Matakuliah Tahun : K0594 – Kalkulus II : 2008/2009 Jenis dan Operasi Matriks Pertemuan 1 Pengertian Matriks : merupakan suatu alat atau sarana yang sangat ampuh untuk menyelesaikan model-model linear. Definisi : Matriks adalah susunan empat persegi panjang atau bujur sangkar dari bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan kolom ditulis antara dua tanda kurung, yaitu ( ) atau [ ] Bentuk Umum : a11 a 21 .. aml Bina Nusantara a12 a13 a22 a23 .. .. am 2 am 3 .. a1n .. a2 n .. .. .. amn Elemen matriks : disebut juga unsur aij Susunan bilangan atau fungsi aij Ukuran matriks : • Jumlah baris : m • Jumlah kolom : n • Ordo atau ukuran matriks : m x n • Elemen-elemen diagonal : a11, a22,…., ann Bina Nusantara Contoh : Matriks 2 3 5 6 A3x4 =0 1 4 7 3 1 2 6 Notasi matriks, menggunakan huruf besar (kapital) Bina Nusantara Kesamaan Matriks Matriks A= (aij) B= (bij) A = B jika aij = bij untuk semua I = 1, 2 . . M dan j = 1, 2, ….n Contoh : 1 2 1 2 1 2 0 A B C 3 4 3 4 3 4 1 A=B A ‡ C (ukurannya tidak sama) Matriks A dan Matriks B disebut sama, bila • Ordo-ordonya sama • Semua elemen-elemen yang seletak sama Bina Nusantara Macam – macam Matriks Matriks bujur sangkar Suatu matriks dimana jumlah baris = jumlah kolom a11 a12 a a22 A 21 .. .. an1 an 2 .. a1n .. a2 n .. .. .. ann A : matriks bujur sangkar berukuran n x n Diagonal utama A : a11, a22,…, ann 4 3 Contoh : A2x2 = 2 1 Bina Nusantara , A3x3 = 5 3 2 1 4 6 7 2 5 Matriks Diagonal Matriks bujur sangkar dimana elemen-elemen pada diagonal utamanya tidak semua elemennya nol, sedangkan unsur-unsur yang lain adalah nol Contoh : 5 0 0 2 0 0 0 2 0, 0 0 0 0 0 3 0 0 0 Bina Nusantara Matriks Satuan ( Matriks Identitas) : Matriks bujur sangkar dimana elemen-elemen pada diagonal utamanya masing-masing adalah satu, sedangkan elemen-elemen yang lain adalah nol. 1 0 0 1 0 0 1 0 Contoh : I 2 , I 0 1 3 0 0 1 Matriks Singular Matriks bujur sangkar yang tidak mempunyai invers (berarti : determinannya = 0) Bina Nusantara Matriks Non Singular Matriks bujur sangkar yang mempunyai invers (berarti : determinannya ‡ 0) Matriks Simetris Matriks bujur sangkar di mana diagonal utamanya berfungsi sebagai cermin atau refleksi (At=A) Contoh : A3x3 : Bina Nusantara 5 1 6 1 7 4 6 4 3 Matriks Idempotent Matriks bujur sangkar di mana berlaku A2 = A atau An = A , bila n=2,3,4,… Contoh : A = 2 2 4 1 3 4 1 2 3 2 2 4 2 2 4 2 2 4 A2 A. A 1 3 4 1 3 4 1 3 4 A 1 2 3 1 2 3 1 2 3 Program MAPLEnya : # A= Matriks Idempotent, sehingga A2 = A > Restart : Bina Nusantara > A:=matrix ([[2,-2,-4],[-1,3,4],[1,-2,-3]]); 2 A:= 2 4 1 1 3 4 2 3 > C:=evalm(A&*A); 2 2 4 1 3 C:= 1 3 4 Bina Nusantara 2 Matriks Nilpotent Matriks bujur sangkar di mana berlaku A3 = 0 atau An = 0 , bila n = 2,3,4,… Contoh : Matriks nilpotent dari ordo 3x3 1 3 1 A 5 2 6 2 1 3 1 5 A3=A·A·A= 2 Bina Nusantara 3 1 2 6 5 1 3 2 1 3 1 2 6 5 1 3 2 1 3 0 2 6 0 1 3 0 1 0 0 0 0 0 0 0 Program MAPLEnya : # Matriks Nilpotent, sehingga > Restart: > A:=matrix ([[1,1,3],[5,2,6],[-2,-1,-3]]) 1 1 3 A:= 5 2 6 2 1 3 > evalm(A&*A*A); 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Matriks Nol : adalah matriks di mana semua unsur nol = 0 Bina Nusantara Matriks Identitas : 1 I2x2 0 1 I 3 x 3 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 Sifat matriks identitas dan Matrik nol Jika A = matriks berukuran n x n I·A=A·I=A A+0=0+A=A A·0=0·A=0 Bina Nusantara Matriks Segitiga (Triangular matrix) Matriks segitiga atas : Matriks bujur sangkar, apabila setiap unsur yang terletak di bawah diagonal utamanya sama dengan nol Contoh A : 3 x3 a11 a12 0 a22 0 0 a13 a23 a33 Matriks bujur sangkar