Matakuliah : J0174/Matematika I
Tahun
: 2008
Maksimum dan Minimun ( Titik Ekstrim )
Pertemuan 18
Garis Singgung
Koefisien arah garis singgung (slope) suatu kurva di suatu titik adalah sama
dengan turunan pertama fungsi itu di titik tersebut.
Jika y = f(x) suatu lengkung maka koefisien garis singgung pada y = f(x) di
titik x =x1 dengan persamaan garis singgung :
‘y – y1 = m (x – x1)
Bina Nusantara
Contoh:
Tentukan persamaan garis singgung pada lengkungan y = x3 di titik P( 2, 8)
Jawab:
Y = x3 maka y’ = 3x2, m=f’(2)= 3(2)2 = 12
Maka persamaan garis singgungnya adalah
Y – 8 = 12(x – 2)
Y - 8 = 12x – 24
Y
= 12x – 16
Catatan:
Jika y’ < 0 maka garis singgung bergerak turun dari kiri atas ke kanan bawah
(slope negatif)
Jika y’ > 0 maka garis singgung bergerak dari kiri bawah ke kanan atas.
Bina Nusantara
Maksimum dan Minimum Relatif/Lokal
Suatu fungsi y = f(x) dikatakan mempunyai maksimum/minimum
relatif/lokal pada x = a, jika f(a) lebih besar/kecil daripada nilai f(x)
yang lain, untuk x yang berada pada interval di sekitar a
Bina Nusantara
Menentukan Nilai Ekstrim dengan Turunan Pertama dan
Kedua (1)
Y = f (x)
Syarat ekstrim: f’ (x) = 0 x = a
Jika f” (a) < 0 f(a) adalah nilai maksimum dari f (x)
Jika f” (a) > 0 f(a) adalah nilai minimum dari f(x)
Jika f”(a) = 0 f(x) di titik x = a adalah titik belok
Catatan:
Titik belok merupakan titik batas perubahan (cekung ke cembung atau
sebaliknya) dari lengkung kurva sebelum titik dengan lengkung kurva
sesudah titik. Lengkung cembung bila f” < 0 dan lengkung cekung
bila f” > 0.
Bina Nusantara
Menentukan Nilai Ekstrim dengan Turunan Pertama
dan Kedua (2)
Contoh:
Tentukan titik ekstrim dari kurva
Y = 2x3 + 3x2 – 72x
Jawab :
Y = 2x3 + 3x2 – 72x
Y’ = 6 x2 +6x – 72
Titik ekstrim adalah apabila y’ = 0
6 x2 +6x – 72 = 0
dengan menggunakan rumus abc didapat diperoleh nilai x1 = -4 dan x2 = 3
Untuk mengetahui kedua titik tersebut maksimum dan minimum digunakan
nilai y” di titik-titik tersebut. Y” = 12x – 6
Untuk x = -4, y” = -42 karena –42 < 0 maka titik tersebut merupakan nilai
maksimum dengan harga y maksimum 2(-4)3 + 3(-4)2 – 72(-4) = 208. {(-4 , 208)}
Bina Nusantara
Menentukan Nilai Ekstrim dengan Turunan Pertama
dan Kedua (3)
Untuk x = 3, y” = 30 karena 30 > 0 maka titik tersebut merupakan minimum.
Harga y minimumnya –135. {(3 , -135)}
Titik Belok
Titik belok kita peroleh dari turuna kedua y”.
Y” = 12x – 6 = 0
Maka
12x = 6
X = ½ dengan nilai y = 0 {(1/2 , 0)}
Dicek nilai-nilai pada titik sebelum x = ½
Untuk x = 1 maka y “ = 6 dan untuk x = 0 , maka y” = -6. Terdapat perubahan
nilai y” dari positip menjadi negatif maka koordinat (1/2,0) merupakan titik
belok.
Bina Nusantara
Grafik
Titik Maksimum
Bina Nusantara
© Copyright 2024 Paperzz
