Course Content Template
Matematika Diskrit
Type:ACADEMIC COURSE
Code: K0144
Product Development Center, Bina Nusantara
DC-PDC-4
Ver. 1.0 27/01/03 10:01
Table of Content
Table of Content ............................................................................................................................................................. 1
Course Content ............................................................................................................................................................... 2
5.4. Poset (Partially Ordered Set)........................................................................................................................... 2
5.5 Lattice................................................................................................................................................................ 4
Activity ............................................................................................................................................................................. 7
Quiz/Exam/Self-Assess .......................................................................................................................................... 7
Assignment ............................................................................................................................................................. 7
Course Content
1
Part
POSET
POKOK BAHASAN:
METODE BELAJAR: Untuk memahami materi yang ada pada modul ini silahkan baca dan pahami
setiap konsep matematika yang tertulis, kemudian pahami dan dimengerti contoh-contoh yang
disediakan. Pada modul ini untuk setiap contoh ada penjelasan contoh, usahakan anda pahami contoh
(tanpa melihat penjelasan contoh) dan coba menjelaskan sendiri contoh-contoh tersebut, kemudian
cocokkan penjelasan anda dengan penjelasan contoh yang disediakan. Apabila anda sudah mengerti
cobalah membuat sendiri satu atau dua contoh. Bila anda sudah merasa menguasai modul ini coba
masuk ke assignment dan kuis yang disediakan. Selamat Belajar.
5.1. Poset (Partially Ordered Set).
Disamping relasi ekivalen yang sudah dijelaskan terdapat suatu relasi yang memiliki sifat-sifat khusus
yang akan kita bahas yaitu relasi terurut sebagian.
POSET : Suatu relasi biner R pada himpunan S (R : S S) dikatakan partially order (terurut sebagian)
jika relasi tersebut bersifat reflektif, anti simetri dan transitif. Himpunan S bersama relasi R disebut
poset. Jadi (S,R) poset jika relasi R pada S reflektif, anti simetri dan transitif.
CONTOH :
Relasi 'kurang dari atau sama dengan', relasi lebih dari atau sama dengan, dan relasi habis membagi
pada himpunan bilangan bulat merupakan relasi yang terurut sebagian (partially ordered). Sehingga
kita mempunyai poset-poset : (Z,), (Z,) dan (Z,). Secara umum notasi poset ditulis (S, ), relasi
untuk mewakili semua relasi partially ordered.? Dapat dibuktikan bahwa relasi-relasi , , merupakan
relasi yang bersifat reflektif, anti simetri dan transitif.
HUBUNGAN ANTAR ELEMEN PADA POSET : Beberapa istilah yang sering dipakai untuk
menyatakan hubungan antara elemen-elemen pada poset adalah: mendahului (precedes) langsung
mendahului didahului dan langsung didahului.
1
1
2
3
4
6
8
9
12
18
24
2
3
4
6
8
9
12 18 24
√ √ √ √ √ √ √ √ √ √
√
√ √ √
√
√
√
√ √ √
√ √ √ √
√
√
√
√
√ √ √
√
√
√
√
√
√
√
√
Diagram Hasse dari tabel diatas adalah:
PENJELASAN GAMBAR : Unsur yang letaknya
'dibawah' unsur lain yang terhubung oleh garis
menunjukkan unsur tersebut unsur lain.
24
8
12
18
4
6
CONTOH : Unsur 2 6, unsur 2 12, tetapi
unsur 2 ≰ 9 dan unsur 6 ≰8.
9
2
3
1
KONSEP-KONSEP DI DALAM POSET: Beberapa konsep atau istilah matematika yang terkait dengan
poset adalah: Upper Bound (ub) atau batas atas, supremum atau least upper bound (lub) atau batas
atas terkecil, lower bound (lb) atau batas bawah, infimum atau great lower bound (glb) atau batas
bawah terbesar.
Bila kita memakai notasi (S, ) sebagai notasi general dari poset maka konsep-konsep atau istilahistilah tersebut dapat didefinisikan sebagai berikut:
UPPER BOUND : Misalkan (S, ) poset, H S, unsur
himpunan H bila h untuk setiap h H.
S adalah upper bound atau batas atas dari
LOWER BOUND : Bila (S, ) poset, himpunan K S, unsur
bawah dari himpunan K bila
S adalah lower bound atau batas
k untuk setiap k K.
SUPREMUM : Bila (S, ) poset, H S, S adalah supremum himpunan H jika batas atas terkecil
(least upper bound = lub) dari H, atau dengan kata lain : batas atas H, dan tidak ada batas atas
lain H sehingga .
