Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
BÖLÜM 5
Eğri Uydurma
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Bölüm 5: Eğri Uydurma
Giriş
En Küçük Kareler Regresyonu
Lineer Regresyon Yöntemi
Polinom Regresyon Yöntemi
Çoklu Regresyon
İnterpolasyon
Lineer İnterpolasyon (Ara Değer Bulma)
Kuadratik İnterpolasyon
Newton İnterpolasyon Polinomunun Genel Formu
Lagrange İnterpolasyonu
Mühendislik Uygulaması Örneği
Giriş
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
 Veriler, genellikle sürekli bir ortam boyunca ayrık değerler şeklinde elde edilir.
 Ancak, bazen bu ayrık noktalar arasındaki değerlerin bilinmesi istenebilir.
 Böyle durumlarda, bu ayrık veri değerlerine bir eğri uydurularak ara değerler tahmin
edilmeye çalışılır.
 Bu bölümde, bu tür ayrık verilere eğri uydurma yöntemleri ele alınacaktır.
 Eğri uydurma işlemi için temelde iki tip yaklaşım vardır:
1. Yaklaşım: Özellikle karmaşık ve hassas olmayan veri gruplarına bu yaklaşım uygulanır.
Amaç , verilerin genel eğilimini belirlemektir. Bu nedenle, uydurulan
eğrinin ayrık verilerin her birinden geçmesi söz konusu değildir ve veri
değerleri ile uydurulan eğri arasında çok büyük farklıklar olabilir. Bu tip
yaklaşımlara regresyon adı verilir.
2. Yaklaşım: Verilerin çok hassas olarak belirlenmiş olduğunun bilindiği durumlarda
uygulanır. Bu nedenle, amaç ayrık veri değerlerinin her birinden geçen bir
eğri uydurmaktır. Bu tür veriler gennellikle tablolardan oluşur
(termodinamik tabloları gibi). İyi bilinen bu ayrık noktalar arasındaki
değerlerin tahmin edilmesi için uygulanan bu yaklaşıma interpolasyon adı
verilir.
Giriş
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
regresyon
interpolasyon
Giriş : Basit İstatistiki Bilgiler
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Aritmetik Ortalama
Standart Sapma
Varyans
Varyasyon Katsayısı
En Küçük Kareler Regresyonu
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
 Verilerde önemli hatalar olduğunda, interpolasyon ara
değerleri tahmin etmek için kullanıldığında tatmin edici
sonuçlar vermez.
 Örneğin, önemli oranda değişiklik gösteren Şekil 5.1’deki
deneysel verileri ele alalım.
 Eğer (6. derece) bir interpolasyon polinomu bu verilere
uydurulursa, eğri bütün noktalardan geçecektir (Şekil 5.1b).
 Ancak, verilerdeki değişkenlikler nedeni ile,eğri, aralık
içerisindeki noktalar arasında büyük salınımlar gösterir ve
bazı x değerleri için veri aralığının oldukça dışında y değerleri
tahmini yapacaktır.
 Bu tür durumlar için çok daha uygun strateji, her bir noktaya
uyması gerekmeksizin, verilerin genel eğilimine uyan bir eğri
uyumlamaktır (regrasyon).
 Veri noktaları ile eğri arasındaki farkın (yani hatanın) kareleri
toplamını minimum yapacak bir eğri uyumlanması en küçük
kareler regrasyonu olarak adlandırılır.
Şekil 5.1
En Küçük Kareler Regresyonu : En iyi uyum için kriter
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
E = Ölçülen değer - Yaklaşım değeri
yi,ölçülen
yi , model
1.) Hata toplamlarını minimum yapmak:
yi,m
E : Hata
yi,ö
2.) Mutlak hata toplamlarını minimum yapmak:
xi
3.) Hataların Karesinin toplamını minimum yapmak:
En Küçük Kareler Regresyonu : Doğrusal Regresyon
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
E = Ölçülen değer - Yaklaşım değeri
 En küçük kareler yaklaşımının en basit
örneği bir veri setine bir doğru
uyumlamaktır.
y = a0 + a1x
E : Hata
 Bir doğrunun genel matematiksel ifadesi:
y = a0 + a 1 x
 Ölçülen değerler ile uyumlanan eğri (doğru)
sonuçları arasındaki hata E :
E12 = (y1 - a0 - a1x1 )2
E1 = y1 - a0 - a1x1
E2 = y2 - a0 - a1x2
E22 = (y2 - a0 - a1x2 )2
En = yn - a0 - a1xn
En2 = (yn - a0 - a1xn )n
+
xi
En Küçük Kareler Regresyonu : Doğrusal Regresyon
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
 Sr’yi minimum yapan doğru denklemini
belirlenmesi demek a0 ve a1 katsayılarının
belirlenmesi anlamına gelmektedir.
