Matakuliah
Tahun
: K0054 / Geometri Terapan I
: 2007
Persamaan Bola, Bidang Singgung Pada Bola,
dan Kuasa Titik
Pertemuan 16
Bina Nusantara
Sasaran
Pengkajian tentang
Persamaan Bola, Bidang Singgung Pada
Bola, dan Kuasa Titik
Bina Nusantara
Pokok Bahasan
Persamaan Bola, Bidang Singgung Pada Bola,
dan Kuasa Titik
Bina Nusantara
Bola adalah himpunan (tempat kedudukan)
dari titik-titik dalam ruang yang jaraknya
terhadap titk tertentu adalah tetap. Titik
tertentu tersebut disebut pusat bola dan jarak
yang tetap tersebut disebut jari-jari bola.
Bina Nusantara
Persamaan bola dengan pusat
 ,  ,  dan
jari-jari
R adalah
berbentuk :
x   2   y   2  z   2
 R2 ,
dan khususnya bila pusat bola adalah titik O (0, 0, 0) maka
persamaan bola menjadi :
x2  y2  z2  R2.
Penurunan persamaan-persamaan tersebut sangat mudah, yaitu
berdasarkan rumus jarak antara dua titik dalam ruang.
Bina Nusantara
Sekarang kita pandang persamaan yang berbentuk
:
x 2  y 2  z 2  Ax  By  Cz  D  0 .
2
2
2
Dapat diperlihatkan bahwa bila 4  A  B  C   D  0 maka persamaan
1

C
A
B
tersebut adalah persamaan suatu bola dengan pusat  2 ,  2 ,  2
dan jari-jari
1 2 1 2 1 2

 A  B  C  D
4
4
4

1
2
, bila


1 2
A  B2  C 2  D  0
4

maka
persamaan tersebut adalah persamaan bola titik dengan pusat yang


1
A2  B 2  C 2  D  0
sama, dan bila 4
maka persamaan tersebut adalah
bukan persamaan bola.
Bina Nusantara
2
2
2
Diketahui bola B dengan persamaan x  y  z  AX  BY  CZ  D  0
dan titik Px P , y P , z P  yang terletak pada bola
B . Dapat
diperlihatkan bahwa persamaan bidang singgung yang melalui titik
PxP , y P , z P  terhadap bola B adalah berbentuk:
1
1
1
x P x  y P y  z P z  Ax  x P   B y  y P   C z  z P   D  0,
2
2
2
dan khususnya bila titik P berimpit dengan titik 0 maka
1
1
1
Ax

By

Cz  D  0.
persamaan bidang singgung menjadi : 2
2
2
Bina Nusantara
Mengingat titik
terletak pada bola
P
persamaan-persamaan
sebenarnya
juga
bidang
merupakan
singgung
tersebut
persamaan-persamaan
bidang kutub dari titik P terhadap bola B .
Bina Nusantara
B , maka
Bila titik P tidak terletak pada bola B , maka persamaan di atas
tetap merupakan persamaan bidang kutub dari titik
P
bola B .
Sekarang bila diketahui bola B dengan persamaan
x      y     z   
2
dan titik
Bina Nusantara
2
2
:
 R2
PxP , y P , z P  yang terletak pada bola
B.
terhadap
Dapat diperlihatkan bahwa persamaan bidang singgung yang
melalui titik
Px P , y P , z P 
terhadap bola B adalah berbentuk:
xP x   yP   y     zP  z    R2 ,
dan khususnya bila titik
P
berimpit dengan titik 0 maka
persamaan bidang singgung menjadi :
x      y      z     R2  0.
Bina Nusantara
Mengingat titik P pada bola B , maka persamaan-persamaan
bidang
singgung
tersebut
sebenarnya
juga
merupakan
persamaan-persamaan bidang kutub dari titik P terhadap bola
B . Bila titik P tidak terletak pada bola B , maka persamaan
di atas tetap merupakan persamaan bidang kutub dari titik P
terhadap bola B .
Bina Nusantara
Diketahui titik
PxP , y P , z P 
dan bola B dengan persamaan
:
x 2  y 2  z 2  Ax  By  Cz  D  0.
Yang dimaksud dengan kuasa atau pangkat titik P terhadap bola B adalah nilai
dari :
x P  y P  z P  Ax p  By p  Cz p  D atau
2
2
2
Nilai dari ruas kiri persamaan di atas setelah x, y, z berturut-turut diganti
dengan
Bina Nusantara
xP , y P , z P .
Perlu diperhatikan bahwa definisi kuasa titik P terhadap bola B
tersebut tidak harus memperhatikan letak titik P terhadap bola
B , atau jelasnya titik P tidak harus terletak di luar bola B .
Bina Nusantara
Berdasar pada definisi kuasa titik terhadap bola dan rumus jarak antara
dua titik , maka kita dapat menurunkan sifat-sifat ini, yaitu :
1) Kuasa titik P terhadap bola B bernilai positif bila dan hanya bila
titik P terletak di luar bola B .
2) Kuasa titik P terhadap bola
B bernilai nol bila dan hanya bila titik
P terletak pada bola B .
3) Kuasa titik
titik
Bina Nusantara
P
P terhadap bola B bernilai negatif bila dan hanya bila
terletak di dalam bola B .
Sebagai kejadian yang sangat khusus, bila bola B persamaannya
2
2
2
2
x

y

z

R
berbentuk
dan titik P koordinatnya adalah
PxP , y P , z P 
maka persamaan bidang kutub dari titik
P
2
x
x

y
y

z
z

R
, dan untuk
terhadap bola B berbentuk P
P
P
titik
P
yang terletak pada bola B persamaan tersebut juga
merupakan persamaan bidang singgung dari titik
terhadap bola B .
Bina Nusantara
P

download

download

download soal

download soal

download soal

download

download soal

download soal

download soal