI – A )-1BU + DU Y = [ C( sI – A )-1B + D ] U Fungsi alih G(s) adalah ratio output terhadap input : Y ( s) [C ( sI A) 1 B ) D ]U G ( s) U ( s) U G ( s ) C ( sI A) 1.B D Contoh soal : Tentukanlah fungsi alih sistem mekanik pada contoh soal sebelumnya. 11 G ( s ) 1 1 0 s 0 G ( s ) 1 s 0 k m G ( s ) 1 b s m 1 0[ ] b k 2 s s k m m m G ( s) 0 0 k 1 m 1 b s m 1 1 b m 1 0 0 1 m 0 1 m 1 s 0 1 m 1 ms 2 bs k 12 Terminologi State space: • State • • State variable • • Sekumpulan minimum variable;shg dgn mengetahui keadaan variable tsb dpt menggambarkan keadaan sistem Sekumpulan variable minimum untuk dptmendeskripsikan sistem State vector • Vektor yg menentukan secara unik keadaan sistem • State space • Ruang berdimensi n dengan sumbu x1, x2,.......xn • Dengan x adalah state variable • Persamaan state space • Persamaan untuk mendeskripsikan sistem; tidak unik tetapi mempunyai jumlah state variable yg sama utk sistem yg sama 13 Model Ruang Keadaan (state space) 14 15 16 17 18 r(t) e 1 x2 2 s 1 x1= y s3 y x1 ur x3 3 s 4 2 . x2 s3 x1 x2 1 (u x3) s 1 x3 3 x1 s4 s.x1 3.x1 2. x 2 s. x 2 x 2 u x3 s.x3 4 x3 3. x1 x1 3x1 2x2 x2 x2 x3 u x3 3x1 4 x3 dalam bentuk matriks (state space) dituliskan sebagai: x1 x 2 x3 0 x1 0 3 2 0 1 3 x2 1 u 3 0 4 x3 0 x1 y 1 0 0 x 2 x3 19 u 1 s 1 y x2 2 .x1 s3 1 x1 .u s 1 x2 s.x1 x1 u s.x 2 3x 2 2.x1 X2 X1 2 s3 y x1 x1 u x 2 2 x1 3 x 2 y x2 x1 x2 1 0 x1 1 u 2 3 x2 0 x1 y 0 1 x2 20 u y 2 s2 14s 3 y x1 x1 x2 y Pers. Diferensial sistem: X1 ( s 2 4 s 3)Y ( s ) 2.u ( s ) d2 d y ( t ) 4 y (t ) 3 y (t ) 2.u (t ) 2 dt dt dalam bentuk persamaan keadaan: x1 x2 1 x1 0 0 u 3 4 x2 2 x y 1 0 1 x2 21 X2 u1 3 s5 m + 1 s 1 x1= y y x1 x1 1 ( x 2 x3) s 1 + 2 s3 u2 s x1 x1 x 2 x3 x1 x1 x2 x3 X3 2 x3 .u2 s3 s.x3 3 x3 2 u2 x3 3 x3 2 u2 3 u1 s5 sx2 5 x2 3 u1 x2 5 x2 3u1 x2 22 1 x1 0 0 0 u1 x1 1 1 x 0 5 0 x 2 3 0 0 2 u2 x 0 0 3 x3 0 2 0 0 3 x1 y 1 0 0 x 2 x3 23 syms s t a=[-1 1 1;0 -5 0;0 0 -3] b=[0 0 0;3 0 0;0 2 0] c=[1 0 0] u(1)=laplace(diff(t)) u(2)=laplace(diff(2*t)) u=[u(1);u(2);0] w=s*eye(3)-a wi=inv(w) x=wi*b*u xt=ilaplace(x) x1=x(1) x2=x(2) x3=x(3) yt=x(1) pretty(yt) 24 Controllability dan observability sistem pengaturan Controllability sistem pengaturan • Sistem disebut controlable jika utk semua input u(t) maka semua state dapat dialihkan berdasarkan input tsb. observability sistem pengaturan • Pd sistem yg observable maka semua state dpt diketahui keadaannya (‘’dpt diukur ’’) G0 Sistem dgn 4 diagram sub-sistem: G0 =unobservable & uncontrollable G1 G2 G1 = controllable & unobservable G2 =controllable & observable G3 = uncontrollable & observable U(t) G3 25
© Copyright 2024 Paperzz