 Bunun için Sr’nin a0 ve a1 göre kısmi
türevleri alınıp sıfıra eşitlenmesi gerekir.
y = a0 + a 1 x
En Küçük Kareler Regresyonu : Doğrusal Regresyon
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Örnek 5.1
Tabloda verilen veri grubuna bir doğru denklemi
uyumlayınız.
Σ
xi
yi
1
0.5
2
2.5
3
2.0
4
4.0
5
3.5
6
6.0
7
5.5
y = a0 + a 1 x
En Küçük Kareler Regresyonu : Doğrusal Regresyon:
Doğrusal Olmayan İlişkilerin Doğrusallaştırılması
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
 Doğrusal regresyon verilere en iyi doğruyu
uyumlamak için güçlü bir yöntemdir.
 Ancak, bağımlı ve bağımsız değişkenin
arasındaki ilişkinin doğrusal olduğu gerçeğine
dayanmaktadır.
 Verilerin dağılımı her zaman doğrusal nitelikte
olmayabilir (Şekil 5.2a).
 Böyle durumlarda polinom regresyonu uygulanır
(Şekil 5.2b).
 Bazı durumlarda ise, verileri, önce doğrusal
regresyona uygun bir yapıya dönüştürülerek
doğru denklemi uygulanır. Ardından ters
dönüşüm yapılarak orijinal denklem belirlenir.
(Şekil 5.3).
Şekil 5.2
En Küçük Kareler Regresyonu : Doğrusal Regresyon:
Doğrusal Olmayan İlişkilerin Doğrusallaştırılması
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Üstel denklem
Güç denklemi
Eğim = b1
Eğim = b1
Kesim noktası = ln b0
Şekil 5.3
Kesim noktası = log b0
En Küçük Kareler Regresyonu : Doğrusal Regresyon:
Doğrusal Olmayan İlişkilerin Doğrusallaştırılması
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Üstel denklem
z = a0 + a1 t
a0 , a1 ( E.K.K )
Eğim = b1
Kesim noktası = ln b0
z=
a0 =
a1 = b1
t=x
En Küçük Kareler Regresyonu : Doğrusal Regresyon:
Doğrusal Olmayan İlişkilerin Doğrusallaştırılması
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Güç denklemi
z = a0 + a1 t
Eğim = b1
a0 , a1 ( E.K.K )
z=
a0 =
Kesim noktası = log b0
a1 = b1
t = log x
FigKüçük
17.4 Kareler Regresyonu : Doğrusal Regresyon:
En
Doğrusal Olmayan İlişkilerin Doğrusallaştırılması
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Örnek 5.2
Tabloda verilen verilere en küçük kareler yöntemini
kullanarak güç denklemi uyumlayınız.
Σ
xi
yi
1
0.5
2
1.7
3
3.4
4
5.7
5
8.4
t i= log xi zi = log yi
y = a0 + a 1 x
Σt i2
Σt i zi
En Küçük Kareler Regresyonu : Polinom Regresyonu
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
 Doğrusal yapıda olmayan verilere eğri uyumlamanın bir başka yolu da polinom regrasyonudur.
 Başka bir ifade ile, en küçük kareler yöntemi ile bir doğru yerine,
y = a0 + a1 x + a2 x 2 + ….+am x m
şeklinde m. dereceden bir polinom uyumlanmasıdır.
 Bu durumda, hataların karelerinin toplamı:
 Sr’yi minimum yapan polinomun bulabilmek için a0 , a1 , a2 …., am katsayılarının
belirlenmesi anlamına gerekmektedir.
 Bunun için Sr’nin a0 , a1 , a2 …., am göre kısmi türevleri alınıp sıfıra eşitlenmesi gerekir.
En Küçük Kareler Regresyonu : Polinom Regresyonu
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
a0 , a1 , a2 …., am : m +1 bilinmeyen
 m. Dereceden bir polinomun E.K.K yöntemi ile n tane veri takımına uygulanması problemi
(m+1) tane denklemden oluşan cebirsel denklem sisteminin çözümüne dönüştürmektedir.