bila setiap unsurnya yang terletak di atas diagonal utamanya sama dengan nol Contoh B : 3 x3 Bina Nusantara 0 b11 0 b21 b22 0 b31 b32 b33 Operasi Aljabar Matriks Penjumlahan dua matriks A + B = (aij + aij) Syarat penjumlahan dua matriks atau pengurangan dua matriks adalah mempunyai ordo yang sama Contoh : DiketahuiA2 x 3 5 6 7 8 3 4 B2 x 3 6 7 4 dan 1 9 2 Maka C2x3 = A2x3 + B2x3 Bina Nusantara 5 6 7 6 7 4 11 13 11 C2x3 = 8 3 4 1 9 2 9 12 6 Program MAPLEnya : # Penjualan Dua Matriks > restart > A:=matrix([[5,6,7],[8,3,4]]) 5 6 7 A:= 8 3 4 > A:=matrix(2,3,[5,6,7,8,3,4]) 5 A:= 8 Bina Nusantara 6 7 3 4 > B:=matrix(2,3,[6,7,4,1,9,2 ]); 6 7 4 B:= 1 9 2 > C:=evalm(A+B); 11 C:= 9 Bina Nusantara 13 11 12 6 Soal Latihan : Tentukan Penjumlahan Dua Matriks di bawah ini! 1 1. A 2 3 2. A 4 5 7 4 3 6 9 1 Dan B 2 3 4 1 0 2 Dan , maka A + B = B 2 1 3 3. A 2 1 3 Dan B 2 2 1 4 3 1 4. A 2 1 0 1 2 3 Dan B 1 1 0 Bina Nusantara , maka A + B = , maka A + B = , maka 2A + 2B = 3 1 2 4 5. ........ 2 2 3 1 1 0 0 3 1 1 2 0 ...... 6. 5 3 6 7 2 5 3 4 7. 1 2 1 1 ....... 3 4 1 1 Bina Nusantara Perkalian Bilangan Skalar dengan Suatu Matriks Masing-masing elemen matriks tersebut dikalikan dengan bilangan scalar. Misalkan bilangan scalar k = 3, dan 2 3 1 Matriks A2x3 = 4 5 6 Maka B2x3 = k * A2x3 2 3 1 6 9 3 B2x3 =3 * 4 5 6 12 15 18 Bina Nusantara Program MAPLEnya : # Perkalian Bilangan Skalar dengan suatu Matriks > restart > A:=matrix([[2,3,1],[4,5,6]]) 2 A:= 4 3 1 5 6 > C:=evalm(3*A); 6 9 3 C:= 12 Bina Nusantara 15 18 Soal Latihan : Tentukan perkalian bilangan skalar dengan suatu matriks di bawah ini ! 4 3 7 1. A 3 0 1 , maka i) 3A = ii) -1/2A = 1 2 3 2. A 2 1 4 1 1 2 2 1 3 Dan B 1 1 5 0 0 1 , maka 2A + 5B = Bina Nusantara Perkalian Dua Matriks Perkalian 2 matriks A : matriks berukuran m x k B : matriks berukuran k x n A.B = Am x k * Bk x n = A Bm x n Syarat perkalian matriks Jika matriks A berukuran m x n dan B berukuran p x q maka : Parkalian matriks AB berordo m x q bisa dibentuk hanya jika n=p Perkalian matriks BA berordo p x n bisa dibentuk hanya jika q=m Bina Nusantara AB tidak selalu sama dengan BA (walaupun m = n = p = q) Syarat : Setiap baris pada matriks harus dikalikan pada setiap kolom pada matriks kedua Banyaknya kolom pada matriks pertama harus sama dengan banyaknya baris pada matriks kedua Contoh : 7 2 1 3 2 1 4 A2x3 = dan B = 3x2 4 0 5 6 3 Bina Nusantara Maka C2x2 = A2x3 * B3x2 C2 x 2 C2 x 2 C2 x 2 C2 x 2 Bina Nusantara 7 2 1 3 2 * 1 4 4 0 5 6 3 1x7 3 x1 2 x6 1x 2 3 x 4 2 x3 4 x 7 0 x 1 5 x 6 4 x 2 0 x 4 5 x 3 7 3 12 2 12 6 28 0 30 8 0 15 22 20 58 23 Program MAPLEnya : # Perkalian Dua Mtriks > restart > A:=matrix(2,3,[1,3,2,4,0,5]) 1 A:= 4 3 2 0 5 > B:=matrix(3,2,[7,2,1,4,6,3]); 7 2 B:= 1 6 Bina Nusantara 4 3 > C:=evalm(A&*B) 22 C:= 58 Bina Nusantara 20 23 Soal Latihan : Tentukan Perkalian suatu Matriks dengan Suatu Matriks di bawah ini ! 1 1 1 2 1 3 1. A 2 3 , B dan C 1 4 4 2 4 0 maka : i) A · B = ii) (A · B) · C = iii) B · C = iV) A · (B · C) = Bina Nusantara 3 2 1 4 2 1 1 2. A , B 1 3 dan C 2 1 1 0 1 0 1 3 2 maka : i) B+C= ii) A · (B + C) = iii) A · B = iV) A · C = V) A · B + A · C = 2 1 1 1 0 1 A , B 3. , dan C 4 2 1 0 3 0 maka : i) A·B= ii) A · C = Bina Nusantara Sifat – sifat Operasi Matriks A + B = B + A (sifat komulatif) A + (B + C) = (A + B) + C (sifat asosiatif) k (A + B) = kA + kB, k= sembarang bilangan A (B + C) = AB + AC (sifat distributif) (A + B)C = AC + BC (sifat distributif) A (B C) = (A B) C (sifat asosiatif) Pada umumnya AB ‡ BA AB = 0 tidak berakibat A = 0 atau B = 0 AB = AC tidak berakibat B = C Bina Nusantara
© Copyright 2024 Paperzz
