Matakuliah Tahun : K0054 / Geometri Terapan I : 2007 Persamaan Bola, Bidang Singgung Pada Bola, dan Kuasa Titik Pertemuan 16 Bina Nusantara Sasaran Pengkajian tentang Persamaan Bola, Bidang Singgung Pada Bola, dan Kuasa Titik Bina Nusantara Pokok Bahasan Persamaan Bola, Bidang Singgung Pada Bola, dan Kuasa Titik Bina Nusantara Bola adalah himpunan (tempat kedudukan) dari titik-titik dalam ruang yang jaraknya terhadap titk tertentu adalah tetap. Titik tertentu tersebut disebut pusat bola dan jarak yang tetap tersebut disebut jari-jari bola. Bina Nusantara Persamaan bola dengan pusat , , dan jari-jari R adalah berbentuk : x 2 y 2 z 2 R2 , dan khususnya bila pusat bola adalah titik O (0, 0, 0) maka persamaan bola menjadi : x2 y2 z2 R2. Penurunan persamaan-persamaan tersebut sangat mudah, yaitu berdasarkan rumus jarak antara dua titik dalam ruang. Bina Nusantara Sekarang kita pandang persamaan yang berbentuk : x 2 y 2 z 2 Ax By Cz D 0 . 2 2 2 Dapat diperlihatkan bahwa bila 4 A B C D 0 maka persamaan 1 C A B tersebut adalah persamaan suatu bola dengan pusat 2 , 2 , 2 dan jari-jari 1 2 1 2 1 2 A B C D 4 4 4 1 2 , bila 1 2 A B2 C 2 D 0 4 maka persamaan tersebut adalah persamaan bola titik dengan pusat yang 1 A2 B 2 C 2 D 0 sama, dan bila 4 maka persamaan tersebut adalah bukan persamaan bola. Bina Nusantara 2 2 2 Diketahui bola B dengan persamaan x y z AX BY CZ D 0 dan titik Px P , y P , z P yang terletak pada bola B . Dapat diperlihatkan bahwa persamaan bidang singgung yang melalui titik PxP , y P , z P terhadap bola B adalah berbentuk: 1 1 1 x P x y P y z P z Ax x P B y y P C z z P D 0, 2 2 2 dan khususnya bila titik P berimpit dengan titik 0 maka 1 1 1 Ax By Cz D 0. persamaan bidang singgung menjadi : 2 2 2 Bina Nusantara Mengingat titik terletak pada bola P persamaan-persamaan sebenarnya juga bidang merupakan singgung tersebut persamaan-persamaan bidang kutub dari titik P terhadap bola B . Bina Nusantara B , maka Bila titik P tidak terletak pada bola B , maka persamaan di atas tetap merupakan persamaan bidang kutub dari titik P bola B . Sekarang bila diketahui bola B dengan persamaan x y z 2 dan titik Bina Nusantara 2 2 : R2 PxP , y P , z P yang terletak pada bola B. terhadap Dapat diperlihatkan bahwa persamaan bidang singgung yang melalui titik Px P , y P , z P terhadap bola B adalah berbentuk: xP x yP y zP z R2 , dan khususnya bila titik P berimpit dengan titik 0 maka persamaan bidang singgung menjadi : x y z R2 0. Bina Nusantara Mengingat titik P pada bola B , maka persamaan-persamaan bidang singgung tersebut sebenarnya juga merupakan persamaan-persamaan bidang kutub dari titik P terhadap bola B . Bila titik P tidak terletak pada bola B , maka persamaan di atas tetap merupakan persamaan bidang kutub dari titik P terhadap bola B . Bina Nusantara Diketahui titik PxP , y P , z P dan bola B dengan persamaan : x 2 y 2 z 2 Ax By Cz D 0. Yang dimaksud dengan kuasa atau pangkat titik P terhadap bola B adalah nilai dari : x P y P z P Ax p By p Cz p D atau 2 2 2 Nilai dari ruas kiri persamaan di atas setelah x, y, z berturut-turut diganti dengan Bina Nusantara xP , y P , z P . Perlu diperhatikan bahwa definisi kuasa titik P terhadap bola B tersebut tidak harus memperhatikan letak titik P terhadap bola B , atau jelasnya titik P tidak harus terletak di luar bola B . Bina Nusantara Berdasar pada definisi kuasa titik terhadap bola dan rumus jarak antara dua titik , maka kita dapat menurunkan sifat-sifat ini, yaitu : 1) Kuasa titik P terhadap bola B bernilai positif bila dan hanya bila titik P terletak di luar bola B . 2) Kuasa titik P terhadap bola B bernilai nol bila dan hanya bila titik P terletak pada bola B . 3) Kuasa titik titik Bina Nusantara P P terhadap bola B bernilai negatif bila dan hanya bila terletak di dalam bola B . Sebagai kejadian yang sangat khusus, bila bola B persamaannya 2 2 2 2 x y z R berbentuk dan titik P koordinatnya adalah PxP , y P , z P maka persamaan bidang kutub dari titik P 2 x x y y z z R , dan untuk terhadap bola B berbentuk P P P titik P yang terletak pada bola B persamaan tersebut juga merupakan persamaan bidang singgung dari titik terhadap bola B . Bina Nusantara P
© Copyright 2024 Paperzz