En Küçük Kareler Regresyonu : Polinom Regresyonu
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Örneğin, m = 2. dereceden bir
polinom uyguladığımızı düşünürsek
yandaki genel denklem sistemi
aşağıdaki gibi olur.
En Küçük Kareler Regresyonu : Polinom Regresyonu
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Örnek 5.2 (Ödev)
Tabloda verilen verilere en küçük kareler yöntemini
kullanarak ikinci dereceden bir polinom uyumlayın.
Σ
x
y
0
2.1
1
7.7
2
13.6
3
27.2
4
40.9
5
61.1
x i2
x i3
x i4
Σxi yi Σxi2 yi
En Küçük Kareler Regresyonu : Çoklu Doğrusal Regresyon
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
 Doğrusal regresyonun kullanılışlı bir uzantısı, y’nin iki veya daha fazla bağımsız değişkenin
doğrusal fonksiyonu olduğu durumdur.
 Örneğin, y aşağıdaki gibi x1 ve x2’nin fonksiyonu olabilir:
y = a0 + a1x1 +a2x2
 Bu tür bir denklem, incelenen değişkenin genellikle diğer iki değişkenin bir fonksiyonu olduğu
durumda deneysel verilere eğri uyumlamak oldukça kullanışlıdır.
 Daha önceki durumlarda olduğu gibi, katsayıların “en iyi” değeri, hataların kareleri toplamını
minimum yapacak değerdir.
 Sr’yi minimum yapan doğru denklemini belirlenmesi demek a0 ve a1 katsayılarının
belirlenmesi anlamına gelmektedir.
 Bunun için Sr’nin a0 , a1 ve a2 göre kısmi türevleri alınıp sıfıra eşitlenmesi gerekir.
En Küçük Kareler Regresyonu : Çoklu Doğrusal Regresyon
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
En Küçük Kareler Regresyonu : Çoklu Doğrusal Regresyon
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Örnek 5.3
Tablodaki verilere, y = a0 + a1x1 +a2x2 şeklinde bir eğiri uyumlamak için çoklu regresyonu
kullanın.
Σ
x1
x2
y
0
0
5
2
1
10
2.5
2
9
1
3
0
4
6
3
7
2
27
x1i2
x2i2
x1i x2i
x1i yi
x2i yi
En Küçük Kareler Regresyonu : Çok Değişkenli Denklemlerin
Doğrusallaştırılması
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
İnterpolasyon (Ara Değer Bulma)
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
 Genellikle, bilinen veri noktaları arasındaki ara değerleri tahmin etmek istenir.
 Ara değerlerin tahmin edilmesi için uygulanan bu yaklaşıma interpolasyon adı verilir.
Doğrusal interpolasyon
2. Derece (kuadratik)
interpolasyon
3. Derece (kübik)
interpolasyon
Polinom interpolasyonu
İnterpolasyon: Doğrusal İnterpolasyon
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
 En basit interpolasyon şekli iki veri noktasını bir doğru ile birleştirmektir.
 Doğrusal interpolasyon olarak adlandırılan bu teknik, Şeklide gösterilen üçgenlerde
benzerlik kuralına dayanılarak geliştirilmiştir.
 Genel olarak, veri noktaları arasındaki fark
ne kadar küçükse doğrusal interpolasyon
yaklaşımı o kadar iyi sonuç verir.
İnterpolasyon: Doğrusal İnterpolasyon
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Örnek 5.4
Doğrusal interpolasyonu kullanarak 2 sayısının doğal logaritmasının (yani ln 2’yi):
a) ln 1 = 0 ve ln 6 = 1.791759
b) ln 1 = 0 ve ln 4 = 1.386294
aralığını kullanarak tahmin edin.
İnterpolasyon: İkinci Derece (Kuadratik) İnterpolasyon
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
 İnterpolasyon tekniği ile daha iyi tahminler yapabilmek için, doğrusal yaklaşım yerine,
2. dereceden bir polinom uyumlamak tercih edilebilir. (Ancak, 2. dereceden bir yaklaşım için
en az üç veri noktasına ihtiyaç vardır.)