INFIMUM : Bila (S, ) poset, himpunan K S, S adalah infimum himpunan K jika batas bawah
terbesar (greatest lower bound = glb) dari K, atau dengan kata lain : batas bawah K, dan tidak ada
batas bawah lain K sehingga .
CONTOH : Misalkan poset S = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24} dengan relasi 'habis membagi' maka
diagram Hasse dari poset tersebut adalah:
24
8
12
4
18
6
9
2
3
1
1) Bila H = {3, 6} maka 18 batas atas H, 12 batas atas H dan 24 batas atas H.
Supremum H adalah 12 dan 18.
2) Bila K = {8, 12} maka batas bawah K adalah: 4, 2, dan 1. Infimum K adalah 4.
PENJELASAN CONTOH :
1). Bila notasi 'habis membagi' pada poset S digunakan notasi umum partially ordered yaitu 'kurang
dari', maka dari gambar Diagram Hasse terlihat bahwa seluruh elemen H yaitu 3, 6 12 jadi 12 batas
atas H, seluruh elemen H yaitu 3, 6 18 jadi 18 batas atas H, seluruh elemen H yaitu 3, 6 24 jadi
24 batas atas H. Unsur 12 supremum H sebab tidak ada batas atas lain yang kurang dari 12, 18
supremum H sebab tidak ada batas atas lain yang kurang dari H, tetapi 24 bukan supremum H sebab
ada batas atas lain yaitu 12 24.
2).Bila notasi 'habis membagi' pada poset S digunakan notasi umum partially ordered yaitu , maka
dari gambar Diagram Hasse terlihat bahwa seluruh elemen K yaitu 8 dan 12 berlaku relasi 1 2
4 8, 12. Jadi 1, 2 dan 4 batas bawah K dan 4 batas bawah terbesar (infimum) K, tetapi 1 dan 2
bukan batas atas terbesar sebab ada batas atas lain yang lebih besar yaitu 4.
5.2 Lattice.
Setelah anda memahami partially ordered set (poset) maka anda bisa melanjutkan untuk memahami
lattice. Lattice adalah suatu poset yang mempunyai sifat khusus, jadi lattice sebenarnya adalah poset
tetapi poset belum tentu lattice.
LATTICE : Suatu poset (S, ) sehingga setiap dua unsur S mempunyai lub (least upper bound =
supremum) dan glb (greatest lower baund = infimum) yang tunggal disebut lattice. Pada contoh
himpunan S = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24} dengan relasi 'habis membagi' maka poset ini bukan lattice
sebab ada {3, 6} yang memiliki dua lub yaitu 12 dan 18. Latiice S dengan relasi lub dan glb dapat
dipandang sebagai suatu sistem (S, , ) dengan = relasi lub dan = relasi glb pada setiap dua
unsur pada S.
a b = lub {a,b} dan a b = glb {a,b}
CONTOH :
1) Poset yang digambarkan oleh diagram Hasse berikut bukan lattice.
8
8
e
c
f
d
b
a
Poset yang digambarkan oleh diagram Hasse berikut lattice.
a
b
d
c
e
f
g
PENJELASAN CONTOH :
1) Pada contoh 1 ada dua unsur yaitu a, b yang mempunyai dua lub, yaitu c dan d.
2) Pada contoh dua setiap dua unsur pada S mempunyai lub dan glb tunggal.
SIFAT-SIFAT LATTICE : Laticce (S, , ) mempunyai sifat-sifat komutatif, asosiatif, absorbsi, dan
idempoten.
Komutatif
a b = b a dan a b = b a
Asosiatif
(a b) c = a (b c) dan (a b) c = a (b c)
Absorbsi
a (a b) = a dan a (a b) = a
Idempoten
a a = a dan a a = a
TEOREMA-TEOREMA LATTICE:
1. a b a b a a b b
a b a c
2. b c
a b a c
a b
3.
a bc
a c
a b
a bc
a c
a c
ab c
b c
a c
ab c
b c
4. a b c a b a c
a b c a b a c
5. a c a b c a b c
6. Dualisme : dual suatu teori merupakan teori juga
MACAM-MACAM LATTICES :
bounded lattices
distributive lattices
complemented lattices
Activity
2
Part
Quiz/Exam/Self-Assess
Assignment
1.Tentukan apakah himpunan-himpunan berikut merupakan fungsi dari A = {1, 2, 3} ke B = {1,2},
jelaskan jawaban anda.
F1 = {(1,1), (2,1), (3,1), (2,2)}
F2 = {(1,1), (2,2), 3,1)}
2.
Bila A = [1,5] dan B = [-5, -1], tentukan
= fungsi ?
© Copyright 2024 Paperzz