 2. dereceden polinom interpolasyonu için aşağıdaki ikinci derece polinom formu uygundur:
(1)
 Dikkat edilirse, yukarıda denklem, genel 2. derece polinom denklemi f (x) = a0 + a1x + a2x2
den farklı görünüyor olmasına karşı esasen, her iki denklemde aynıdır. Bu durum, Eşitlik (1)
deki terimler çarpılarak kanıtlanabilir.
 Görüldüğü gibi, (1) numaralı Denklem, 2. derece polinom için alternatif bir formdur.
İnterpolasyon: İkinci Derece (Kuadratik) İnterpolasyon
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
 Denklem (1)’de bulunan b0 , b1 ve b2 katsayı değerlerini elde etmek için aşağıdaki adımlar
izlenir:
(1)
1. Adım: Denklem (1)’de x = x0 yazılır ve b0 için aşağıdaki ifade elde edilir:
(2)
2. Adım: (2) numaralı eşitlik ve x = x1 Denklem (1)’de yazılır ve b1 için aşağıdaki ifade
elde edilir:
(3)
3. Adım: (2) ve (3) numaralı eşitlikler ile x = x2 Denklem (1)’de yazılır ve b2 için
aşağıdaki ifade elde edilir:
(4)
İnterpolasyon: İkinci Derece (Kuadratik) İnterpolasyon
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Örnek 5.5
2. Derece polinom interpolasyonu kullanarak ln 2’yi tahmin edin.
x0 = 1
f (x0) = ln 1 = 0
x1 = 4
f (x1) = ln 4 = 1.386294
x2 = 6
f (x2) = ln 6 = 1.791760
İnterpolasyon: Newton İnterpolasyon Polinomunun Genel Formu
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
 Şu ana kadar sunulan interpolasyon teknikleri, esas itibariyle, Newton İnterpolasyon
Polinomunun basit 1. ve 2. derece uygulamalarıdır.
 Bir önceki başlıkta ele alınan, 2. derece polinom interpolasyonu için açıklanan teknik, n+1 veri
veri noktasından geçen n. dereceden bir polinom elde etmek için kullanılabilir:
 Daha önce (2. dereceden interpolasyonda) yapıldığı gibi, b0 , b1 , b2 …. bn katsayıları, veri
noktaları yardımıyla belirlenir.
 n. dereceden bir polinom için n+1 adet veri noktası gerekir:
[x0, f(x0)]
[x1, f(x1)]
[x2, f(x2)]
[xn, f(xn)]
İnterpolasyon: Newton İnterpolasyon Polinomunun Genel Formu
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Burada köşeli parantezli fonksiyon hesaplamaları sonlu bölünmüş farklardır:
İnterpolasyon: Newton İnterpolasyon Polinomunun Genel Formu
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Newton İnterpolasyon Polinomunun Genel Formu
İnterpolasyon: İkinci Derece (Kuadratik) İnterpolasyon
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Örnek 5.6
3. Dereceden Newton interpolasyon polinomu yardımı ile ln 2 değerini tahmin edin.
x0 = 1
f (x0) = ln 1 = 0
x1 = 4
x2 = 6
x3 = 5
f (x1) = ln 4 = 1.386294
f (x2) = ln 6 = 1.791760
f (x3) = ln 5 = 1.609438
b0 = f(x0)
b1 = [f(x1), f(x0)]
b2 = [f(x2), f(x1), f(x0)]
b3 = [f(x3), f(x2), f(x1), f(x0)]
İnterpolasyon: Lagrange İnterpolasyon Polinomu
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
 Lagrange interpolasyon polinomu, Newton interpolasyon polinomunun yeniden düzenlenmiş
halidir.
Π : Terimlerin Çarpımı
Birinci dereceden ( n = 1 için ) Lagrange interpolasyon polinomu :
İnterpolasyon: Lagrange İnterpolasyon Polinomu
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Π : Terimlerin Çarpımı
İkinci dereceden ( n = 2 için ) Lagrange interpolasyon polinomu :
İnterpolasyon: İkinci Derece (Kuadratik) İnterpolasyon
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Örnek 5.7
Aşağıdaki veri gruplarına dayanarak ln2 değerini tahmin etmek için 1. ve 2. derece lagrange
interpolasyon polinomlarını kullanın.
x0 = 1
f (x0) = ln 1 = 0
x1 = 4
f (x1) = ln 4 = 1.386294
x2 = 6
f (x2) = ln 6 = 1.791760
1. Derece (n=1)
= 0.4620981
2. Derece (n = 2)
= 0.5658444

Download Report